1、通项公式求法 1 sn类型一： 和 的递推关系的应用通项 与前 n 项和 的关系任意数列 的前 n 项和 ；注意：由前 n 项和 求数列通项时，要分三步进行：（1）求 ，（2）求出当 n2 时的 ，（3）如果令 n2 时得出的 中的 n=1 时有 成立，则最后的通项公式可以统一写成一个形式，否则就只能写成分段的形式.例题 1】已知数列 的前 项和为 ，且 ， 求 annanS58nna*N解析：(1) 当 n1 时， a114；当 n2 时， anSnSn15an5an11，所以 ，15()6nna又 a11150 ，所以数列 an1是等比数列； ，得 ，6nn(5)设数列 的前 n 项和 ，
2、则 的值为n2nS8（A） 15 (B) 16 (C) 49 （D）645.A【解析】 .8764915aS【方法技巧】直接根据 即可得出结论.(2)nnaS（2010 辽宁文数） （3）设 为等比数列 的前 项和，已知 ， ，则公比na342Sa32Saq（A）3 （B）4 （C）5 （D）6解析：选 B. 两式相减得， ， .343a4433,aaq3.数列 na满足 121 2nn , *N. 求 的值； n的通项公式1（ 15 年山东理科改）设数列 的前 项和为 ，已知 求数列 的通项公式；aS2.na1 解：（）由 可得 ，3nS1(3)11()()2nnnna而 ，则131,3.n
3、a2.（15 年新课标 2 理科）设 nS是数列 na的前 n 项和，且 1a， 11nnS，则 n_2【答案】 n【解析】由已知得 11nnaSS，两边同时除以 1nS，得 1nS，故数列 1nS是以 为首项， 1为公差 的等差数列，则 1()nSn，所以 1nS3.数列 n满足 121 24nna , *N. 求 3a的值； 的通项公式3【 答案】 （1 ） 4；（2 ）1；（3 ）见解析4.(15 年广东文科) 设数列 na的前 项和为 nS， 已知 1a， 23， 54a，且当 2n时， 21458nnSS求 4a的值；2证明： 12nn为等比数列；3求数列 的通项公式4【答案】 （1
4、） 78；（2）证明见解析；（3） 12nna【例 1】 正项数列a n的前 n 项和 Sn满足：S (n 2n1)S n(n 2n) 0.2n(1)求数列a n的通项公式 an；(1)由 S (n 2 n1)S n(n 2 n)0，2n得S n( n2n)(S n1)0.由于a n是正项数列，所以 Sn0，S nn 2n.于是 a1S 12，n2 时，a nS nS n1 n 2n(n1) 2(n1)2n.综上，数列a n的通项公式为 an2n.例 2】 已知数列a n的前 n 项和为 Sn，且 Sna n1 n 2，nN *，a 12.(1)证明：数列a n1是等比数列，并求数列 an的通项公式；(1)因为 Sna n1 n2，当 n2 时，S n1 a n(n1)2a nn3，两式相减，得 SnS n1 a na n1 a n1，即 an1 2a n1，设 cna n1，代入上式，得 cn1 12(c n1)1，即 cn1 2c n.由 Sna n1 n2，得 an1 S nn2，故 a2S 1123，显然 a111，a 212，故 c22c 1.综上，对于 nN *，c n1 2c n都成立，即 an1 12(a n1)都成立，即数列a n1是等比数列，其首项为 1，公比为 2.
