高等代数习题2.doc

1、高等代数习题库第一章 行列式1. 决定以下排列的反序数，从而决定它们的奇偶性.(1) 134782695 (2) 217986354 (3) 9876543212. 如果排列 的反序数为 ，排列 的反序数是多少?121nx k12nx3. 写出 4 阶行列式中所有带有负号并且包含因子 的项.3a4. 按定义计算行列式(1) ; (2) 00210nn 00210nn5. 设 ，不计算行列式，求展开式中 的系数.2()31xf 3x6. 求 ，这里 是对所有 元排列求和.12121212nn njjjjjnjjaa 12nj7. 证明： 111112122222112 ()()()()()()(

2、)()()()jnn jjnnnnnjndatattatttd tttatdtatt 8. 计算下列行列式.(1) ; (2) ; (3) 2467321051xyx1234(4) ; (5) 11xy22222222(1)()(3)()()()aabbccdd(6) ; (7) ; (8) 0173689425134570156221439. 已知 阶行列式n121212nnnaaD 为常数，若 的值为 ，求下列行列式的值:12,nb c21121212nnnnabab 10. 设 是 阶行列式，若 的元素间满足关系：DD(,1,)ijjia则称 是一个反对称行列式. 求证：当 是奇数时,

3、阶反对称行列式的值为零.n11. 计算下列 阶行列式n(1) ； (2) ； 112031n 1232n(3) ；xaaxaaa(4) ；1231(0,12,)11inaan (5) ； (6) ；221aa 111()()nnnaa(7) ； (8) 00xyxyy 1231231nnaaaaa12. 证明(1) ；1111122222bcabca(2) 2001;(0)xyzzyxzz(3) 1010;()001n(4) .cos1002cos0cos012n13. 计算下列行列式的值(1) ;11 11121112 222 ;(0,1,2)nn nnnnniiabaababn (2) ;

4、 (3) ;32452131nn xaaax(4) 221122;(0)ninnnxaaxx(5) ; (6) ;122121nnnxx aabxabbx(7) ； xyyzzxyz(8) 750020750214. 利用 Laplace 定理计算(1) ; (2) 12103011 111 1n nn nababcdcd 15. 利用 Laplace 定理证明11 11,11,1,1,1, ,0k kkknkkkknkknknnkkaaaa aa 16. 设 都是实数，且1212,;,nnab .计算行列式 的值，其中0,12,ijbijn D112122121nnnnababDabab17

5、. 用克拉默法则解下列方程组(1) ; (2) 1234123468xx 1234123425xx(3) ; (4) 512345123418423xxxx 1234354601xx18. 设水银密度 与温度 的关系为ht2301atat由实验测定得以下数据： | 03.6.573.1.52tCCh求 时水银密度(准确到小数两位).15,40tC19 在几何空间中有不在同一直线上的三点 和1122(,)(,)Mxyzxyz，试建立用行列式表示的过这三点的平面方程.323(,)Mxyz20. 设 123:0,:,Lxy是三条不同的直线，若 交于一点，试证： 123, 0第二章 矩 阵1. 设 是

6、 阶矩阵， 是一个数，试问 与 有什么关系？Ankdet()kAet()2. 设 ，计算 .3112,20B,B3. 计算(1) ; (2) ; (3) ;213010ncosini(4) ; (5) ; (6) ;431257343125710n(7) ; (8) 121abxxyyc11n4. 求所有与矩阵 可交换的矩阵.A1001()2;()35. 证明：若 阶矩阵 与所有的 阶矩阵可交换,那么 一定是数量矩阵.nAnA6. 在中学代数中,有平方差公式 ,现设 是两个 阶2()abab,Bn矩阵,问对于矩阵是否有 成立? 为什么?2()BB7. 用 表示 行 列的元素为 1,而其余元素全

7、为零的 矩阵,而ijEj .证明：()ijnAa(1) 如果 ,那么当 时 ,当 时 ;12A1k0ka20ka(2) 如果 ,那么当 时 ,当 时 且 ;ijij iijjija(3) 如果 与所有的 阶矩阵相乘可交换,那么 一定是数量矩阵,即 .nAAE8. 如果 ,证明： 当且仅当 .1()2ABE2A2BE9. 矩阵 称为对称的,如果 ,证明：如果 是实对称阵且 ,那么T 20.010. 矩阵 称为反对称的 ,如果 ,证明:任一 矩阵都可以表示为一ATAn对称阵与一反对称阵之和.11. 设 是 阶矩阵,则 主对角线上元素之和 称为矩()ijan12naa阵 的迹,记为 . 设 为 阶矩

