1、2016 年广西秋季学期高三年级教育质量诊断性联合考试数学试卷（文科）第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列集合中，是集合 的真子集的是（ ）2|AxA B C D 2,5(6,)(0,5)(1,5)2.复数 的实部与虚部分别为（ ）37izA ， B ， C , D , 73i7373i3.设 为钝角，且 ，则 等于（ ）sin2cosnA B C D 161656134.设 ， ， ，则（ ）2log5a2lb29cA B C D cacababc5.设向量 ， ， ，若 （ ） ，
2、则 的值为（ ）(1,)(3,5)(4,)xRxA B C D 21229296.设 ， 满足约束条件 则 的最大值为（ ）xy70,xyyxA B C D0 322137.将函数 的图象向左平移 个单位后，得到 的图象，则（ ）cos()3yx6()fxA B 的图象关于 对称()infx()f3C D 的图象关于 对称 7132x(,0)128.执行如图所示的程序框图，若输入的 ， ，则输出的 等于（ ）2x4nsA94 B99 C45 D203 9.如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，其中俯视图的右边为一个半圆，则此几何体的体积为（ ）A B C D 164
3、1624848210.函数 的单调递增区间为（ ）2()xfA B C D ,0,1,)21,211.直线 与双曲线 的左支、右支分别交于 、 两点， 为右顶点，2yb21(,0)xyabBCA为坐标原点，若 ，则该双曲线的离心率为（ ）OAOCBA B C D 1023215219212.已知定义在 上的奇函数 在 上递减，若 对 恒成立，R()fx0,)3()()fxafx1,2则 的取值范围为（ ）aA B C D (3,)(,3)(,)(,3)第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13.若从 上任取一个实数作正方形的边长，则该正方形的面积大于
4、 4 的概率为 1,414.长、宽、高分别为 2,1,2 的长方体的每个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为 15.已知曲线 由抛物线 及其准线组成，则曲线 与圆 的交点的个数为 C28yxC2(3)16xy16.我国南宋著名数学家秦九昭在他的著作数书九章卷五“田域类”里有一个题目：“问有沙田一段，有三斜其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里里法三百步，欲知为田几何 ”这道题讲的是有一个三角形沙田，三边分别为 13 里，14 里，15 里，假设 1 里按 500 米计算，则该沙田的面积为 平方千米三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
5、17. （本小题满分 12 分）某体育场一角的看台共有 20 排，且此看台的座位是这样排列的：第一排有 2 个座位，从第二排起每一排比前一排多 1 个座位，记 表示第 排的座位数na（1）确定此看台共有多少个座位；（2）求数列 的前 项和 2(1)n020S18. （本小题满分 12 分）已知某企业的近 3 年的前 7 个月的月利润（单位：百万元）如下面的折线图所示：（1）试问这 3 年的前 7 个月哪个月的月平均利润最高？（2）通过计算判断这 3 年的前 7 个月的总利润的发展趋势；（3）试以第 3 年的前 4 个月的数据如表，用下行回归的拟合模式估测第 3 年 8 月份的利润月 1 2 3
6、 4份 x利润 y（单位：百万元）4 4 6 6相关公式： ， 1122()nniiiii iixyxyb aybx19. （本小题满分 12 分）如图，在直三棱柱（侧棱与底面垂直的棱柱） 中，点 是 的中点1ABCGAC（1）求证： 平面 ；1/BC1AG（2）若 ， ，求证： 21ACB20. （本小题满分 12 分）已知椭圆 ： 的焦距为 2，过短轴的一个端点与两个焦点的圆的面积为 ，过椭C21()xyab 43圆 的右焦点作斜率为 （ ）的直线 与椭圆 相交于 、 两点，线段 的中点为 Ck0lCABAP（1）求椭圆 的标准方程；（2）过点 垂直于 的直线与 轴交于点 ，求 的值PAB
