1、第二章 群表示理论,Representation of group,1,2,第一节,1. 群表示的定义,设V 和V 都是线性空间，T 是一个变换规则。如果V 中任一向量x 在之下对应着中唯一的向量 x ，则称T 为V 到V 的算符，记作x = T x ， x V ， x V,通常情况下，V 是V 自身，此时称T 为V 上的算符。,3, x , y V, , 数域P， 若有T(x+y) = Tx+Ty 则称T 为线性算符。,线性空间V 上，满足群定义的线性算符集合构成线性算符群。,一个线性空间V 上有一个线性算符群与群G=e, g1, g2, 同态，则集合T 称为群G的一个在该线性空间上的表示。
2、 V 称为表示空间， V 的维数为表示的维数。,4,V：基矢 ， 一个算符 一定与一个矩阵 对应 矩阵群 ， 选取不同基矢组， T 对应不同矩阵群,群表示的另一种定义：设G是群，M是一个n维方阵集合，如果M与G同态 ，则称M是G的一个n维表示。与群元g 对应的矩阵M(g)称为群元g 的表示矩阵。,如果M与G同构 ，则M 称为G的真实(faithful)表示。若同态，则称非真实表示。,5,2. 单位表示单位算符 ， 对应于单位矩阵 任一 n 维空间上，至少有一个单位算符 ， ， 是G的单位表示，也称恒等表示，或平庸表示。 (一维， n维 ),6,3. 如何确定群的表示（非单位表示）,例1. C3
3、v 群在三维实空间中直角坐标系下的表示。,基矢 群元 g 算符T(g) ， 则T(g) 是g的一个表示,7,，也可写成,取决于,可按上述思路计算，也可如下计算：,？,8,同理，,9,习题：确定D3群在类似情况下的表示。,例2. 群在以 为基矢的二维函数空间中的矩阵表示。,先考虑一个物理问题： 一个物体有温度分布 。gG，是一个旋转操作。g旋转操作后，r点温度值 = 在 点的值，,10,即，T(g)组成了与群G同构的算符群。, T(g)构成线性空间中的一个群,11,12,13,如果所选的空间基矢（基函数）不恰当，以致经算符变换后，新基矢不能用原基矢的线性组合表示，则表明所选的线性空间对于所研究的
4、群不是封闭的，即，所选空间不足以表示所研究的群，需要寻找一个更大或更合适的空间来表示该群。,群的封闭线性空间：只有当所选取的线性空间在算符群中所有算符的作用下都不变时，算符群才能给出群的表示。,14,一个群的表示有多少种？,设矩阵群D是G的表示， 对应于群元g的矩阵。有一个非奇异矩阵S，有 。对于所有 ， 构成一个矩阵群，也是G的一个表示。,称 是 的等价表示。（注意：要求对所有群元gG， 都用一个矩阵S 得到）,采用不同的S，可构造出无穷多种表示，彼此都是等价表示。,15,定理1. 如果有限群G有一个非单位矩阵表示，则必能通过相似变换将其变为幺正矩阵表示。 （对任一gG,有表示矩阵D(g),
5、可找到一个矩阵S，使 ，并且 。）,相似变换不影响矩阵间的运算关系，所以，一切等价的表示都认为是相同的表示。等价表示构成一个表示的类。,16,证明：群G的一个矩阵表示， ， 对应于各个群元的表示矩阵。定义 , H是厄米阵（ ）。,对于厄米阵H ，存在一个幺正阵V使其对角化,17,定义对角矩阵,18,群的一切等价表示都有一个等价的幺正表示。 研究群表示时，只需研究其幺正表示形式。,可见，对于任一gG，一定存在非奇异矩阵S =VD1，通过相似变换 使一般的群表示变成幺正表示。,19,有无穷多种表示：,20,定理2.如果D1和D2是群G的两个等价的幺正表示，则有幺正矩阵U，使得 。,证明：由D1和D
6、2等价可知，存在一个非奇异矩阵S，使得任一元素g，有,21,对厄米阵H,总有幺正矩阵V使其对角化，,22,下面证明U是幺正矩阵：,证毕。,对有限群，只需研究幺正表示及其幺正变换。,23,若群G有两个幺正表示D1和D2，则 g G ，有表示矩阵D1(g)和D2(g)，它们的直和,是准对角阵（块状对角矩阵）。,显然，这种群表示都是准对角矩阵。,24,推论：可由D1(g)堆积成也是群G的一种表示。,可见，有无穷多种此类构造的表示，都是准对角矩阵。这种由相同结构的准对角矩阵组成的表示，称为可约表示(reducible representation)。,可约表示的一般定义：,若通过一个矩阵S 进行相似变
