1、高二数学导学学案求曲线的轨迹方程（二）（三）代入法（或叫相关点法）有些问题是当一个点在某种曲线上运动时，另一个点也随之运动。解这类问题的一般方法和步骤是（1）设要求轨迹的那个动点的坐标为(x,y)，已知动点的坐标为(m,n),根据题意找到(x,y)与(m,n)的关系， （2）用(x,y)表示出(m,n)，代入已知动点的轨迹方程中。例 10. 的的 中 点求 线 段为 定 点上 的 动 点是 椭 圆点 MAB。aAbyaxB)0(12轨迹方程。分析：题中涉及了三个点 A、B、M，其中 A 为定点，而 B、M 为动点，且点 B的运动是有规律的，显然 M 的运动是由 B 的运动而引发的，可见 M、B
2、 为相关点，故采用相关点法求动点 M 的轨迹方程。解：设动点 M 的坐标为（x，y） ，而设 B 点坐标为（x 0，y 0）则由 M 为线段 AB 中点，可得yayax2200即点 B 坐标可表为（2x2a，2y）上在 椭 圆点又 1)(20byax。yx。ba )(12220从 而 有14)(22byaxM的 轨 迹 方 程 为得 动 点整 理ba。的 椭 圆短 半 轴 为长 半 轴 为为 中 心的 轨 迹 是 以动 点 )0(例 11.ABC 中，B（3，8） 、C（1 ，6） ，另一个顶点 A 在抛物线 y2=4x 上移动，求此三角形重心 G 的轨迹方程.解：设点 G 的坐标为 ,点 A
3、 的坐标为 ,由三角形重心公式有：xy()mn3134862xnyy2A4nm点 在 抛 物 线 上 ，即： 2(3)yx例 12.自抛物线 y22x 上任意一点 P 向其准线 l 引垂线，垂足为 Q，连结顶点 O与 P 的直线和连结焦点 F 与 Q 的直线交于 R 点，求 R 点的轨迹方程.解：设 P（m，n） 、R（x，y ） ，则 Q（ ，n） 、F（ ，0） ，2121OP 的方程为 y= x， FQ 的方程为 y=n（x ） 21由得 m ，n ，1xy代入 n22m，可得 y22x 2+x.例 13线段 AB 的两端点分别在两互相垂直的直线上滑动，且 ，求 AB|2ABa的中点 P
4、 的轨迹方程。解：分别以这两条直线为坐标轴建立直角坐标系，设点 A（m,0 ）,B（0,n ）中点 P（x,y ） ，则2mxxnyy2|,ABaa从而有： x思考：若点 P 满足 又该如何解决？轨迹是什么图形？AB例 14. 已知定点 A（2，0） ，点 Q 是圆 x2y 21 的动点，AOQ 的平分线交 AQ于 M，当 Q 点在圆上移动时，求动点 M 的轨迹方程。分析 1： |OQAM。知的 性 质由 三 角 形 的 内 角 平 分 线QAO。A2|1|2| 故而即 点 分 成 比 为 ，MAQ2若设出 M（x，y） ，则由分点坐标公式，可表示出点 Q 的坐标，因 Q、M 为相关点， （Q
5、 点运动导致点 M 运动） ，可采用相关点法求点 M 的轨迹方程。解法 1：设 M（x，y） ，。OA。2|得质 定 理由 三 角 形 内 角 平 分 线 性M 在 AQ 上， 点 分 成 比 为AQ2210)()02( 0yx。yx。则的 坐 标 为若 设 点又上在 圆而 点 )(23200yxyxQyx94)3(1)23(1 20 yx。x 得化 简即。的 轨 迹 方 程 为点 94yxM分析 2： QOAM2|知性 质由 三 角 形 的 内 角 平 分 线ONAOQN|则于交作若 过。M。1|32|)032(而从 而。的 距 离 为 定 值到 定 点可 见 动 点为 定 值 32| MN的 圆半 径 为为 圆 心的 轨 迹 是 以因 此 32。yx94)32(其 方 程 为而当AOQ180时，其角分线为 y 轴，它与 AQ 交点为原点 O，显然，该点也满足上述轨迹方程。注：此种解法为定义法。
