1、四川省南充市 2018 届高三第一次高考适应性考试（一诊）数学理试题第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合 ，则 中元素的个数为（ ）A. 必有 1 个 B. 1 个或 2 个 C. 至多 1 个 D. 可能 2 个以上【答案】C【解析】集合 A=（x，y）|y=f（x） ，xD，B=（x，y）|x=1，当 1D 时，直线 x=1 与函数 y=f（x） ，有一个交点，当 1D 时，直线 x=1 与函数 y=f（x） ，没有交点，所以 AB 中元素的个数为 1 或 0故答案为：C.2
2、. 已知复数 满足 ，则复数 的虚部是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由条件知道 ，由虚部的概念得到 。故答案为 C。3. 已知向量 是互相垂直的单位向量，且 ，则 （ ）A. B. 1 C. 6 D. 【答案】D【解析】向量 是互相垂直的单位向量，故 ,故答案为：D。4. 已知变量 与变量 之间具有相关关系，并测得如下一组数据则变量 与 之间的线性回归方程可能为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】根据表中数据，得；，且变量 y 随变量 x 的增大而减小，是负相关，排除 A,D.验证 时， ,C 成立；，不满足.即回归直线 y=0.7x+10.3 过样本中心点( ,
3、 ).故选：B.点睛：求解回归方程问题的三个易误点： 易混淆相关关系与函数关系，两者的区别是函数关系是一种确定的关系，而相关关系是一种非确定的关系，函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系 回归分析中易误认为样本数据必在回归直线上，实质上回归直线必过 点，可能所有的样本数据点都不在直线上 利用回归方程分析问题时，所得的数据易误认为准确值，而实质上是预测值(期望值)5. 设 ，其中 都是非零实数，若 ，那么 （ ）A. 1 B. 2 C. 0 D. 【答案】A【解析】函数 f（x）=asin（x+）+bcos（x+） ，其中 a，b， 都是非零实数，f（2017）=1
4、，f（2017）=asin（2017+）+bcos（2017+）=-asin-bcos=-1，f（2018）=asin（2018+）+bcos（2018+）=asin+bcos=1故答案为：A。6. 若 ，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】 时， 为减函数，且有 ,则有 ，A不正确；时， 为减函数，且有 ，所以 ，B 不正确；时， ，C 不正确；时， 为减函数， ，所以 ，D 正确.故选 D.7. 已知一个棱长为 2 的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示,则该截面的面积为（ ）.A. B. 4 C. 3 D. 【答案】A【解析】如图所示，正方体 ABCD-A1B1
5、C1D1中，E，F 分别为 AB，AD 的中点，则该几何体是正方体 ABCD-A1B1C1D1截取三棱台 AEF-A1B1D1后剩余的部分.则截面为 FEB1D1.，为等腰梯形，上底 FE= ，下底 B1D1= ,腰为 .得梯形的高为 .则面积为： .故选 A.8. 若函数 在区间 内恰有一个极值点，则实数 的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题意, ，则 ，即 ，解得 ，另外,当 时, 在区间( 1,1)恰有一个极值点 ，当 时,函数 在区间(1,1)没有一个极值点，实数 的取值范围为 .故选：B.9. 如图，将 直角三角板和 直角三角板拼在一起，其中 直角三角板的
6、斜边与 直角三角板的 角所对的直角边重合.若 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题意得，若设 AD=DC=1，则 AC= ，AB=2 ，BC= ，由题意知， BCD 中，由余弦定理得 DB 2=DC2+CB22DCCBcos（45+90）=1+6+21 =7+2， ，ADC=90，DB 2=x2+y2，x 2+y2=7+2如图，作 =x ， =y ，则 = + ，CC=x1，CB=y，RtCCB 中，由勾股定理得 BC 2=CC2+CB 2，即 6=（x1） 2+y2，由可得 x=1+ ，y= ，故答案选 B10. 已知 是同一球面上的四个点，其中 是正三角形， 平面 ，
7、则该球的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由题意画出几何体的图形如图，把 扩展为三棱柱，上下底面中心连线的中点与 A 的距离为球的半径， 是正三角形，所以 .所求球的体积为：故选 A.点睛：关于球与柱体（椎体）的组合体的问题，是近年高考的常考内容，且常与几何体的体积、表面积等结合在一起考查。解决关于外接球的问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离都等于球的半径，同时要作一圆面起衬托作用11. 已知抛物线 ，直线 ， 为抛物线 的两条切线，切点分别为 ，则“点 在 上”是“ ”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必