7、x1(,0)7Dk21. （本小题满分 12 分）已知函数 ()ln()fxaR（1）若曲线 在 处的切线与直线 垂直，求 的单调区间；y1x270xy()fx（2）求证： 恒成立的充要条件是 ()f1a请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系 中，圆 的方程为 ，以 为极点， 轴的非负半轴为极轴建立xOyC22(3)(1)9xyOx极坐标系（1）求圆 的极坐标方程；（2）直线 ： （ ）与圆 交于点 、 ，求线段 的长P6RMN23. （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲已
8、知 ， 为不等式 的解集()|2|1|fxx()0fx（1）求 ；M（2）求证：当 ， 时， y|15y2016 年广西秋季学期高三年级教育质量诊断性联合考试数学试卷（文科）答案一、选择题1-5: 6-10: 11、12：DABCABDC二、填空题13. 14. 15.4 16.21239三、解答题17.解：（1）由题可知数列 是首项为 2，公差为 1 的等差数列，na （ ） 21na0此看台的座位数为 (2)3（2） ，21(1)()nn 20 20302S18.解：（1）由折线图可知 5 月和 6 月的平均利润最高（2）第 1 年前 7 个月的总利润为 （百万元） ，135748第 2
9、年前 7 个月的总利润为 （百万元） ，241第 3 年前 7 个月的总利润为 （百万元） ，6所以这 3 年的前 7 个月的总利润呈上升趋势（3） ， ， ， ，2.5xy2213401243654 ，40.80.b ，3a ，.8yx当 时， （百万元） ，估计 8 月份的利润为 940 万元0.9.419.证明：（1）连接 交 于 ，连接 1ABOG在 中，因为 ， 分别为 ， 的中点，所以 ，1BACGOAC1B1/OGBC又因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 111A（2）直三棱柱 ，故 底面 ， 平面 ，所以 B11BG又因为 为棱 的中点， ，所以 ，ACCB因为 ，所以 平面
10、，所以 ，1G1A1GAC因为 为棱 中点，不妨设 ，所以 ，G2又因为 ，所以在 和 中， ，12A1Rt1t11tantan2GA所以 ，即 ，所以 ，1C 90ACAC1C因为 ，所以 平面 ，B11BG因为 平面 ，故 1A1G20.解：（1）过短轴的一个端点与两个焦点的圆的半径为 ，设右焦点的坐标为 ，依题意知，43(,0)c又 ，解得 ， ， ，22,4(),3cab1b2ab1c所以椭圆 的方程为 C213xy（2）设过椭圆 的右焦点的直线 的方程为 ，l(1)ykx将其代入 ，得 ，2143xy22(4)840kx设 ， ，1(,)A2(,)B则 ， ，212834kx2143
11、kx ，121226()y因为 为线段 的中点，PAB故点 的坐标为 ，2243(,)k又直线 的斜率为 ，D1直线 的方程为 ，P2234()43kkyx令 ，得 ，由点 的坐标为 ，0y2xkD2(,0)k则 ，解得 21347k121.解：因为 ，所以 ，()afx()fa所以 ，解得 123令 ，得 ，所以 得单调递增区间为 ，3()0fxx()fx(3,)令 ，得 ，所以 的单调递减区间为 1 0（2）证明：充分性当 时， ， ，a()lnfx1()xfx所以当 时， ，所以函数 在 上是增函数；10f(,)当 时， ，所以函数 在 上是减函数0x()fx)x01所以 ()f必要性，
12、其中 ()1axfx0x（i）当 时， 恒成立，所以函数 在 上是增函数0()f ()fx0,)而 ，所以当 时， ，与 恒成立矛盾，()f,1x()1fx所以 不满足题意a（ii）当 时，0a因为当 时， ，所以函数 在 上是增函数；x()fx()fx,)a当 时， ，所以函数 在 上是减函数0所以 ，()lnfxa因为 ，所以当 时， ，此时与 恒成立矛盾，11()1fa()1fx所以 综上所述， 恒成立的充要条件是 ()fx22.解：（1） 可化为 ，223(1)9y23250xyxy故其极坐标方程为 cosin50（2）将 代入 ，得 ，6222 ， ，12125 212|()46MN23.解：（1）3,()12,.xfx当 时，由 ，得 ，舍去；2x303当 时，由 ，得 ，即 ；11x1x132x当 时，由 ，得 ，即 2x2综上， (,3)M（2）因为 ， ， ， ，xy|3x|y所以 |xyx315
