1、教学设计换底公式导入新课 思路 1.问题：你能根据对数的定义推导出下面的换底公式吗？a0，且 a1，c0，且 c1，b0 ，log ab .教师直接点出课题logcblogca思路 2.前两节课我们学习了以下内容：1.对数的定义及性质；2.对数恒等式；3.对数的运算性质及应用我们能就同底数的对数进行运算，那么不同底数的对数集中在一起，如何解决呢？这就是本堂课的主要内容教师板书课题思路 3.从对数的定义可以知道，任意不等于 1 的正数都可作为对数的底，数学史上，人们经过大量的努力，制作了常用对数表和自然对数表，只要通过查表就能求出任意正数的常用对数或自然对数，这样，如果能将其他底的对数转换为以
2、10 为底或以 e 为底的对数就能方便地求出任意不等于 1 的正数为底的对数，那么，怎么转化呢？这就需要一个公式，即对数的换底公式，从而引出课题推进新课 Error!Error! 已 知 lg 2 0.301 0，lg 3 0.477 1，求 log23的 值 . 根 据 ，如 a0，a 1，你 能 用 含 a的 对 数 式 来 表 示 log23吗 ？ 更 一 般 地 ，我 们 有 logab logcblogca，如 何 证 明 ？ 证 明 logab logcblogca的 依 据 是 什 么 ？ 你 能 用 自 己 的 话 概 括 出 换 底 公 式 吗 ？ 换 底 公 式 的 意 义
3、 是 什 么 ？ 有 什 么 作 用 ？活动：学生针对提出的问题，交流讨论，回顾所学，力求转化，教师适时指导，必要时提示学生解题的思路，给学生创造一个互动的学习环境，培养学生的创造性思维能力对目前还没有学习对数的换底公式，它们又不是同底，因此可考虑对数的定义，转化成方程来解；对参考的思路和结果的形式，借助对数的定义可以表示；对借助的思路，利用对数的定义来证明；对根据证明的过程来说明；对抓住问题的实质，用准确的语言描述出来，一般是按照从左到右的形式；对换底公式的意义就在于对数的底数变了，与我们的要求接近了讨论结果：因为 lg 20.301 0，lg 30.477 1，根据对数的定义，所以 100
4、.301 02,10 0.477 13.不妨设 log23x ，则 2x3，所以 (100.301 0)x10 0.477 1，100 301 0x10 0.477 1，即 0.301 0x0.477 1，x .0.477 10.301 0 lg 3lg 2因此 log23 1.585 1.lg 3lg 2 0.477 10.301 0根据我们看到，最后的结果是 log23 用 lg 2 与 lg 3 表示，是通过对数的定义转化的，这就给我们以启发，本来是以 2 为底的对数转换成了以 10 为底的对数，不妨设 log23x ，由对数定义知道，2 x3，两边都取以 a 为底的对数，得loga2x
5、 loga3，xlog a2log a3，x ，也就是 log23 .loga3loga2 loga3loga2这样 log23 就表示成了以 a 为底的 3 的对数与以 a 为底的 2 的对数的商证明 logab .logcblogca证明：设 logabx ，由对数定义知道，a xb；两边取 c 为底的对数，得 logcaxlog cb xlogcalog cb；所以 x ，即 logab .logcblogca logcblogca一般地，log ab (a0，a1，b0，c 0，c1) 称为对数换底公式logcblogca由的证明过程来看，换底公式的证明要紧扣对数的定义，证明的依据是：
6、若M0， N0，MN，则 logaMlog aN.一个数的对数，等于同一底数的真数的对数与底数的对数的商，这样就把一个对数变成了与原来对数的底数不同的两个对数的商换底公式的意义就在于把对数式的底数改变，把不同底问题转化为同底问题，为使用运算法则创造条件，更方便化简求值说明：我们使用的计算器中， “log”通常是常用对数，因此要使用计算器计算对数，一定要先用换底公式转化为常用对数如 log23 ，lg 3lg 2即计算 log23 的值的按键顺序为： “log”“3”“”“log”“2”“” 再如：在前面要求我国人口达到 18 亿的年份，就是要计算 xlog 1.01 ，1813所以 xlog
7、1.01 32.883 733 年1813 lg1813lg 1.01 lg 18 lg 13lg 1.01 1.255 3 1.1390.043可以看到运用对数换底公式，有时要方便得多Error!思路 1例 1 计算：(1)log 927；(2)log 89log2732.活动：学生观察题目，思考讨论，互相交流，教师适时提示，学生板演，利用换底公式统一底数；根据题目的特点，底数不同，所以考虑把底数统一起来，可以化成常用对数或以 2 为底的对数，以 3 为底的对数也可(1)解：log 927 .log327log39 32(2)解法一：log 89log2732 .lg 9lg 8lg 32l
