1、专题6 最值问题,最值问题，也就是最大值和最小值问题，这类问题出现的试题，内容丰富，知识点多，涉及面广，解法灵活多样，而且具有一定的难度 最值问题一般有三类，一是以几何背景的最值问题，一般可以看成是运动变化的图形在特殊位置时，与图形有关的几何量达到最大值或最小值；二是有关函数的最值问题，如一次函数、反比例函数和二次函数；三是实际背景问题，来求最优化问题 关键是要结合题意，借助相关的概念、图形的性质，将最值问题化归与转化为相应的数学模型(函数增减性、线段公理、三角形三边关系等)进行分析与突破.,几何最值问题,(一)线段之和最值问题,2(2017预测)如图，ABCD中，AB2，AD1，ADC60，
2、将ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D处，折痕交CD边于点E. (1)求证：四边形BCED是菱形； (2)若点P是直线l上的一个动点，请计算PDPB的最小值 解析：(1)根据两邻边相等的平行四边形是菱形进行证明；(2)根据轴对称性确定两线段和的最小值，再借助勾股定理求线段长,3(原创题) 已知菱形OABC在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点A(5，0)，OB4，点P是对角线OB上的一个动点，D(0，1)，当CPDP最短时，求点P的坐标,1线段和的最小值问题是课本著名原题“泵站问题”的变形与应用，即为同一平面内线段和最短问题，其基本图形如图，点A，B是直线同旁的两个定点如何在直
3、线上确定一点P，使APBP的值最小方法是作A点关于直线l的对称点A，转化为两点间的距离问题，即连结AB交l于点P，则PAPBAB的值最小 2不管在什么背景图中，有关线段之和的最短问题，常化归与转化为线段公理“两点之间，线段最短”，而化归与转化的方法都是借助于“轴对称点”. 然后利用线段垂直平分线的性质和两点之间线段最短的原理，构造直角三角形，并运用勾股定理计算最小值来解决问题,(二)线段之差最值问题,4在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0，1)，B(1，2)，点P在x轴上运动，当点P到A，B两点距离之差的绝对值最大时，求点P的坐标 解析：由三角形两边之差小于第三边可知，当A，B，P三点不共线
4、时，|PAPB|AB，又因为A(0，1)，B(1，2)两点都在x轴同侧，则当A，B，P三点共线时，|PAPB|AB，即|PAPB|AB，所以本题中当点P到A，B两点距离之差的绝对值最大时，点P在直线AB上先运用待定系数法求出直线AB的解析式，再令y0，求出x的值即可,5(原创题)如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C分别为坐标轴上的三个点，且OA1，OB3，OC4. (1)求经过A，B，C三点的抛物线的解析式； (2)当点P的坐标为(5，3)时，若点M为该抛物线上一动点，请求出当|PMAM|的最大值时点M的坐标，并直接写出|PMAM|的最大值,点P为任意一点时，要探究PAPB的最大值，可
5、数形结合，将其转化为相关图形(三角形)，三边关系始终满足两边之差小于第三边(|PAPBAB)，而当点A，B，P在同一直线上时存在PAPBAB，此时AB为最大值，今后有关两线段之差的最大值问题，常借助“三角形两边之差小于第三边”，将其最大值转化为一条特殊(三点共线)线段的长,(三)表面展开最值问题,6如图，透明的圆柱形容器(容器厚度忽略不计)的高为12 cm，底面周长为10 cm，在容器内壁离容器底部3 cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3 cm的点A处，求蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径 解析：将容器侧面展开，建立A关于EF的对称点A，根据两点之间线段最短可知AB的长度
6、即为所求,7(2015金华)图1、图2为同一长方体房间的示意图，图3为该长方体的表面展开图 (1)蜘蛛在顶点A处 苍蝇在顶点B处时，试在图1中画出蜘蛛为捉住苍蝇，沿墙面爬行的最近路线 苍蝇在顶点C处时，图2中画出了蜘蛛捉住苍蝇的两条路线，往天花板ABCD爬行的最近路线AGC和往墙面BBCC爬行的最近路线AHC，试通过计算判断哪条路线更近 (2)在图3中，半径为10 dm的M与DC相切，圆心M到边CC的距离为15 dm.蜘蛛P在线段AB上，苍蝇Q在M的圆周上，线段PQ为蜘蛛爬行路线若PQ与M相切，试求PQ长度的取值范围,要计算立体图形中不在同一平面上两点之间的最短距离，一般是把立体图形的侧面展开
7、，转化为平面图形，借助线段公理计算将立体图形转化为平面图形是初中阶段常用的基本方法,(四)图形周长最值问题,8(2017预测)如图，矩形ABCO的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为(10，8)，沿直线OD折叠矩形，使点A正好落在BC上的E处，E点坐标为(6，8)，抛物线yax2bxc经过O，A，E三点 (1)求此抛物线的解析式； (2)点P是抛物线对称轴上的一动点，当PAD的周长最小时，求点P的坐标 解析：由于O，A两点关于对称轴对称，所以连结OD，与对称轴的交点即为满足条件的点P，利用待定系数法可求得直线OD的解析式，再由抛物线解析式可求得对称轴方程，从而可求得P点坐标,9已知点C
8、(1，0)，直线yx7与两坐标轴分别交于A，B两点，D，E分别是AB，OA上的动点，求CDE周长的最小值,转化为两条线段和最小的问题,(五)翻折后最值问题,10(原创题)如图，菱形ABCD的边AB8，B60，P是AB上一点，BP3，Q是CD边上一动点，将梯形APQD沿直线PQ折叠，A的对应点为A，当CA的长度最小时，求CQ的长 【解析】要使CA的长度最小，则梯形APQD沿直线PQ折叠后A的对应点A应落在CH上，且对称轴PQ应满足PQDH.,通过画图，寻找使得线段有最值的位置，再利用几何知识解决问题,函数最值问题,12如图，平面直角坐标系中，将含30的三角尺的直角顶点C落在第二象限其斜边两端点A，B分别落在x轴、y轴上，且AB12 cm. (1)若OB6 cm，点A向右滑动的距离与点B向上滑动的距离相等，求滑动的距离； (2)求点C与点O的距离的最大值 解析：过C作CEx轴，CDy轴，垂足分别为E，D，证明ACE与BCD相似，再利用相似三角形的性质，求出点C与点O的距离的函数表达式,有关几何图形面积的最值问题，关键是要掌握图形面积的求解，构建相应的函数关系式，进而根据函数图象的增减性确定其最值，并注意问题的实际意义,