8、阵, 是常数,求证：trBk(1) ；()trABtr(2) ；k(3) .()()tt12. 求证：(1) 上(下) 三角阵的逆矩阵也是 (下)三角阵；(2) 对称矩阵的逆矩阵也是对称矩阵；(3) 反对称矩阵的逆矩阵也是反对称矩阵.13. 设 ,用初等变换的方法求 ,通过求 来回答下面的问1230456A1A1题：可逆的上三角阵 12120nnbbB的逆矩阵还是上三角阵吗?为什么?14. 解矩阵方程.(1) ;2310102X(2) ,其中 .2AE10A15. 若 阶矩阵 都可逆,问 也可逆吗?为什么?nB,B16. 把下列矩阵化为它的等价标准形.(1) ; (2) 21304A0123A

9、17. 设 ,求可逆矩阵 与 ,使得 .1201APQ0rEA18. 求 ,设1(1) ; (2) ;(3) ;2301A120A11A(4) ; (5) ;2341106A13205786A(6) 2102A19. 若 为 阶矩阵, 可逆,求证： 也可逆.,BnnEABnEBA20. 对 阶矩阵 ,求证： .*()21. 求证：若 ,则 .2*2|n22. 计算下列分块矩阵的乘法.23. 设有分块矩阵 ,其中 为可逆矩阵,求 的逆矩阵.0ACBC24. 设 为 阶方阵,求证：,ABn|ABA25. 设 ,求证:2|B26. 设 是 4 阶矩阵, , 求 的值.A|A1*|4|A27. 设 是

10、 阶方阵且 ,求证: 是可逆矩阵 .n2nE28. 若 ,求证下列行列式的值为零.311212 212nnnnxyxy 29. 设 都是 阶矩阵,求证：,ABCD|MABCDABCDCABD30. 设 分别是 和 矩阵.证明：,nm|nmEABE31. 设 分别是 和 矩阵, .证明：,ABn0|nm32. 设 分别是 阶方阵,证明：若 都是可逆矩阵,则, ,AB也是可逆矩阵,并求其逆矩阵.BA(提示： ).000EABEBA33. 设 都是 阶方阵, 是可逆矩阵, 且 . 求证：,CDnC.ABDC(提示： ).11 100EECAAB 第三章 线性空间1. 已知向量 123,03,0,1,

11、0,12,求解下列向量方程 135.x2. 已知向量， .1234,0,0,0,1,0,12,031a求 使得 .234,x124xxa3. 设向量组 线性无关， 线性无关，问 是否3,23,1234,线性无关？4. 若 ， ， 是三个 维向量， 与 线性无关， 与 线性无关，n与线性无关. 问 ， ， 是否线性无关？5. 已知 个向量 线性相关，但其中任意 个向量都线性无m12,m1m关，证明（1）如果 ，则 或者全为 ，或全不为 .12mkk 12,mk 00（2）如果存在两个等式，12mkk，12mll其中 ，则10l12.mkkll6. 设 ， ， 线性无关，证明 ， ， 也线性无关.

12、7. 设 维列向量 线性无关， 是可逆阵，则n12,mA线性无关.12,mA8. 设 可由向量组 线性表示，但不能由其中任何一个个数少12,m于 的部分向量组线性表示，求证： 线性无关.12,m9. 设 是一组 维向量，如果单位向量 可由它们线性12,n12,n表示，则 线性无关.,10.设 是一组 维向量，证明： 线性无关的充要条12,n 12,n件是任一 维向量都可以由它们线性表示.11. 设 ，123213121, ,r rrr 证明 与 有相同的秩.12,r ,r12. 设 是一组线性无关的向量， 证12,r 1,2.riijar明： 线性无关的充要条件是12,r.1212120rrr

13、aa 13. 一个向量组的任何一个线性无关的向量组都可以扩充为一极大无关组.14.求证： 阶方阵 是幂等矩阵（ ）的充分必要条件是nA2A().nRAE15.设 是 阶方阵，求证： 的充分必要条件是2nAE()().nn16.设 是 阶方阵，求证：A()(.nrrn17. 判别下列集合对于指定的运算是否构成相应的数域上的线性空间？（1）次数等于 的实系数多项式的集合，对于多项式的加法与实数与(1)n多项式的乘法；（2）数域 上 维向量的集合，按通常的向量加法，而数乘定义为Pn.1212(,)(,)nnkaa （3） 区间上可导函数的全体在函数的加法及数乘下，这里数域是实数0,1域；（4）平面上

