1、立体几何小练1.已知二面角 -l- 为 60o ，动点 P、Q 分别在面 、 内，P 到 的距离为 3，Q 到 的距离为23，则 P、Q 两点之间距离的最小值为（ ）C(A) (B)2 (C) 23 (D)4 2. 如图，在半径为 3 的球面上有 BA、 三点， AB=90， BC,球心 O 到平面 ABC的距离是 ，则 C、 两点的球面距离是（ ）BA. 3 B. C. 34 D.23. 如图，正方体 1D的棱线长为 1，线段 1D上有两个动点E，F，且 2，则下列结论中错误的是 （ ） A（A） CB（B） /EFABC平 面（C）三棱锥 的体积为定值（D ）异面直线 ,EBF所成的角为定
2、值4. 在正四棱柱 1中，顶点 1到对角线 1D和到平面 1AC的距离分别为 h和 d，则下列命题中正确的是（ ）CA若侧棱的长小于底面的变长，则 hd的取值范围为 (0,)B若侧棱的长小于底面的变长，则 的取值范围为 23,C若侧棱的长大于底面的变长，则 hd的取值范围为 (,)D若侧棱的长大于底面的变长，则 的取值范围为 23(,)5. 设 12345,A是空间中给定的 5 个不同的点，则使 123450MAAM成立的点M的个数为 ( )A0 B1 C5 D10 6. 如图，动点 在正方体 的对角线 上过点 作垂直于平面 的直线，P1ADB1P1BD与正方体表面相交于 设 ， ，则函数 的
3、图象大致是（ ）BN， PxNy()fxA BCD MNPA1 B1C1D1 yxAOyxBOyxCOyxDO7. 如图， 到 的距离分别是 和 ， 与 所成的角分lA， ， ， ， ， labAB，别是 和 ， 在 内的射影分别是 和 ，若 ，则（ ）D ， mnabA Bmn， ，C D， ，8. 某几何体的一条棱长为 ，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为 的线段，7 6在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为 a 和 b 的线段，则 a + b 的最大值为（ ）CA. B. C. 4 D. 23259. 如图 1，在正四棱柱 中， 分别是 ， 的1ABCDEF， 1AB
4、C中点，则以下结论中不成立的是（ ）CA 与 垂直 B 与 垂直EF1EFC 与 异面 D 与 异面110. 如图，正三棱柱 的各棱长都 2，E，F 分别是 的中点，则 EF 的长是( ) C1A1,ABC(A)2 (B) (C) (D)35711. 将半径都为 1 的 4 个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为 （ ）C（A） （B）2+ （ C）4+ （D）362362362362412. 如图，在直三棱柱 ABCA 1B1C1 中，底面为直角三角形，ACB90， AC6，BC CC1 ，P 是 BC1 上一动点，则 CPPA 1的最小值是_ 5213. 如图，在
5、长方形 ABD中， 2， B， E为 DC的中点， F为线段 EC（端点除外）上一动点现将 F沿 折起，使平面 A平面 B在平面 A内过点 D作 DK， 为垂足设 Kt，则 的取值范围是 A BC11DEFPC1B1A1CAB答案： 1,2 14. 直三棱柱 1ABC的各顶点都在同一球面上，若 12ABC, 10BAC，则此球的表面积等于 。 240R15. 对于四面体 ABCD，下列命题正确的是_ （写出所有正确命题的编号） 。 相对棱 AB 与 CD 所在的直线异面； 1由顶点 A 作四面体的高，其垂足是 BCD 的三条高线的交点； 2若分别作 ABC 和 ABD 的边 AB 上的高，则这
