1、高中数学 第三章 数列3. 数数 列列 知识要点知识要点1. 等差、等比数列：等差数列 等比数列定义 dan1 )0(1qan递推公式； mdan1； mna通项公式dnan)1(nqa（ 0,）中项 2kA（ 0,*nNk）)(knknaG（0,*Nkn）前 n项和 )(21aSdnn)2(1)(1qaqaSnnn重要性质 ),(*qpnmNqpnmaa ),(*qpnmNqpnaaqpnm 数列数列的定义数列的有关概念数列的通项数列与函数的关系项项数通项等差数列等差数列的定义等差数列的通项等差数列的性质等差数列的前 n 项和等比数列等比数列的定义等比数列的通项等比数列的性质等比数列的前 n
2、 项和等差数列 等比数列定义 常 数 ）为 (1daPAann 常 数 ）为 (1qaPGann通项公式 n= 1+（n-1 ）d= k+（n-k ）d= +a-dknq1求和公式 nddasn)2()1(121)1(1)(1 qaqasnnn中项公式 A=ba 推广：2 n=mn bG2。推广： mna1 若 m+n=p+q 则 qpnaa若 m+n=p+q，则 qpa。2 若 nk成 A.P（其中 Nk）则nka也为 A.P。若 nk成等比数列 （其中 Nkn），则 nka成等比数列。3 nnss232, 成等差数列。 nss232,成等比数列。4 )(1maadnn1aqn， mnaq
3、)(性质5看数列是不是等差数列有以下三种方法： ),2(1为 常 数dnan2 ( ) bkna( ,为常数).看数列是不是等比数列有以下四种方法： )0,2(1且为 常 数qn 12nna( 2， 01na)注：i. cb，是 a、 b、 c 成等比的双非条件，即 acba、 b、 c 等比数列.ii. a（ac0）为 a、 b、 c 等比数列的充分不必要.iii. cb为 a、 b、 c 等比数列的必要不充分.iv. 且 0为 a、 b、 c 等比数列的充要.注意：任意两数 a、 c 不一定有等比中项，除非有 ac0，则等比中项一定有两个. ncqa( ,为非零常数).正数列 n成等比的充
4、要条件是数列 nxalog（ 1）成等比数列.数列 na的前 项和 nS与通项 na的关系： )2(1nsn注： ddn11（ 可为零也可不为零为等差数列充要条件（即常数列也是等差数列）若 不为 0，则是等差数列充分条件）.等差 na前 n 项和 ndaBnASn 212 可以为零也可不为零为等差的充要条件若 d为零，则是等差数列的充分条件；若 不为零，则是等差数列的充分条件. 非零常数列既可为等比数列，也可为等差数列.（不是非零，即不可能有等比数列）2. 等差数列依次每 k 项的和仍成等差数列，其公差为原公差的 k2 倍.,232kkkSS；若等差数列的项数为 2 Nn，则 ，奇偶 ndS1
5、naS偶奇；若等差数列的项数为 1，则 na12，且 偶奇 ， 1nS偶奇得 到 所 求 项 数到代 入 12n. 3. 常用公式：1+2+3 +n = 2n 613212 2n注：熟悉常用通项：9，99，999， 10na； 5，55，555， 1095na.4. 等比数列的前 n项和公式的常见应用题：生产部门中有增长率的总产量问题. 例如，第一年产量为 a，年增长率为 r，则每年的产量成等比数列，公比为 r1. 其中第 n年产量为 1)(nr，且过 年后总产量为：.)1()(.)1()(2 raara银行部门中按复利计算问题. 例如：一年中每月初到银行存 a元，利息为 r，每月利息按复利计
6、算，则每月的 a元过 n个月后便成为 nra)(元. 因此，第二年年初可存款：)1(.)1()()1( 02rrra= )1(2r.分期付款应用题： a为分期付款方式贷款为 a 元；m 为 m 个月将款全部付清； r为年利率. 1111.112 mmm raxrxrxrrxrxra5. 数列常见的几种形式： nnqapa12（p 、 q 为二阶常数） 用特证根方法求解.具体步骤：写出特征方程 qPx2（ 2对应 2na，x 对应 1na），并设二根 21,x若21x可设 nnxca21.，若 21可设 c1)(；由初始值 2,a确定 ,c. rPn（P 、 r 为常数） 用转化等差，等比数列；
7、逐项选代；消去常数 n转化为 nqaa12的形式，再用特征根方法求 na； 12nPc（公式法），1,c由 ,确定.转化等差，等比： 1)(11 rxPxPnnn .选代法： raran2 xPaann11 )()(Pan21.用特征方程求解： 相 减 ，rPan11na 11nnn PaaP）（ .由选代法推导结果： rrcPrccn1212 ）（， .6. 几种常见的数列的思想方法：等差数列的前 n项和为 nS，在 0d时，有最大值. 如何确定使 nS取最大值时的 n值，有两种方法：一是求使 0,1na，成立的 n值；二是由 ndanS)2(12利用二次函数的性质求n的值.如果数列可以看作
8、是一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积，求此数列前 n项和可依照等比数列前 n项和的推倒导方法：错位相减求和. 例如： ,.21),.(4321两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列，此等差数列的首项就是原两个数列的第一个相同项，公差是两个数列公差 21d， 的最小公倍数.2. 判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：(1)定义法:对于 n2 的任意自然数,验证 )(1nna为同一常数。(2)通项公式法。(3)中项公式法: 验证 21naNn(221都成立。3. 在等差数列 na中,有关 Sn 的最值问题：(1)当 1a0,d0 时，满足 01m的项数 m 使得 s取最小值。在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。（三）、数列求和的常用方法1. 公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。2.裂项相消法:适用于 1nac其中 na是各项不为 0 的等差数列，c 为常数；部分无理数列、含阶乘的数列等。3.错位相减法:适用于 nb其中 n是等差数列， nb是各项不为 0 的等比数列。4.倒序相加法: 类似于等差数列前 n 项和公式的推导方法.5.常用结论1）: 1+2+3+.+n = 2)1(n 2） 1+3+5+.+(2n-1) =3）233)1(1n4） )(622 5） 1)(1nn )21()2(n6） )(qpqp
