1、【知识拓展】1若函数 yf（x ）是由参数方程所确定的，该怎样求它的导数？前面我们讨论了显函数和隐函数的导数，但在某些情况下，因变量 y 与自变量 x 的关系是通过另一参变量 t 由参数方程 和 来给出的，对于这类函数，有时可以把它txty很简单地表示成显函数的形式，但有时就比较麻烦甚至不可能因此，我们有必要找出这类函数的求导方法设 的反函数 ，并设它满足反函数求导的条件，于是可把 y 看作复合函txxt1数 .ty1由复合函数与反函数的求导法则，得 .tdtxytdx .dxy,tsinyco1不不.tcotsintcoidtx不 .dxy数所 确 定 的 函 数 的 二 阶 导，2y1,求
2、 参 数 方 程例 223思路启迪 根据二阶导数的定义 因此要求 只要把 y 对 x 的导,dxydxy2,2数 求出来，再将 与 xt 1 联系，重复利用参数方程求导公式，求出 对 x 的导数，即yy 也即是我们要求 y 对 x 的二阶导数dx .dxy2.2t34t61t3dtxydxy.t4dxty222 不如果函数 yf （x）是由极坐标方程 （）给出来的，则可把极坐标方程先化成参数方程，再求导数即 x（） cos,y （）sin , 从而.tansincosidy 2什么是罗尔定理？我们先考察一个函数 ，容易验证这个函数满足：2xfy（）在闭区间1，1上连续（）在开区间（1，1）内可
3、导（）f（1 ）f（1）1这个函数的导数 得 x0 （1，1 ）即在开区间（1，1）,2xf,不内存在点 x使得 （如图 314 ） 0f一般地，我们有（即罗尔定理） 若函数 f（x）满足条件（）在闭区间a,b上连续；（）在开区间（a,b）内可导；（）在区间a,b 的两个端点的函数值相等，即 f（a） f（b） ，则至少存在一点 使b,a得 .0f罗尔定理的几何意义是：两个端点的纵坐标相等的处处存在切线（端点除外）的连续曲线 yf（x）上，至少有一点 的切线是水平的如图 315f,.3,1x,2xf 不不 ,f .0f, 显然 f（ x）满足罗尔定理的三个条件，其中 a1,b 3存在点 1（1
4、，3 ） ，使 即符合罗尔定理的结论.013什么是拉格朗日中值定理？在罗尔定理的几何意义中，可以看出在罗尔定理的条件下，曲线上至少有一条切线是水平的，这时曲线的两个端点的连线也是水平的（f（a） f（b） ） ，因此也可以说成是至少有一点处的切线平行于两个端的连线这个结论可以推广到更一般的情况，即有下面更一般的结论（即拉格朗日中值定理） 若函数 f（x）满足：（）在闭区间a,b上连续；（）在开区间（a，b）内可导；则至少存在一点 （a，b） ，使 .abff axxF证 明 ： 作 辅 助 函 数 容易验证，F（ x）在a，b上满足罗尔定理的条件，从而至少存在一点 （a，b） ，使.0.abf
5、f .0afF,bf)( 不不拉格朗日中值定理的几何意义是：处处存在切线(两个端点除外)的连续曲线 yf(x)上，至少有一条切线平行于两个端点的连线(如图 316)在拉格朗日定理的证明中，采用的方法是先作出一个辅助函数，故这种方法也称辅助函数法辅助函数法也称为构造法它是数学分析中一种重要的证题方法，这种方法的基本思想是先构造一个与欲证结果有关的辅助函数，然后再由已知条件、概念和定理，推断所要证明的结论的正确性拉格朗日定理是应用最广泛的微分中值定理，也是微分学中最重要的定理之一，它的结论常称为拉格朗日中值公式为运用方便，可把这个公式写成下列几种形式 .10 x, fxf abab ., f 00
6、0 .1 , y 对于这些公式要灵活运用，比如：不必局限于 a0 时，.fa即 .0afa即上 应 用 拉 格 朗 日 定 理 ，在由 再由 f（ x）在b,ab上应用拉格朗日定理得.bay,fb因 单调递减，故对 aby，有 注意到 a0，故有 ，f yf yfa于是 .afbfabaf 从上面可以看出，拉格朗日中值定理是罗尔定理的推广，而罗尔定理是拉格朗日的一种特殊情况（只要令 f（a）f（b）即得罗尔定理） 4怎样利用导数求不定式的极限？我们先看几个例子： .431x4lim不 存 在 ；x1sinlmxlim0;xlim 2x020 从上面几个例子可以看出，有两个函数 f（x）和 g（
7、x） ，当 xa（或 x）时都趋于零，或都趋于穷大，但这时的极限 可能存在，也可能不存在，通常把这种类型的极限称gflimxa为不定式的极限若 xa 时，f （x）与 g（x）都趋于 0，则称极限 为 型不定式；xgflima0若当 xa 时， f（x ）与 g（x ）都趋于无穷大，则称极限 为 型不定式关于不定fliax式的极限，我们有下面的结论 .xgflim且存 在 ,xgflim则 .包 括存 在 0;xglim 0;xg可 导 ， 且在 点 a的 某 去 心 邻 域 内,若 f洛 必 达 法 则 型 不 定 式 .0(1)aaxaax 注：上面等式的右端分式是左端分式的分子和分母分别
