1、1八上数学-三角形边角关系拔高题型一选择题（共 3 小题）1 （2015郑州模拟）如图，ABC 中，BO，CO 分别是ABC，ACB 的平分线，A=50，则BOC等于（ ）A110 B115 C120 D1302 （2015桂林）如图，在 ABC 中，A=50，C=70，则外角ABD 的度数是（ ）A110 B120 C130 D1403 （2013河北）一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若3=50，则1+2=（ ）A90 B100 C130 D180二解答题（共 9 小题）4 （2016 春淮安期中）在 ABC 中，CDAB 于 D，CE 是ACB 的平分线，A=20，B=60求BC
2、D 和ECD 的度数5 （2014 秋富顺县校级期末）如图所示，已知 P 是ABC 内一点，试说明PA+PB+PC （AB+BC +AC） 26 （2016 春故城县期末）已知：a、b、c 为三角形的三边长化简：|b+ca|+|b ca|cab|ab+c|7 （2013 秋鲤城区校级期末）一个三角形的周长为 36cm，三边之比 a：b：c=2：3：4，求 a，b，c 的值8 （2015 秋东莞校级期中）若三角形三条边的长度依次为 x，x2，x+2，则 x 的取值范围是多少？9 （2016 春迁安市月考）将纸片ABC 沿 DE 折叠使点 A 落在 A处的位置（1）如果 A落在四边形 BCDE 的
3、内部（如图 1） ，A与 1+2 之间存在怎样的数量关系？并说明理由（2）如果 A落在四边形 BCDE 的 BE 边上，这时图 1 中的1 变为 0角，则A 与2 之间的关系是 （3）如果 A落在四边形 BCDE 的外部（如图 2） ，这时A 与1、2 之间又存在怎样的数量关系？并说明理由310 （2006浙江）已知：如图，ABCD，直线 EF 分别交 AB、CD 于点 E、F，BEF 的平分线与DFE的平分线相交于点 P求证：P=9011 （2015 春 东城区期末）已知MON，点 A，B 分别在射线 ON，OM 上移动（不与点 O 重合） ，AD平分BAN，BC 平分ABM，直线 AD，B
4、C 相交于点 C（1）如图 1，若MON=90 ，试猜想ACB 的度数，并直接写出结果；（2）如图 2，若MON= ，问：当点 A，B 在射线 ON，OM 上运动的过程中，ACB 的度数是否改变？若不改变，求出其值（用含 的式子表示） ；若改变，请说明理由；（3）如图 3，若MON= ，BC 平分ABO，其他条件不改变，问：（2）中的结论是否仍然成立，请直接写出你得结论412 （2016 春 太仓市期末）已知：MON=40 ，OE 平分MON，点 A、B 、C 分别是射线OM、OE、ON 上的动点（A 、B、C 不与点 O 重合） ，连接 AC 交射线 OE 于点 D设OAC=x （1）如图
5、1，若 ABON，则ABO 的度数是 ；当BAD= ABD 时，x= ；当BAD=BDA 时，x= （2）如图 2，若 ABOM，则是否存在这样的 x 的值，使得ADB 中有两个相等的角？若存在，求出 x的值；若不存在，说明理由5一选择题（共 3 小题）1 （2015郑州模拟）如图，ABC 中，BO，CO 分别是ABC，ACB 的平分线，A=50，则BOC等于（ ）A110 B115 C120 D130【考点】三角形内角和定理；角平分线的定义菁优网版权所有【分析】根据三角形的内角和定理和角平分线的定义求出OBC+OCB 的度数，再根据三角形的内角和等于 180即可求出BOC 的度数【解答】解：
6、A=50，ABC+ACB=180 A=18050=130，BO，CO 分别是ABC ，ACB 的平分线，OBC= ABC，OCB= ACB，OBC+OCB= （ABC+ACB ）= 130=65，BOC=180（OBC+OCB）=18065=115故选 B【点评】本题主要利用三角形的内角和定理和角平分线的定义，熟练掌握定理和概念是解题的关键2 （2015桂林）如图，在 ABC 中，A=50，C=70，则外角ABD 的度数是（ ）A110 B120 C130 D140【考点】三角形的外角性质菁优网版权所有【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解6【解答】解：由三角
