1、理科数学 2017 年高三 2017 年全国甲卷理科数学 理科数学考试时间：_分钟题型 单选题 填空题 简答题 总分得分单选题 （本大题共 12 小题，每小题_分，共_分。） 1 ( )A. B. C. D. 2设集合 ， 若 ，则 ( )A. B. C. D. 3我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几灯？”意思是：一座 7 层塔共挂了 381 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2 倍，则塔的顶层共有灯( )A. 1 盏B. 3 盏C. 5 盏D. 9 盏4如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图
2、，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为( )A. B. C. D. 5设 ， 满足约束条件 ，则 的最小值是( )A. B. C. D. 6安排 3 名志愿者完成 4 项工作，每人至少完成 1 项，每项工作由 1 人完成，则不同的安排方式共有( )A. 12 种B. 18 种C. 24 种D. 36 种7甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩老师说：你们四人中有 2位优秀，2 位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩根据以上信息，则( )A. 乙可以知道四人的成绩B. 丁可以知道四人的成绩C. 乙
3、、丁可以知道对方的成绩D. 乙、丁可以知道自己的成绩8执行右面的程序框图，如果输入的 ，则输出的 ( )A. 2B. 3C. 4D. 59若双曲线 （ ， ）的一条渐近线被圆 所截得的弦长为 2，则 的离心率为( )A. 2B. C. D. 10已知直三棱柱 中， ， ， ，则异面直线 与 所成角的余弦值为( )A. B. C. D. 11若 是函数 的极值点，则 的极小值为( )A. B. C. D. 112已知 是边长为 2 的等边三角形， 为平面 内一点，则的最小是( )A. B. C. D. 填空题 （本大题共 4 小题，每小题_分，共_分。） 13一批产品的二等品率为 ，从这批产品中
4、每次随机取一件，有放回地抽取 次，表示抽到的二等品件数，则 _14函数 的最大值是_15等差数列 的前 项和为 ， ， ，则 _16已知 是抛物线 的焦点， 是 上一点， 的延长线交 轴于点若 为 的中点，则 _简答题（综合题） （本大题共 7 小题，每小题_分，共_分。） 17（12 分）的内角 的对边分别为 ，已知 （1）求 ；（2）若 ， 的面积为 ，求 18（12 分）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了 100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg）其频率分布直方图如下：（1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记 A 表示事件：“旧养殖法的箱产量
5、低于50kg，新养殖法的箱产量不低于 50kg”，估计 A 的概率；（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有 99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：（3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）附： ，19（12 分）如图，四棱锥 P-ABCD 中，侧面 PAD 为等边三角形且垂直于底面 ABCD，E 是 PD 的中点（1）证明：直线 平面 PAB；（2）点 M 在棱 PC 上，且直线 BM 与底面 ABCD 所成角为 ，求二面角 的余弦值20（12 分）设 O 为坐标原点，动点 M 在椭圆 C： 上，过 M 作 x 轴的垂线，垂足为 N，点 P 满足
6、 （1）求点 P 的轨迹方程；（2）设点 Q 在直线 上，且 证明：过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C的左焦点 F21（12 分）已知函数 ，且 （1）求 ；（2）证明： 存在唯一的极大值点 ，且 所以 22选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分选修 44：坐标系与参数方程（10 分）在直角坐标系 中，以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 （1） M 为曲线 上的动点，点 P 在线段 OM 上，且满足 ，求点 P 的轨迹的直角坐标方程；（2）设点 A 的极坐标为 ，点 B 在曲线 上，求 面积的最