14、全体向量，对于通常的加法及如下定义的数乘：.k0（5）全体正实数 ，加法与数乘定义为：R.;kaba13.给出 4 维线性空间 的一组基，并求矩阵 在所给的基下2P 2135A的坐标.14.求向量 在基12(,)na2,(1,0),(1,0)n 下的坐标.15.设 实数域上次数不超过 的多项式全体所称的实线性空间，求证：Vn是 的一组基.21,nx16.设 是数域 上 阶上三角阵所成的集合，证明：在矩阵的加法及数乘Pn下 是线性空间，并求出 的维数.VV17.设 是数域 上 阶上对称矩阵所成的集合，证明：在矩阵的加法及数n乘下 是线性空间，并求出 的维数.18.设 是线性空间 的一组基， 是

15、中的一组向量，12,nV12,nV如果 与 等价，那么 也是线性空间 的一组基.,12,n,19.设 ， 是线性空间 的两个子空间，且 ，证明：如果1W12W，则 .2dimi1220.设 ，nPA（1）证明：全体与 可交换的矩阵组成 的一个子空间 ；nP()CA（2）当 时，求 ；E()CA（3）当 102n A时，求 的维数及它的一组基.()CA21. 设 是数域 上线性空间 的 个真子空间，证明：在 必12,sW PVsV存在一个向量 ，它不属于 中任何一个.12,sW22.设 是 维线性空间 的一组基， 是一个 矩阵，12,n Ans.1212(,)(,)sn A证明： 的维数等于 的

16、秩.12(,)sLA23.设 ， 是线性空间 的两个子空间，如果 与WV12,r分别是 与 的基，且 是直和，则12,s 1212W就是 的一组基.2,rs 1224. 设 阶方阵 的行列式等于零，则 的秩不超过 1.n()ijaA*A25.设 ， 分别是数域 上的齐次线性方程组1W2P.120nxx证明： 维列向量空间 .n12VW26.求下列齐次线性方程组的基础解系：(1) 12345123450,6,5;xx(2) 12340,.xx27.讨论 取何值是，下列方程组有解，并求解：,ab(1) 1232123,;x(2) 1234,.axb28. 取何值时线性方程组123,4.xx无解？有

17、唯一解和无穷多解？并求出一切解.29.设四元齐次线性方程组（I）为 12340,.xx已知另一四元齐次线性方程组（II）的一个基础解系为.12(2,1)(,48)TTaa1）求方程组（I）的一个基础解系；2）当 为何值时，方程组（I）与（II）有非零的公共解.a30.齐次线性方程组（I） 和（II）12305xxa1230(1)xbcx同解，求 的值.,bc31.设 121324351,.xaxa证明：该方程组有解的充分必要条件是 . 在有解的情形，求出它的一510i般解.32. 设 是数域 上的 阶方阵，如果线性方程组 和 同解，,ABPn0AxB且每个方程组的基础解系都含 个线性无关的向量

18、. 证明： .m()Rnm33. 设 是秩为 的 矩阵，求证：必存在一个秩为 的 的rnr()r矩阵 ，使得B0A34. 设 是秩为 的 矩阵， 与 是齐次线性rmn12,nr12,nr方程组 的两个基础解系，求证：必存在 阶可逆矩阵 ，使得0x Q.1212(,)(,)nrnr 35. 设线性方程组 12121,1, 1,0,.nnnnaxax 的系数矩阵为 12121,21,nnnaaA设 是矩阵 中划去第 列剩下的 矩阵的行列式.iMi()(1) 证明： 是方程组的一个解；112(,nM(2) 如果 的秩为 ，则方程组的解全是 的倍数.A 112(,()nM第四章 线性变换1. 判别下面

19、的变换，哪些是线性变换，哪些不是：(1) 在线性空间 中， ，其中 是一固定的向量；V()AV(2) 在线性空间 中， ，其中 是一固定的向量；(3) 在线性空间 中， ；nPx()fx(4) 在线性空间 中， ；32212313,)x；()(0A；1231231,)xx；()(0(5) 在 中， 其中 是 中两个固定的矩阵.nP),XB,AnP2. 设 是数域 上线性空间 上的线性变换， 是 的两个子空间，AV12,WV且有 .证明： 可逆的充分必要条件是 .12VW2()()A3. 证明： 是线性空间 的一组基. 并求出线性变换2,1x3x()fA在这组基下的矩阵.4. 在 中定义线性变换

