1、集合1集合公式汇总集合（简称集）是数学中一个基本概念，它是集合论的研究对象，集合论的基本理论直到 19 世纪才被创立。最简单的说法，即是在最原始的集合论朴素集合论中的定义，集合就是“一堆东西” 。集合里的 “东西”，叫作元素。由一个或多个元素所构成的叫做集合。若 x 是集合 A 的元素，则记作 xA。集合中的元素有三个特征：1.确定性（集合中的元素必须是确定的） 2.互异性（集合中的元素互不相同。例如：集合 A=1，a ，则 a 不能等于 1） 3.无序性（集合中的元素没有先后之分。）并交集并集定义：由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合，记作 AB（或 BA），读作“A 并
2、B”（或“B 并 A”），即A B=x|xA ,或 xB 。并集越并越多。交集定义：由属于 A 且属于 B 的相同元素组成的集合，记作 AB（或 BA），读作“A 交 B”（或“B 交 A”），即 AB=x|xA ,且 xB 。交集越交越少。若 A 包含 B，则 AB=B，AB= A补集相对补集定义：由属于 A 而不属于 B 的元素组成的集合，称为 B 关于 A 的相对补集，记作 A-B 或 AB，即 A-B=x|xA，且 xB绝对补集定义：A 关于全集合 U 的相对补集称作 A 的绝对补集，记作 A或 u（A）或A。U= ；=U（一）元素与集合1、元素与集合的关系： 、若 是集合 的元素，就
3、说 属于 ，记作： ，读作“ 属于 ”aAaAaaA若 不是集合 的元素，就说 不属于 ，记作： ，读作“ 不属于 ”。2、集合的表示：列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. 形如：1,2,3,5描述法： | 具有的性质，其中 为集合的代表元素 . 形如：x|x 22x30xx图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. 3、常见数集的符号表示：自然数集（非负整数集） ；N正整数集 或 ；整数集 ；Z有理数集 ；Q实数集 ；R正实数集 符号法N：非负整数集合或自然数集合0,1,2,3,N*或 N+：正整数集合1,2,3,集合2Z： 整数 集合,-1,0,1,Q： 有理数集合Q+：正有
4、理数集合Q-：负有理数集合R： 实数集合(包括有理数和无理数）R+：正实数集合R-：负实数集合C： 复数集合：空集合（不含有任何元素的集合称为空集合，又叫空集）（二）集合间的基本关系概念 写法 含义相等 ABA(B)子集 AB读作“ 包含于 ” 或“ 包含 ”BA（1）（2） A（3） B真子集AB读作“ 真包含于 ” 或“ 真包含 ”B（1）（2） A非空真子集且 AB空集 空集是任何集合的子集注：1、任何集合都是它本身的子集、空集是任何集合的子集。2、集合个数：集合3集合 A 中有 n 个元素，则集合 A 的子集有（ ）个，真子集有（ ）个，非空真子集有（ ）个2n21n2n元素 子集 真
5、子集 非空子集 非空真子集21nn（三）集合的基本运算及运算法则集合 韦恩图 数轴表示交集 在画数轴时，要注意层次感和实心空心！并集 只要是线下面的部分都要！补集 U UA注：1、集合运算法则：从括号内开始，由内而外Cu（AB）=Cu ACu B Cu（AB）=Cu ACu B2、常见结论：若 AB=B，则 A若 ，则一知识归纳：1集合的有关概念。1）集合(集)：某些指定的对象集在一起就成为一个集合（集）其中每一个对象叫元素集合4注意：集合与集合的元素是两个不同的概念，教科书中是通过描述给出的，这与平面几何中的点与直线的概念类似。集合中的元素具有确定性（a?A 和 a?A，二者必居其一）、互异
6、性（若 a?A，b?A，则 ab）和无序性（a,b与b,a表示同一个集合）。集合具有两方面的意义，即：凡是符合条件的对象都是它的元素；只要是它的元素就必须符号条件2）集合的表示方法：常用的有列举法、描述法和图文法3）集合的分类：有限集，无限集，空集。4）常用数集：N，Z，Q，R，N*2子集、交集、并集、补集、空集、全集等概念。1）子集：若对 xA 都有 xB，则 A B（或 A B）；2）真子集：A B 且存在 x0B 但 x0 A；记为 A B（或 ，且 ）3）交集：AB=x| xA 且 xB4）并集：AB=x| xA 或 xB5）补集：CUA=x| x A 但 xU注意：? A，若 A?，