7、大值23选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分选修 45：不等式选讲（10 分）已知 证明：（1） ；（2） 答案单选题 1. D 2. C 3. B 4. B 5. A 6. D 7. D 8. B 9. A 10. C 11. A 12. B 填空题 13. 14. 115. 16. 6简答题 17. （1） （2）18. （1） （2）见解析 （3）19. （1）见解析； （2）20. （1） ；（2）见解析21. （1） ；（2）见解析22. （1） （2）23. （1）见解析（2）见解析解析单选题 1. 由复数的除法运算法则有： ，
8、故选 D.2. 由 得 ，即 是方程 的根，所以 ，故选 C3. 设塔的顶层共有灯 盏，则各层的灯数构成一个首项为 ，公比为 2 的等比数列，结合等比数列的求和公式有： ，解得 ，即塔的顶层共有灯 3 盏，故选 B4. 由题意，其体积 ，其体积 ，故该组合体的体积 故选 B5. 绘制不等式组表示的可行域，结合目标函数的几何意义可得函数在点 处取得最小值，最小值为 故选 A.6. 由题意可得，一人完成两项工作，其余两人每人完成一项工作，据此可得，只要把工作分成三份：有 种方法，然后进行全排列，由乘法原理，不同的安排方式共有种 故选 D7. 四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说的话甲不知自己成
9、绩乙、丙中必有一优一良，（若为两优，甲会知道自己成绩；两良亦然）乙看了丙成绩，知自己成绩丁看甲，甲、丁中也为一优一良，丁知自己成绩8. 阅读程序框图，初始化数值 循环结果执行如下：第一次： ；第二次： ；第三次： ；第四次： ；第五次： ；第六次： ；结束循环，输出 故选 B9. 取渐近线 ，化成一般式 ，圆心 到直线距离为得 ， ， 10. 如图所示，补成直四棱柱 ，则所求角为 ，易得 ，因此 ，故选 C11. ，则 ，则 ， ，令 ，得 或 ，当 或 时， ，当 时， ，则 极小值为 12. 如图，以 为 轴， 的垂直平分线 为 轴， 为坐标原点建立平面直角坐标系，则 ， ， ，设 ，所以
10、 ， ，所以 ，当 时，所求的最小值为 ，故选 B填空题 13. 由题意可得，抽到二等品的件数符合二项分布，即 ，由二项分布的期望公式可得 14. 化简三角函数的解析式，则，由可得 ，当 时，函数 取得最大值 115. 设 首项为 ，公差为 则求得 ， ，则 ，16. 如图所示，不妨设点 M 位于第一象限，设抛物线的准线与 轴交于点 ，作 与点 ， 与点 ，由抛物线的解析式可得准线方程为 ，则，在直角梯形 中，中位线 ，由抛物线的定义有： ，结合题意，有 ，故简答题 17. （1）依题得： ， ， ， ，（2）由可知 ， ， ， ， ， ， ， ， ， 18. （1）记：“旧养殖法的箱产量低于
11、 ” 为事件“新养殖法的箱产量不低于 ”为事件而（2）由计算可得 的观测值为有 以上的把握产量的养殖方法有关（3） ，中位数为 19. （1）令 中点为 ，连结 ， ， ， 为 ， 中点， 为 的中位线， 又 ， 又 ， ， 四边形 为平行四边形， 又 ，（2）取 中点 ，连 ，由于 为正三角形又平面 平面 ，平面 平面 平面 ，连 ，四边形 为正方形。 平面 ，平面 平面而平面 平面过 作 ，垂足为 ， 平面 为 与平面 所成角，在 中， ， ，设 ， ， ， ，在 中， ， ， ，以 为坐标原点， 、 、 分别为 、 、 轴建立空间直角坐标系， ， ，设平面 的法向量为 ， ， ，而平面
12、的法向量为设二面角 的大角为 （ 为锐角）20. （1）设 ，设 ， 由 得 因为 在 C 上，所以 因此点 P 的轨迹方程为 （2）由题意知 设 ，则 ，由 得 ，又由（1）知 ，故 ，所以 ，即 又过点 P 存在唯一直线垂直于 OQ，所以过点 P 且垂直于 OQ 的直线 过 C 的左焦点 F21. （1） 的定义域为设 ，则 等价于因为若 a=1，则 .当 0x1 时， 单调递减；当 x1 时，0， 单调递增.所以 x=1 是 的极小值点，故综上， ， ， 令 ，则 ， 令 得 ，当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增所以， 因为 ， ， ， ，所以在 和 上， 即 各有一个零点设 在 和 上的零点分别为 ，因为 在 上单调减，所以当 时， ， 单调增；当 时， ， 单调减因此， 是 的极大值点因为， 在 上单调增，所以当 时， ， 单调减，时， 单调增，因此 是 的极小值点所以， 有唯一的极大值点 由前面的证明可知， ，则 因为 ，所以 ，则又 ，因为 ，所以 因此， 22. 设则 解得 ，化为直角坐标系方程为 （2）设点 B 的极坐标为 ,由题设知,于是OAB 面积当 时，S 取得最大值所以OAB 面积的最大值为23. （1）（2）因为所以 ，因此 .