20、2P；1()abXcd；2()A.3()abXcd分别求出 ， ， 在基 下的矩阵.1A212,II5. 设在数域 上的三维线性空间 上的线性变换 在基 下的矩阵PVA123,为.12133aA求 (1) 在基 下的矩阵；A321,(2) 在基 下的矩阵，其中 ，且 ；kkP0(3) 在基 下的矩阵.123,6.设 是线性变换，如果 证明：,B=,ABE是大于 1 的正整数.1=,kkkAB7.设 阶矩阵 和 相似，且 可逆. 则 与 相似.nABA8.设 是数域 上的二维线性空间，线性变换 在基 下的矩阵是VP12,.210也是 的一组基，且从基 到 的过渡矩阵为12,12,12,.求 在基

21、 下的矩阵及 为正整数.A12,21,0k9.证明：方阵与 12naa 12niiia相似，其中 是 的一个排列.12,nii ,10.如果 和 相似， 和 相似，证明ABCD与0AB相似.11. 设 是 维线性空间 的一个线性变换，且 ， . 证明：AnV1n0An在 中存在一组基，使得 在这组基下的矩阵是V001010 12.设 是四维线性空间 的一组基，线性变换 在基1234,VA下的矩阵是1234,.102135(1) 求 在基 下的矩A124234344,2阵；(2) 求 的值域与核；(3) 在 的值域中选择一组基，把它扩充为 的一组基，并求 在这组VA基下的矩阵；(4) 在 的核中

22、选择一组基，把它扩充为 的一组基，并求 在这组基A下的矩阵.13. 设 是有限维线性空间 的一个线性变换， 是 的一个子空间. 证VWV明：.1dim()i()dimW0A14. 设 是 维线性空间 线性变换. 证明：,Bn的秩 的秩+ 的秩 .Bn15. 设 是线性空间 的 个两两不同的线性变换，则在 中必12,s Vs V存在向量 ，使得 也两两不同.2(),()A16. 设 是线性空间 线性变换，且 ， . 证明：,B2=A2B(1) 有相同的值域 ；,B(2) 有相同的核 .,17. 设 是 维线性空间 线性变换. 证明：AnV的秩= 的秩2 1()()0A18. 设 是线性空间 的一

23、个子空间， 是 的一个线性变换. 证明：如WV果 是 的不变子空间，则可以选择适当的基，使得 在这组基下的矩阵具A有如下形状：.0ACB19.设 是 维线性空间 的可逆的线性变换， 是 的子空间，且对于AnVWV不变.证明： 也是 的不变子空间.W120. 设 是 维线性空间 线性变换，且 . 证明：2=A(1) ；1()()|V0A(2) 若 是 线性变换，则 与 都是 的不变子空间的充要条B1()0A)B件是第五章 多项式1. 用 除 ，求商 及余式 ：()gxf()qx()rx(1) ， ；4321f23g(2) ， .()()12. 设 ， . 如果 除 后432fxxab2x()gx

24、f余式为 ，试求 的值. 3,ab3. 满足什么条件时，有,mpq(1) ;242|xxpx(2) .1q4. 利用综合除法将多项式 按 的方幂展开.432()6157fxx15. 证明：如果 ，且 ，则 .()|fxgdeg()f ()|fx6. 证明：如果 ，则 . 其中 为正整数.k|()k7. 如果 ，问是否必有 ？如果不成立，请给出反(1)|(nf1|()nnxf例，如果成立，请说明理由.8. 求 与 的最大公因式：()fxg(1) ， ；43265x532()41gxx(2) ， .()1f 32()19. 求 使得 ：,uxv(),()ufvf(1) ， ；5432()3656f

25、x432gxx(2) ， .212()110. 设 ， 的最大公因式是一个二3()()fxtu3tu次多项式，求 的值.,tu11. 证明： ，其中 的首项系数为(),()(),()fhgxfxgh()x1.12. 设 ，请举例说明 不一定是 与()()()ufvd()d()fx的最大公因式.并证明： 是 与 的最大公因式，当且仅当()gxxfgx是它们的公因式.d13. 证明：如果 ， ，且 是 与 的一个组()|dxf()|dxg()dxf()gx合，那么 是 与 的一个最大公因式.()dxfg14. 设 是不全为零的两个一元多项式，求证：,()(),1.,fxgxf15. 设 是一元多项