8、要条件【答案】C【解析】设 ，由导数不难知道直线 PA， PB 的斜率分别为 .进一步得 .PB: .，由联立可得点 ，(1)因为 P 在 l 上，所以 =1，所以 ，所以 PA PB；甲是乙的充分条件(2)若 PA PB， ，即 ，从而点 P 在 l 上.甲是乙的必要条件，故选 C.点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、 “定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.12. 已知函数 （ 是自然对
9、数的底数） .若 ，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由 f（m）=2ln f（n）得 f（m）+f（n）=1 f（mn）=1=1 ，又lnn+lnm+2=（lnn+1）+（lnm+1）（ ）=4+ 4+4=8，lnn+lnm6，f（mn）=1 ，且 m、ne，lnn+lnm0，f（mn）=11， f（mn）1，故选：C点睛：这个题目考查了对数的运算法则和不等式在求范围和最值中的应用；一般解决二元问题，方法有：不等式的应用；二元化一元的应用；变量集中的应用；都是解决而原问题的常见方法。其中不等式只能求出一边的范围，求具体范围还是要转化为函数。 第卷（共 90 分）二
10、、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 的展开式中有理项系数之和为_.【答案】32【解析】 （1+ ） 6的展开式的通项公式为 T r+1= ，令 为整数，可得 r=0，2，4，6，故展开式中有理项系数之和为 ，故答案为：32.14. 函数 的单调递增区间是_.【答案】【解析】化简可得 y=sinxcos +cosxsin =sin（x+ ） ，由 2k x+ 2k+ 可得 2k x2k+ ，kZ，当 k=0 时，可得函数的一个单调递增区间为 ， ，又由 x0， 可取交集得 x0， ，故答案为：0， 15. 若圆 与圆 相交于 两点，且两圆在点 处的切线互相垂直，则
11、线段 的长度是_.【答案】4【解析】由题意做出图形分析得：由圆的几何性质两圆在点 A 处的切线互相垂直,且过对方圆心 .则在 中,，所以斜边上的高为半弦，用等积法易得：.故答案为：4.16. 定义域为 的偶函数 满足对 ，有 ，且当 时，若函数 在 上至多有三个零点，则 的取值范围是_.【答案】【解析】f（x+2）=f（x）f（1） ，且 f（x）是定义域为 R 的偶函数，令 x=1 可得 f（1+2）=f（1）f（1） ，又 f（1）=f（1） ，f（1）=0 则有 f（x+2）=f（x） ，f（x）是最小正周期为 2 的偶函数当 x2，3时，f（x）=2x 2+12x18=2（x3） 2，
12、函数的图象为开口向下、顶点为（3，0）的抛物线函数 y=f（x）log a（|x|+1）在（0，+）上至少有三个零点，令 g（x）=log a（|x|+1） ，则 f（x）的图象和 g（x）的图象至多有 3 个交点可以分两种情况：其一是有交点时，其二是一个交点也没有，当一个交点都没有时，即 a1.当有交点时，f（x）0，g（x）0，可得 0a1，要使函数 y=f（x）log a（|x|+1）在（0，+）上至多有三个零点，则有 g（4） ，解得，又 0a1， a1，故答案为： 。点睛：此题主要考查函数奇偶性、周期性及其应用，解题的过程中用到了数形结合的方法，同时考查解决抽象函数的常用方法：赋值法
13、，正确赋值是迅速解题的关键。其二是考查了函数的零点问题和图像的交点问题的转化。三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知数列 的前 项和 .（1）证明： 是等比数列，并求其通项公式；（2）求数列 的前 项和 .【答案】(1)证明见解析， .(2) .【解析】试题分析：（1）由条件知道 ，两式子做差可得，移项得到 。 （2）根据第一问得到 ，由错位相减的方法求和即可.（1）证明：当 时， ，由 得 ，即 ，所以 ，所以数列 是以 2 为首项，2 为公比的等比数列，于是 .（2）解：令 ，则 ， 得 ，得 所以 .18. 一个盒子中装有
14、大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取 50 个作为样本，称出它们的重量（单位：克） ，重量分组区间为 ，由此得到样本的重量频率分布直方（如 图）.（1）求 的值，并根据样本数据，试估计盒子中小球重量的众数与平均值；（2）从盒子中随机抽取 3 个小球，其中重量在 内的小球个数为 ，求 的分布列和数学期望.（以频率分布直方图中的频率作为概率）【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析.【解析】试题分析：（）由频率分布直方图中所有小矩形面积（频率）之和为 1，可计算出 ,众数取频率最大即矩形最高的那个矩形的中点横坐标，平均值用各矩形中点值乘频率相加即得；（） 的可能取值为 、 、 、