8、求导的结果，即是 ，而xgf不是 ，这一点在利用上面的公式时一定要注意若 仍是一个不定式，并xgf xgflima且它仍满足上面的三个条件，则此时对 再用一次洛必达法则，即此时有xgflima，即洛必达法则可以重复应用上面的 x 的变化趋势 xa 可换成xgflimfliaax， 结论仍成立 ,x, 不.0xsincolim10x不不思路启迪 由于当 x0 时，xxcosx0,xsinx0，所以这是一个不定式，考虑利用洛必达法则规范解法 易知这是 型不定式，应用洛必达法则得：.xcoslimsnlixsincoilsicomxsincoli xxxxx 312010000型点评 本题在应用一次
9、洛必达法则以后得极限： 由极限公式：当xcos1inli0xx0 时， 1cosx xsinx0,1 cosx0,故仍是一个不定式，且它的分子分母分别求导之后的极限存在，因此再应用一次洛必达法则 .0xsinlim230不不 则 .0， 考 虑 利 用 洛 必 达 法x,in时 ，当思 路 启 迪 361xsinlmcosl0203不 .0x1arct2li3x不不思路启迪 由于 故考虑利用洛必达法则,0x1lim,arctn2limx .1lix1lix1rtli 22xx 不.f.g,g,xgf 030004 试 求且 已 知设例思路启迪 按照导数的定义，我们有 .xglim0xli0xf
10、lim0f 2由已知 存在可知 g（x）在点 x0 连续，故 显然 ，0g ,0gxlim00x2故极限 为 型不定式又 存在，从而20xlim glim1lili 0x0x2x 存在.g1,xg0f，x2不不由洛必达法则得 .230g1xlim2gli0f02x点评 虽然 存在，此时有 即 仍为不定式，但我们不能 ,0gxlim0x2glim再次利用洛必达法则而用以解法：因为已知条件中只给出当 x0 时 .321lix2glilim0f 002x g（ x）的两阶导数即 存在，而当 x0 时，g（x）的两阶导数即 不一定存在， g即使 存在，极限 也不一定存在，故两次利用洛必达法则是错误的
11、lix .xgflim也 存 在 ， 且xgflim则 .包 括存 在 ;xglim, 0;xg导 ， 且在 点 a的 某 去 心 邻 域 可x若 f洛 必 达 法 则 型 不 定 式 .(2)aaxaa ”.x,x,a”同 样 可 换 成 “注 ： 这 里 的 变 化 趋 热 .nxsilm50x不不思路启迪 由于 ，故这是个不定式极限，考虑利nxsilm,il0x0用洛必达法则.1mxcosnli0mxsinlnxcosmiliils 0x00x 不不.为 正 整 数 ， ae求例 6 x思路启迪 当 x时， 故这是个 型不定式的极限，考虑利用,e,xn洛必达法则，故有相继应用洛必达法则
12、n 次得.0e!nlimx1elielixx21nx不点评 对该不定式利用 n1 次洛必达法则的每一结果仍是不定式，第 n 次应用洛必达法则极限存在，故该极限需相继使用 n 次洛必达法则才能求出极限除上述讨论的 型与 型不定式之外，在实际问题中，我们还常遇到一些象0、0、 、 、 型的不定式，对于这些不定式，我们都可以通过一些变化把10它变成 型或 型的不定式，从而可以得到解决下面我们通过一些例题加以说明0.0xlnim720x不不思路启迪 由于当 故这是一个 0型不定式，考虑,lnx0时 ， 2首先将其变成 或 型，再利用洛必达法则0.02xlim1lilnilxi03x20x2不不点评 上
13、述解题过程是将 0型变成 型，再应用洛必达法则，我们看会出现什么结果xln2limx1ln2i0lxilnxim00x2020 不可以看出，当变成 型再利用洛必达法则，不但求不出极限，而且结果比不用洛达法则以前更复杂，因此该极限不能变成 型求它的极限由该例我们得到启示：当将 0型变0成 型 用洛必达法则求不出它的极限时，应考虑将它变成 型 ，再利0不 不0用洛必达法则求之 .0xlim8不不思路启迪 对于 型不定式，首先利用恒等式 将其变成 0型，再利用上述Nlne方法求之 .exlim,xlimlnixlixlnixx1000000 规 范 解 法 .tascli92x不不 思路启迪 首先利用三角关系，将 secxtanx 变成 再利用洛必达法则xcosin1.0xsincolm0xcosin1limtasel2x2x2不不.1sli12x0x不不思路启迪 因为 x0 时，cosx1 故这是 型不定式，首先利用恒等式2x1，并将其变成 型或 型，再利用洛必达法则Nlne