26、式 与 的一个公因式且首项系数为 1. 证明：()hx()f()(), .fxgfxghh16. (),1(),()1fxgff17. 如果一元多项式 与 不全为零，且xg，()()(),ufvxfgx则 .(),1uxv18. 证明：只要 的次数大于零，就可以适当的选()(),fxgfx择满足等式 ()()(),uxfvgfg的 与 ，使得()uxv()()deg(),de()., ,f xxxgfg19. 如果多项式 满足：m(1) ， ；()|fx()|(2) 的任一个公倍式都是 的公倍式，,g()mx则称 为 的一个最小公倍式，记为 . 证明：如果()()f ,()fgx的首项系数都是

27、 1，那么,fx.()(),fxfxg20. 设 是次数大于零的多项式，如果对于任意多项式 ，由()px (),fxg可以推出 或者 ，那么 是不可约多项式.()|xfg()|pxf()|pxgp21. 设 是不全为零的两个一元多项式，求证：(),（ 为正整数）.(,)(,)nnfgfn22. 设 是不全为零的两个一元多项式，且(),fxg.()()|(),PfxsgtxstPx证明： 中次数最低的多项式是 与 的最大公因式.f23. 设 的最大公因式是 ，则必存在12(),()nf ()d，使得12(),()ngxgx.12()()()nffxgfxgx特别地， 互素 存在 使得12(),n

28、f 12,n.12()()()()nfxffd24. 设 是数域 上的两个一元多项式， 为给定的正整数. 证明：(),gPk.()|()|kkfxgfxg25. 如果一元多项式 与 互素，则 与 .其中 为正整数.()f ()kf()kx26. 判别下列多项式有无重因式：(1) ；432()61fxx(2) .4327. 求 使得下列多项式有重根：,st(1) ；432()1fxsx(2) .t28. 设 是一个不可约多项式. 证明 是 的 重因式，当且仅当()p()pxfk.1()|,()|,|,|kxfxffxf29. 举例说明，若不可约多项式 是 的 重因式，而 不一() ()px定是

29、的 重因式. 又当 是 的因式时情形如何？()fk()pfx30. 求 在实数域及复数域上的因式分解. 其中 为正整数.1x k31. 证明： 是多项式 实根的一个上界.c32()84f32. 求下列多项式的有理根：(1) ；32()84fxx(2) ；53(3) .4()6f33. 设 都是奇数，则 没有整数根.0,1f()fx34. 证明下列多项式在有理数域上不可约：(1) ；4376x(2) ；6102(3) ， 为素数.pp35. 若 为素数，证明： 12()1pfxx在有理数域上不可约.36. 设 为整系数多项式. 如果110() ,nnnfxaa存在素数 满足：p(1) ；0|(2

30、) ；,1,2ian(3) ，2|np则 在有理数域上不可约，是否正确？()fx37. 设既约分数 是整系数多项式 的pq 110()nnfxaxax根，证明： ， .0|a|n38. 设 是实系数多项式，证明：110()fxxx(1) 如果 全是正数，则 没有负实根；1i()f(2) 如果 全是负数，则 没有负实根；()ia(3) 如果 全正或全负，则 没有实数根.i ()fx39. 设 ，其中 是两两不同12()(1nfxa (1,2)ian的整数. 证明： 在有理数域上不可约.40. 设 为素数， 为整数， ， ，证明：p2|p()pfxx没有有理根.()fx41. 设 是有理数域上的

31、次多项式，且在有理数域上不可约，()fx()n如果 一个根的倒数也是 的根. 证明： 每一个根的倒数也是()f )fx()fx的根.x42. 一个非零复数 是某一有理系数非零多项式的根当且仅当存在一个有理系数多项式 使得 .()fx1()f43. 用初等对称多项式表出下列对称多项式：(1) ；1231()()x(2) ；122331()()()xxx(3) ；223(4) 312311()()44. 设，011()nnfxaxax.mmgbb称下面的 阶行列式：mn012102012010(,) 0nnmaaRfgaabbb 为 与 的结式. 证明：多项式 与 有公共根的充分必要条件是它们的f

32、g()fxg结式 .(,)0R第六章 特征值1. 求下列矩阵的特征值与特征向量：(1) ； (2) ； (3) .1043210102342. 已知 是两个非零向量且 ，求矩1212,nnab 0阵 的全部特征值.A3. 设 使线性空间 上的线性变换， 有一个直和分解：VV，12m其中每个 是 的不变子空间. 设 限制在 上的特征多项式为 ，求证：iVAAiV()if的特征多项式.12()()mfff4. 证明： 阶矩阵 以任一非零 列向量为特征向量的充分必要条件是nAn，其中 是常数.cAE5. 设.1530acbA如果 ， 有一个特征值 且属于 的一个特征向量为 . 求1A*01,T的值.