15、，利用样本估计总体，该盒子中小球重量在内的概率为 ，因此有 ，从而可得分布列，最后由期望公式可计算出期望试题解析：（）由题意，得 ，解得 ；又由最高矩形中点的的横坐标为 20，可估计盒子中小球重量的众数约为 20（克）而 个样本小球重量的平均值为： （克）故由样本估计总体，可估计盒子中小球重量的平均值约为 克；（）利用样本估计总体，该盒子中小球重量在 内的概率为则 . 的可能取值为 、 、 、 ， ， .的分布列为：.（或者 ）考点：频率分布直方图，用样本估计总体，随机变量分布列，数学期望19. 如图，正方形 与等边三角形 所在的平面互相垂直， 分别是 的中点.（1）证明： 平面 ；（2）求锐
16、二面角 的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2) .【解析】试题分析：（1）由根据平行四边形的规则得到对边平行，可得 平面 ，同理可证 平面 ，进而得到平面 平面 ，从而得到线面平行；（2）由空间向量法求面的法向量和线的方向向量，根据空间向量的运算公式求线面角的值.（1）证明：取 中点 ,连结 .由题意可得 ,因为 平面 , 平面 ,所以 平面 ,同理可证 平面 .因为 ,所以平面 平面 ,又 平面 ,所以 平面 .（2）解：取 的中点 ,连接 .由题意可得 两两垂直,以 为坐标原点， 所在直线为 轴， 轴， 轴，建立空间直角坐标系. 令 ，则 .所以 .设平面 的法向量则令 ，则因为 是平
17、面 的一个法向量所以所以锐二面角 的余弦值为 .20. 已知椭圆 的左焦点为 ，左顶点为 .（1）若 是椭圆上的任意一点，求 的取值范围；（2）已知直线 与椭圆相交于不同的两点 (均不是长轴的端点） ， ，垂足为 且 ，求证 :直线 恒过定点.【答案】(1) .(2)证明见解析.【解析】试题分析：（1）设点的坐标 ，由向量坐标化的方法得，根据点在椭圆方程上得到 ，进而得到范围。 （2）联立直线和椭圆得到二次方程，向量坐标化，根据韦达定理得到，进而得到结果。（1）设 ，又 所以 ，因为 点在椭圆 上，所以 ，即 ，且 ，所以 ，函数 在 单调递增，当 时， 取最小值为 0；当 时， 取最大值为
18、12.所以 的取值范围是 .（2）由题意：联立 得，由 得设 ，则 .，所以即，所以 或 均适合.当 时，直线 过点 ，舍去，当 时，直线 过定点 .点睛：这个题目考查了直线和圆锥曲线的应用。用到了二次函数求最值的应用；向量坐标化的意识；一般圆锥曲线和向量结合的题目，先是采用向量坐标化的方法来确定做题方向，将向量关系转化为坐标关系，之后就会知道需要联立应用韦达定理。21. 已知 ，函数 .（1）若函数 在 上为减函数，求实数 的取值范围；（2）令 ，已知函数 ，若对任意 ，总存在 ，使得 成立，求实数 的取值范围.【答案】(1) .(2) .【解析】试题分析：（1）由条件知函数单调递减则则需
19、在 上恒成立,即在 上恒成立，转化为求函数最值问题。 （2）若对任意 ，总存在 .使得 成立，则，函数 在 的值域是 在 的值域的子集.分别求两个函数的值域，转化为集合间的包含关系即可。（1）因为 ，要使 在 为减函数，则需 在 上恒成立. 即 在 上恒成立，因为 在 为增函数，所以 在 的最小值为 ，所以 .（2）因为 ，所以 .，当 时， ， 在 上为递增，当 时， ， 在 上为递减，所以 的最大值为 ，所以 的值域为 .若对任意 ，总存在 .使得 成立，则，函数 在 的值域是 在 的值域的子集.对于函数 ，当 时， 的最大值为 ，所以 在 上的值域为 ，由 得 ；当 时， 的最大值为 ，
20、所以 在 上的值域为 ，由 得 或 (舍）.综上所述， 的取值范围是 .点睛：这个题目考查了导数在研究函数单调性和函数最值范围问题的应用；均是转化为了函数恒成立求参的问题。恒成立有解求参的问题一般可以转化为变量分离求最值问题；或者转化为一个函数在另一个函数的上方。请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 ( 为参数） ，在以原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线 的极坐标方程为 .（1）求 的普通方程和 的倾斜角；（2）设点 和 交于 两点，求 .【答案】(1) 的普通方程为 ，直线 的斜率角为 .(2)
21、.【解析】试题分析：（1）由参数方程消去参数 ，得椭圆的普通方程，由极坐标方程，通过两角和与差的三角函数转化求解出普通方程即可求出直线 l 的倾斜角（2）设出直线 l 的参数方程，代入椭圆方程并化简，设 A，B 两点对应的参数分别为t1，t 2，利用参数的几何意义求解即可试题解析：（1）由 消去参数 ，得即 的普通方程为由 ，得 将 代入得所以直线 的斜率角为 .（2）由（1）知，点 在直线 上，可设直线 的参数方程为 ( 为参数)即 ( 为参数)，代入 并化简得设 两点对应的参数分别为 .则 ，所以所以 .23. 已知函数 .（1）求不等式 的解集 ；（2）设 ，证明： .【答案】(1) 或 ；(2)证明见解析.【解析】试题分析：（1）把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求（2）因为 ，要证 ，只需证 ，即证，平方作差即可证得不等式成立试题解析：（1）解：当 时，原不等式化为 解得 ；当 时,原不等式化为 解得 ，此时不等式无解；当 时，原不等式化为 解 .综上， 或 （2）证明，因为 .所以要证 ，只需证 ，即证 ，即证 ，即证 ，即证 ，因为 ，所以 ，所以 ，所以 成立.所以原不等式成立.