6、两条高所在直线异面； 3分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点; 4最长棱必有某个端点，由它引出的另两条棱的长度之和大于最长棱。 516. 已知正三棱柱 1BCA的各条棱长都相等， M是侧 棱 1C的中点，则异面直线1ABM和所成的角的大小是 。 o9017. 在三棱锥 中， ， ， ，P2ACBPABC（）求证： ；AB（）求二面角 的大小；C（）求点 到平面 的距离18. 如图，正四棱柱 中， ，点 在 上且1D124ABE1CEC31（）证明： 平面 ；1ABE（）求二面角 的正切值D19. 如图，在三棱锥 PABC中， 底面,60,9ABCPABCA，点 ， E分别在棱
7、上，且 /EA BCDEA1 B1C1D1ACBP（）求证： BC平面 PA；（）当 D为 的中点时，求 D与平面 PAC所成的角的大小；（）是否存在点 E使得二面角 E为直二面角？并说明理由.（）PA底面 ABC，PA BC .又 90，ACBC.BC平面 PAC.（）D 为 PB 的中点，DE/BC， 12EBC，又由（）知，BC平面 PAC，DE平面 PAC，垂足为点 E.DAE 是 AD 与平面 PAC 所成的角，PA底面 ABC，PAAB，又 PA=AB，ABP 为等腰直角三角形， 12AD，在 RtABC 中， 60BC， .在 RtADE 中， sin24EBA， AD与平面 P
8、C所成的角的大小 arcsin.（）AE/BC，又由（）知，BC平面 PAC，DE平面 PAC，又AE 平面 PAC，PE 平面 PAC，DE AE，DE PE，AEP 为二面角 E的平面角，PA底面 ABC，PAAC， 90PAC.在棱 PC 上存在一点 E，使得 AEPC，这时 E，故存在点 E 使得二面角 D是直二面角.20. 如图，四棱锥 SABC中，底面 AB为矩形， SD底面ABCD， 22S，点 M 在侧棱 C上，M=60（I）证明：M 在侧棱 的中点（II）求二面角 SAB的大小。（I）解法一：作 N D交 C于 N，作 EAB交 于 E，连 ME、NB，则 面 ， M, 2D
9、设 MNx，则 CEBx,在 RT中， 603MEx。在 中由 22N2解得 1x，从而 1SD M 为侧棱 SC的中点 M. 解法二:过 M作 C的平行线.（II）过 作 J 交 于 J,作 HAJ交 于H,作 KA交 于 K,则 , 面 SD,面SD面 B, S面 BS即为所求二面角的补角.21. 在椎体 P-ABCD 中，ABCD 是边长为 1 的棱形，且DAB=60 ， 2PAD,PB=2,E,F 分别是 BC,PC 的中点（1） 证明：AD 平面 DEF;（2） 求二面角 P-AD-B 的余弦值法一：（1）证明：取 AD 中点 G，连接 PG，BG，BD。因 PA=PD，有 PAD，
10、在 B中， 1,60ADAB，有 D为等边三角形，因此 ,BG，所以 平面 PBG ,.PG又 PB/EF，得 EF，而 DE/GB 得 AD DE，又 FE，所以 AD 平面 DEF。（2） ,PGADB，为二面角 PADB 的平面角，在227, 4Rt G中在32RtABG中 ,=sin60227421cos 73PB法二：（1）取 AD 中点为 G，因为 ,.PADG又 ,60,ABDB为等边三角形，因此， BAD，从而 平面 PBG。延长 BG 到 O 且使得 PO OB，又 O平面 PBG，PO AD， ,OG所以 PO 平面 ABCD。以 O 为坐标原点，菱形的边长为单位长度，直线
11、 OB，OP 分别为 x轴，z 轴，平行于 AD 的直线为 y轴，建立如图所示空间直角坐标系。设1(0,)(,0)(,0),(,).2PmGnADn则 3|sin602GBA33131(,)(,1)(,0)(,).2242nmCEnF由于3(0,1)(,0)(,)2AD得 ,EFADEFDE平面 DEF。（2）13(,),(,0)22PAnmPBnm2 2133,(),1,.4 2mnnmn解 之 得取平面 ABD 的法向量 10,设平面 PAD 的法向量 2()nabc由 2 2330,0,0,0,2bPAPDnac得 由 得取 2(1,).n12321cos, .7422. 如图，在四棱锥 中，底面 是矩形已知ABCDP60,2,2,3PABDPAAB（）证明 平面 ；（）求异面直线 与 所成的角的大小；C（）求二面角 的正弦值。B