33、0,abc6. 判断下列矩阵是否相似于对角阵，如果是，求出可逆矩阵 ，使得P为对角阵.1PA(1) ；21530(2) .1423A7. 矩阵 是 3 阶方阵，其特征值为 1，1，3，对应的特征向量依次为，2,0,0,TTT求出矩阵 .A8. 设 3214kA当 为何值时，存在可逆矩阵 ，使得 为对角阵. 求出 和对角阵.kP1P9. 求证：(1) 如果 是幂零阵，即存在自然数 使 ，则 的特征值全为零，A1k0kA并且 不可对角化.(2) 若 ，则 的特征值为 或者 ，并且 可对角化.2nE1(3) 若 ，则 的特征值为 或者 ，并且 可对角化.A0A10. 设 是 的两个不同的特征值， 分

34、别是 的特征值，则12,12,12,必不是 的特征向量.1211. 设 使复数域上的 维线性空间， 与 是 的两个线性变换，且VnABV.证明：AB(1) 如果 是 的一个特征值，那么 是 的不变子空间 .0A0(2) 与 至少有一个公共的特征向量.12. 设 是 矩阵， 是 矩阵，且 . 求证：mnBnmn.nEAEBA13. 设 是数域 上 维线性空间 的线性变换且可逆. 证明：APnV(1) 的特征值不为零；(2) 如果 是 的特征值，则 是 的特征值 .010A14. 设 是数域 上 维线性空间 的线性变换，证明： 的行列式为零APnVA的充分必要条件是 的一个特征值为零.15. 设

35、是一个 阶下三角阵，证明：n(1) 如果当 时， ， ，那么 相似于一个对角阵.ijija,12,in A(2) 如果 ，而至少有一个 ，那么 不相12n 00,()ijaijA似于对角阵.16. 证明：对任一 阶复方阵 ，存在可逆矩阵 ，使得 为上三角nAP1矩阵. 第七章 矩阵1. 将下列 矩阵化为标准形：(1) ； (2) .21 22200(1)2. 求下列 矩阵的不变因子：(1) ； (2) .210 2220101()3.证明 121010naa 的不变因子是 ，其中 .1,()nf1()nnf a4. 设 是数域 上的 阶矩阵，证明 与 相似.APAT5. 设，01求 .nA6.

36、 求下列复系数矩阵的若当标准形：(1) ； (2) ；(3) .10432123640101100 7. 求下列矩阵的最小多项式：(1) ； (2) .11123408.设 阶矩阵 的特征值为 .证明： .nA12,n 21,1nniika第八章 二次型1. 证明：秩等于 的对称矩阵等于 个秩为 1 的对称矩阵之和.rr2. 设 是 的一个排列，则下面两个对角阵12,iin 12,n与 合同.12n 12iiin3. 若可逆矩阵 和 合同，求证： 和 也合同.AB1AB4. 用配方法把下列二次型化成标准形.（1） ；12324xx（2） ；234（3） ；121243x（4） 343243xx

37、5. 用初等变换法把下列二次型化为标准形，并求可逆矩阵 .C（1） ；221341242343()xxx（2） ；3x(3) ;213128x(4) 4436x6. 用非退化的线性替换化下列二次型为标准形：（1） ；231nx（2） 1niijijnx7. 设 是一个 阶矩阵，证明A（1） 是反对称矩阵当且仅当对于任一个 维向量 ，有 ；nX0TA（2）如果 是对称矩阵，且对任一个 维向量 有 ，那么.08. 如果把实 阶矩阵按照合同分类，即两个实 阶矩阵属于同一类当且仅nn当它们合同，问共有几类？9. 证明：一个秩大于 1 的实二次型可以分解为两个实系数的一次多项式之积的充分必要条件是它的秩等于 2 且符号差等于零.