8、g 27 2lg 33lg 25lg 23lg 3 109解法二：log 89log2732 .log29log28log232log227 2log233 53log23 109解法三：log 89log2732 .log39log38log332log327 23log325log323 109点评：灵活运用对数的换底公式是解决问题的关键例 2 用科学计算器计算下列对数(精确到 0.001)：log248；log 310；log 8；log 550；log 1.0822.解：log 2485.585；log 3102.096；log 80.550；log 5502.431；log 1.08
9、228.795.例 3 (1)证明 1log ab；logaxlogabx(2)已知 loga1b1loga 2b2log anbn，求证：log a1a2an(b1b2bn).活动：学生思考、讨论，教师适当提示：(1)运用对数换底公式，统一成以 a 为底的对数，或利用对数的定义，分别把三个式子设出，再由定义转化成指数形式，利用指数幂的性质得解，利用换底公式可直接得解；(2)这是条件证明问题，应在现有条件下利用换底公式，转化成积的形式，从题目的结论来看，真数是积的形式，因此要创造对数的和的形式，这就想到先换底，再利用等比性质来解(1)证法一：设 logaxp，log abxq，log abr，
10、则 xa p，x(ab) qa qbq，ba r.所以 ap( ab)qa q(1r) ，从而 pq(1r) 因为 q0，所以 1r，即 1log ab(获证)pq logaxlogabx证法二：左边 log aab1log ab右边logaxlogabx logxablogxa(2)证明：因为 loga1b1loga 2b2log anbn，所以由换底公式得 .lg b1lg a1 lg b2lg a2 lg bnlg an由等比定理，所以 .所以 .lg b1 lg b2 lg bnlg a1 lg a2 lg an lgb1b2bnlga1a2an所以 loga1a2an(b1b2bn)
11、 .lgb1b2bnlga1a2an点评：在解题过程中，根据题目的需要，把底数转化，换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化，该公式既可正用，又可逆用，使用时的关键是选择底数，换底的目的是实现对数式的化简例 4 一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩留的质量约是原来的84%，估计约经过多少年，该物质的剩留量是原来的一半 (结果保留 1 个有效数字)活动：学生审题，教师引导，学生交流，展示自己的思维过程，教师强调实际问题的注意事项根据题目给出的数学模型及其含义来解决这是实际问题，但题目给出了数学模型即关系式，关系式是以常用对数的形式给出，因此要利用对数的定义和运算性质，同时要使实际问题有
12、意义解：设最初的质量是 1，经过 x 年，剩留量是 y.则经过 1 年，剩留量是 y0.84；经过 2 年，剩留量是 y0.84 2；经过 x 年，剩留量是 y0.84 x.方法一：根据函数关系式列下表根据表内数据描点画出函数的图像x 0 1 2 3 5 y0.84 x 1 0.84 0.71 0.59 0.42 从图中观察，y0.5 时对应有 x4，即约经过 4 年，该物质的剩留量是原来的一半方法二：依题意得 0.84x0.5，用科学计算器计算得xlog 0.840.5 3.98，ln 0.5ln 0.84即约经过 4 年，该物质的剩留量是原来的一半图 2点评：利用所学知识解决实际问题，是教
13、学的一个难点思路 2例 1 (1)已知 log23a，log 37b，用 a，b 表示 log4256.(2)若 log83p，log 35q，求 lg 5.活动：学生交流，展示自己的思维过程，教师对学生的表现及时评价，要注意转化利用对数运算性质法则和换底公式进行化简，然后再表示对(1)据题目的特点，底数不同，所以考虑把底数统一起来，再利用对数的运算性质化简对(2)利用换底公式把底数统一起来，再灵活利用对数的运算性质解决解：(1)因为 log23a，则 log 32，又因为 log37b，1a所以 log4256 .log356log342 log37 3log32log37 log32 1
14、ab 3ab a 1(2)因为 log83p，即 log233p，所以 log233p.所以 log32 .13p又因为 log35q，所以 lg5 .log35log310 log35log32 log35 3pq1 3pq点评：本题是条件问题，要充分考虑到条件与结论的关系，更要灵活运用对数的换底公式和运算性质.变式训练已知 log189a,18 b5，用 a， b 表示 log3645.解：因为 log189a，所以 log18 1log 182a.所以 log1821a.182因为 18b5，所以 log185b .所以 log3645 .log1845log1836 log189 lo