7、则? A ；若 ， ，则 ；若 且 ，则 A=B（等集）3弄清集合与元素、集合与集合的关系，掌握有关的术语和符号，特别要注意以下的符号：（1） 与 、?的区别；（2） 与 的区别；（3） 与 的区别。4有关子集的几个等价关系AB=A A B；AB=B A B；A B C uA C uB；ACuB = 空集 CuA B；CuAB=I A B。5交、并集运算的性质AA=A，A? = ?，AB=BA；AA=A，A? =A，AB=BA；Cu (AB)= CuACuB，Cu (AB)= CuACuB；6有限子集的个数：设集合 A 的元素个数是 n，则 A 有 2n 个子集，2n1 个非空子集，2n2 个
8、非空真子集。二例题讲解：【例 1】已知集合 M=x|x=m+ ,mZ,N=x|x= ,nZ,P=x|x= ,pZ，则 M,N,P 满足关系A) M=N P B) M N=P C) M N P D) N P M分析一：从判断元素的共性与区别入手。解答一：对于集合 M：x|x= ,mZ；对于集合 N：x|x= ,nZ对于集合 P：x|x= ,pZ，由于 3(n-1)+1 和 3p+1 都表示被 3 除余 1 的数，而 6m+1 表示被 6 除余 1 的数，所以 M N=P，故选 B。分析二：简单列举集合中的元素。解答二：M=， ，N=， , , ，P=， , ，这时不要急于判断三个集合间的关系，应
9、分析各集合中不同的元素。= N， N，M N，又 = M，M N，= P，N P 又 N，P N，故 P=N，所以选 B。集合5点评：由于思路二只是停留在最初的归纳假设，没有从理论上解决问题，因此提倡思路一，但思路二易人手。变式：设集合 ， ，则（ B ）AM=N BM N CN M D解：当 时，2k+1 是奇数，k+2 是整数，选 B【例 2】定义集合 A*B=x|xA 且 x B，若 A=1,3,5,7,B=2,3,5，则 A*B 的子集个数为A）1 B）2 C）3 D）4分析：确定集合 A*B 子集的个数，首先要确定元素的个数，然后再利用公式：集合 A=a1，a2，an有子集 2n 个
10、来求解。解答：A*B=x|xA 且 x B， A*B=1,7，有两个元素，故 A*B 的子集共有 22 个。选 D。变式 1：已知非空集合 M 1,2,3,4,5，且若 aM，则 6?aM，那么集合 M 的个数为A）5 个 B）6 个 C）7 个 D）8 个变式 2：已知a,b A a,b,c,d,e,求集合 A.解：由已知，集合中必须含有元素 a,b.集合 A 可能是a,b,a,b,c,a,b,d,a,b,e,a,b,c,d,a,b,c,e,a,b,d,e.评析 本题集合 A 的个数实为集合c,d,e的真子集的个数，所以共有 个 .【例 3】已知集合 A=x|x2+px+q=0,B=x|x2
11、?4x+r=0,且 AB=1,AB=?2,1,3,求实数 p,q,r 的值。解答：AB=1 1B 12?41+r=0,r=3.B=x|x2?4x+r=0=1,3, AB=?2,1,3,?2 B, ?2AAB=1 1A 方程 x2+px+q=0 的两根为-2 和 1， 变式：已知集合 A=x|x2+bx+c=0,B=x|x2+mx+6=0,且 AB=2,AB=B，求实数 b,c,m 的值.解：AB=2 1B 22+m?2+6=0,m=-5B=x|x2-5x+6=0=2,3 AB=B 又 AB=2 A=2 b=-(2+2)=4,c=22=4b=-4,c=4,m=-5【例 4】已知集合 A=x|(x
12、-1)(x+1)(x+2)0,集合 B 满足：AB=x|x-2，且 AB=x|1分析：先化简集合 A，然后由 AB 和 AB 分别确定数轴上哪些元素属于 B，哪些元素不属于 B。解答：A=x|-21。由 AB=x|1-2可知-1,1 B，而(-,-2)B=。综合以上各式有 B=x|-1x5变式 1：若 A=x|x3+2x2-8x0，B=x|x2+ax+b0,已知 AB=x|x-4，AB=,求 a,b。（答案：a=-2，b=0）点评：在解有关不等式解集一类集合问题，应注意用数形结合的方法，作出数轴来解之。变式 2：设 M=x|x2-2x-3=0,N=x|ax-1=0，若 MN=N，求所有满足条件的 a 的集合。解答：M=-1,3 , MN=N, N M集合6当 时，ax-1=0 无解，a=0 综得：所求集合为-1，0， 【例 5】已知集合 ，函数 y=log2(ax2-2x+2)的定义域为 Q，若 PQ，求实数 a 的取值范围。分析：先将原问题转化为不等式 ax2-2x+20 在 有解，再利用参数分离求解。解答：（1）若 ， 在 内有有解令 当 时，所以 a-4,所以 a 的取值范围是变式：若关于 x 的方程 有实根,求实数 a 的取值范围。解答：点评：解决含参数问题的题目，一般要进行分类讨论，但并不是所有的问题都要讨论，怎样可以避免讨论是我们思考此类问题的关键。