7、换，可把所有群元的表示矩阵变成相同块状对角结构的准对角矩阵，则该矩阵表示就是可约表示。这种相似变换过程称为可约表示的约化。（可约表示矩阵块状对角矩阵）,25,不可约表示（irreducible representation）上述情况不成立时的群表示，称为不可约表示。或者说，不可约表示是不能用更低维数的矩阵来描述的表示。,推知： 可约表示 = 一系列不可约表示的直和,26,第二节 舒尔引理（Schurs lemma）,若有一个非零矩阵A和群G的某一种表示中的所有矩阵对易，（1）若该表示是不可约的，则A必为单位矩阵的常数倍。（2）若A不是单位矩阵的常数倍，则该表示必为可约表示。当A是厄米矩阵时，约
8、化矩阵就是使A对角化的矩阵。*（2）是（1）的逆否命题,27,所以，证明舒尔引理，只需针对A是厄米矩阵这种特殊情况来证明即可。,28,若 不是 的常数倍，则至少有一个 。 n 维：最多n 1个对角元相同。,29,设 矩阵对角元有两种： 则,设 所在空间的基函数为 对应一个算符 ， 构成不变子空间。, V1是V 的子空间，T是V上的线性算符群，若T只能将V1中的向量变换为V1中的向量，则V1关于T中每个算符都是不变的，称V1是T的不变子空间， V1关于T不变。,利用反证法，（1）点易证。,30,把基矢 重新排序为P是由0和1构成的一个幺正矩阵，可使 变成块状矩阵 ，可见 是可约表示。,所以，如果
9、A不是单位矩阵的常数倍， 必是可约表示。约化过程： 。 第（2）点得证。,31,证明：可约表示必可约化为准对角阵，构建 显然g G ，AD(g)=D(g)A 成立， 后半部分得证。前半部分可用反证法证明。,舒尔引理的逆定理：如果AD(g)=D(g)A，且A只能是 I0 的常数倍，则该表示必是不可约表示。反之，如果该表示是可约的，则必有一个非零且不是 I0 常数倍的矩阵A与该表示对易。,Schur引理的理解：群G有表示D=D(g)，gG，有一矩阵A和D对易。若所有的A都是cI0 ，则D是不可约表示。若D是不可约表示， A只能cI0 。若存在A不是cI0 ，则D必是可约的；若D是可约表示，则必能找
10、到A cI0与D对易。,32,找到某个矩阵A时， 当A cI0 ，D可约； 当A= cI0 ，D不一定是不可约的（A也与可约表示对易）。,判断表示矩阵是否可约的一种方法： 设C是G 的一个共轭类A与G的表示集合D对易， 即 此法用来构造对易矩阵A，判断群表示的可约性。,33,群表示理论要解决的问题：1. 判断群表示可约与否？2. 不可约表示有多少个？3. 如何找到所有不可约表示？4. 可约表示约化后，由哪些不可约表示构成？5. 通过不可约表示研究对称性群中蕴含的物理意 义是什么？ 的本征值n重简并，则哈密顿算符群有n个不可约表示。,34,第三节,不可约表示的正交性定理（表示矩阵元的正交性定理）
11、 如果有限群G有两个不可约幺正表示 ， 则有,35,证明：构建矩阵,36,38,39,40,41,42,特征标定义对于群G的任一表示D，任一元素g 的表示矩阵D(g) ，该矩阵的迹 称为群元g在表示D中的特征标。群G中所有g个群元在D中的特征标，称为表示D的特征标系（也可简称特征标）。,第j个不可约表示Dj(g)的特征标,43,第四节 特征标 (Character),(1) 等价表示的特征标系相同,44,（2）同一表示中，同类元素的特征标相同,45,（3）可约表示的特征标可以约化为不可约 表示的特征标,46,不可约表示特征标的正交性定理 对于两个不可约幺正表示 的特征标，有,47,如果已知所有不可约表示，对于一个可约表示D(R)，求出其特征标系，便可约化系数。,48,对于群G：,49,a. 如果一个表示和某个不可约表示具有完全相同的特征标系，则该表示与此不可约表示等价。,b. 如果某一表示与任一不可约表示的特征标系不同，则该表示必是可约的。,c. 可约和不可约的判据：某一表示D，如果其特征标满足 ，则该表示必是不可约表示，否则为可约表示。,50,例1.,51,？,例2. 群在三维实空间中的表示（以前的例题）中，1、2行列的块状矩阵，是不可约表示。,52,例3. 一个六阶群，有如下表示D：,53,