15、g1851 log182 a b2 a点评：在解题过程中，根据问题的需要，指数式转化为对数式，或对数式转化为指数式，这正是数学中转化思想的具体体现，转化思想是中学中重要的数学思想，要注意学习、体会，逐步达到灵活运用.例 2 设 x，y，z(0，)，且 3x4 y6 z.(1)求证： ；(2) 比较 3x,4y,6z 的大小1x 12y 1z活动：学生观察，积极思考，尽量把所学知识与题目结合起来，教师及时提示引导(1)利用对数的定义把 x，y，z 表示出来，根据对数的定义把 3x4 y6 z转化为指数式，求出 x，y，z，然后计算(2)在(1)的基础上利用中间量，作差比较，利用对数的运算性质进行
16、比较(1)证明：设 3x4 y6 zk，因为 x，y ，z(0 ，)，所以 k1.取对数，得 x ，y ，z ，lg klg 3 lg klg 4 lg klg 6所以 ，1x 12y lg 3lg k lg 42lg k 2lg 3 lg 42lg k 2lg 3 2lg 22lg k lg 6lg k 1z即 .1x 12y 1z(2)解：因为 3x4y lg k lg k 0，(3lg 3 4lg 4) lg 64 lg 81lg3lg 4 lg klg6481lg 3lg 4所以 3x4y.又因为 4y6z lg k lg k 0，(4lg 4 6lg 6) lg 36 lg 64lg
17、 2lg 6 lg klg916lg 2lg 6所以 4y6z.所以 3x4y 6z .点评：如果题目中有指数式，常根据对数的定义转化为对数式，有对数式常根据对数的定义转化为指数式，比较大小常用作差，如果是几个数比较大小，有时采用中间量法，要具体情况具体分析例 3 已知 logaxlog acb，求 x.活动：学生讨论，教师指导，教师提问，学生回答，教师对解题中出现的问题及时处理把对数式转化为指数式求解，或把 b 转化为对数形式利用对数的运算性质来解由于x 作为真数，故可直接利用对数定义求解；另外，由于等式右端为两实数和的形式，b 的存在使变形产生困难，故可考虑将 logac 移到等式左端，或
18、者将 b 变为对数形式来解解法一：由对数定义，可知 xalog acbalog acabc ab.解法二：由已知移项可得 logaxlog acb，即 loga b，由对数定义，知 a b，xc xc所以 xca b.解法三：因为 blog aab，所以 logaxlog aclog aablog acab.所以 xca b.点评：利用对数定义进行指数式与对数式的互化对解题起到关键作用Error!(1)已知 lg 2a，lg 3b，则 等于( ) lg 12lg 15A. B. 2a b1 a b a 2b1 a bC. D.2a b1 a b a 2b1 a b(2)已知 2lg(x2y )
19、lg x lg y，则 的值为( )xyA1 B4 C1 或 4 D4 或1(3)若 3a2，则 log382log 36_.(4)lg 12.5lg lg 0.5_.58答案：(1)C (2)B (3)a2 (4)1Error!探究换底公式的其他证明方法：活动：学生讨论、交流、思考，教师可以引导：大胆设想，运用对数的定义及运算性质和指数幂的运算性质证法一：设 logaNx，则 axN，两边取以 c(c0 且 c1)为底的对数，得logcaxlog cN，所以 xlogcalog cN，即 x .故 logaN .logcNlogca logcNlogca证法二：由对数恒等式，得 Nalog
20、aN，两边取以 c(c0 且 c1)为底的对数，得logcNlog aNlogca，所以 logaN .logcNlogca证法三：令 logcam，log aNn，则 ac m，N a n，所以 N(c m)nc mn.两边取以 c(c0 且 c1)为底的对数，得 mnlog cN，所以 n ，即 logaN .logcNm logcNlogca对数换底公式的应用：换底公式 logaN (c0 且 c1，a0 且 a1，N 0) 的logcNlogca应用包括两个方面，即由左端到右端的应用和由右端到左端的应用，前者较为容易，而后者则易被学生忽视，因此，教学时应重视后者的用法，下面仅就后者举例
21、说明：例：化简： .logaMlogaN logbMlogbN logcMlogcN logdMlogdN解：原式log NMlog NMlog NMlog NM4log NM.Error!1对数换底公式2换底公式可用于对数式的化简、求值或证明若对数式的底数和真数可转化成同底数的幂的形式，则该幂底数可被选作换底公式的底数，也可把对数式转化成以 10 为底的常用对数或以任意数 a(a0 且 a1) 为底的对数式的形式，进行化简、求值或证明Error!1已知 a， b，求 log81175 的值127log13log5解：因为 log 277 log37a，127l13所以 log373a.又因为
22、 log 35b，13log所以 log81175 log3257 (log325log 37) (2log35log 37) .14 14 14 3a 2b42求证：(log 23log 49log 827log 2n3n)log9 .n3252证明：左边(log 23log 49log 827log 2n3n)log9n32nlog 23 log3 log 23 log32 右边1n 32 52 52设 计 感 想本堂课主要是学习对数的换底公式，它在以后的学习中有着非常重要的应用，由于对数的运算法则是在同底的基础上，因此利用对数换底公式把不同底数的对数转化为同底显得非常重要，有时也可以逆用
23、对数的换底公式达到我们的目的，特别是实际问题的应用更为广泛，因此要反复训练，强化记忆，所以设计了大量的例题与练习，授课时要加快速度，激发学生学习的兴趣，多运用多媒体的教学手段备 课 资 料【备选例题】【例 1】 化简： .logaMlogbNlogbMlogcNlogcMlogdNlogdMlogaN解：原式 log NMlogNMlogNMlogNM(log NM)4.logaMlogaNlogbMlogbNlogcMlogcNlogdMlogdN【例 2】 求证：log ab (a0，b0 且 a1，b1)1logba证法一：log ab .logbblogba 1logba证法二： lo
24、g ab.1logba logbblogba【例 3】 试证： .1log2x 1log3x 1log4x 1lognx 1logn！ x证明： log x(234n)1log2x 1log3x 1log4x 1lognxlog x(1234n)log xn！ .1logn！ x对数的创立对数是中学初等数学中的重要内容，那么当初是谁首创“对数”这种高级运算的呢？在数学史上，一般认为对数的发明者是 16 世纪末到 17 世纪初的苏格兰数学家纳皮尔(Napier,15501617 年) 男爵在纳皮尔所处的年代，哥白尼的“太阳中心说”刚刚开始流行，这导致天文学成为当时的热门学科可是由于当时常量数学的
25、局限性，天文学家们不得不花费很大的精力去计算那些繁杂的“天文数字” ，因此浪费了若干年甚至毕生的宝贵时间纳皮尔也是当时的一位天文爱好者，为了简化计算，他多年潜心研究大数字的计算技术，终于独立发明了对数当然，纳皮尔所发明的对数，在形式上与现代数学中的对数理论并不完全一样在纳皮尔那个时代， “指数”这个概念还尚未形成，因此纳皮尔并不是像现行代数课本中那样，通过指数来引出对数，而是通过研究直线运动得出对数概念的那么，当时纳皮尔所发明的对数运算，是怎么一回事呢？在那个时代，计算多位数之间的乘积，还是十分复杂的运算，因此纳皮尔首先发明了一种计算特殊多位数之间乘积的方法让我们来看看下面这个例子：0,1,2
26、,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14，.1,2,4,8,16,32,64,128,256,512,1 024,2 048,4 096,8 192,16 384，.这两行数字之间的关系是极为明确的：第一行表示 2 的指数，第二行表示 2 的对应幂如果我们要计算第二行中两个数的乘积，可以通过第一行对应数字的加和来实现比如，计算 64256 的值，就可以先查询第一行的对应数字：64 对应 6,256 对应 8；然后再把第一行中的对应数字加和起来：6814；第一行中的 14，对应第二行中的 16 384，所以有 6425616 384.纳皮尔的这种计算方法，实际上已经完全是现代数
27、学中“对数运算”的思想了回忆一下，我们在中学学习“运用对数简化计算”的时候，采用的不正是这种思路吗？计算两个复杂数的乘积，先查常用对数表 ，找到这两个复杂数的常用对数，再把这两个常用对数值相加，再通过常用对数的反对数表查出加和值的反对数值，就是原先那两个复杂数的乘积了这种“化乘除为加减” ，从而达到简化计算的思路，不正是对数运算的明显特征吗？经过多年的探索，纳皮尔男爵于 1614 年出版了他的名著奇妙的对数定律说明书 ，向世人公布了他的这项发明，并且解释了这项发明的特点所以，纳皮尔是当之无愧的“对数缔造者” ，理应在数学史上享有这份殊荣伟大的导师恩格斯在他的著作自然辩证法中，曾经把笛卡儿的坐标、纳皮尔的对数、牛顿和莱布尼茨的微积分共同称为十七世纪的三大数学发明法国著名的数学家、天文学家拉普拉斯(Pierre Simon Laplace,17491827)曾说：对数，可以缩短计算时间， “在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍” (设计者：刘菲)