7、形的外角性质的，ABD=A +C=50+70 =120故选 B【点评】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键3 （2013河北）一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若3=50，则1+2=（ ）A90 B100 C130 D180【考点】三角形内角和定理菁优网版权所有【分析】设围成的小三角形为ABC，分别用1、2、3 表示出ABC 的三个内角，再利用三角形的内角和等于 180列式整理即可得解【解答】解：如图，BAC=18090 1=90 1，ABC=18060 3=120 3，ACB=18060 2=120 2，在ABC 中，BAC +ABC+A
8、CB=180，901+1203+120 2=180 ，1+2=150 3，3=50，1+2=150 50=100故选：B【点评】本题考查了三角形的内角和定理，用1、2、3 表示出ABC 的三个内角是解题的关键，也是本题的难点7二解答题（共 9 小题）4 （2016 春淮安期中）在 ABC 中，CDAB 于 D，CE 是ACB 的平分线，A=20，B=60求BCD 和ECD 的度数【考点】三角形的角平分线、中线和高菁优网版权所有【分析】由 CDAB 与B=60，根据两锐角互余，即可求得BCD 的度数，又由A=20，B=60，求得ACB 的度数，由 CE 是ACB 的平分线，可求得ACE 的度数，
9、然后根据三角形外角的性质，求得CEB 的度数【解答】解：CDAB，CDB=90，B=60 ，BCD=90B=90 60=30；A=20 ，B=60，A+ B+ACB=180，ACB=100，CE 是ACB 的平分线，ACE= ACB=50，CEB=A+ACE=20+50=70，ECD=9070=20【点评】此题考查了三角形的内角和定理，三角形外角的性质以及三角形高线，角平分线的定义等知识此题难度不大，解题的关键是数形结合思想的应用5 （2014 秋富顺县校级期末）如图所示，已知 P 是ABC 内一点，试说明PA+PB+PC （AB+BC +AC） 【考点】三角形三边关系菁优网版权所有8【专题】
10、证明题【分析】根据三角形的三边关系就可以证出【解答】证明：在ABP 中：AP +BPAB同理：BP +PC BC，AP+PCAC 以上三式分别相加得到：2（PA+PB+PC）AB+BC +AC，即 PA+PB+PC （AB+BC +AC） 【点评】解本题的本题的关键是多次运用了三角形的三边关系定理6 （2016 春故城县期末）已知：a、b、c 为三角形的三边长化简：|b+ca|+|b ca|cab|ab+c|【考点】三角形三边关系；绝对值；整式的加减菁优网版权所有【分析】根据三角形的三边关系得出 a+bc，a +cb，b+c a，再去绝对值符号，合并同类项即可【解答】解：a、b、c 为三角形三
11、边的长，a+bc，a+cb，b+ca ，原式=|（b+c）a |+|b（c+a）| |c（a +b）|（a+c） b|=b+ca+a+cbab+c+bac=2c2a【点评】本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解答此题的关键7 （2013 秋鲤城区校级期末）一个三角形的周长为 36cm，三边之比 a：b：c=2：3：4，求 a，b，c 的值【考点】三角形菁优网版权所有【分析】设三边长分别为 2x，3x，4x，根据周长为 36cm，列出方程，解出方程的解即可得出答案【解答】解：设三边长分别为 2x，3x，4x，由题意得，2x+3x+4x=36，解
12、得：x=4则 a=24=8（cm） ，9b=34=12（cm ） ，c=44=16（cm） 【点评】本题考查了三角形，用到的知识点是三角形的周长、一元一次方程的应用，解答本题的关键是设出三边的长，利用方程思想求解8 （2015 秋东莞校级期中）若三角形三条边的长度依次为 x，x2，x+2，则 x 的取值范围是多少？【考点】三角形三边关系；解一元一次不等式组菁优网版权所有【分析】根据三角形的三边关系定理得出 x+x2x+2，求出即可【解答】解：x2xx+2 ，x+x2 x+2 且 x0，解得：x4即 x 的取值范围是 x4【点评】本题考查了三角形的三边关系定理的应用，能正确根据三角形三边关系定理
13、得出不等式是解此题的关键9 （2016 春迁安市月考）将纸片ABC 沿 DE 折叠使点 A 落在 A处的位置（1）如果 A落在四边形 BCDE 的内部（如图 1） ，A与 1+2 之间存在怎样的数量关系？并说明理由（2）如果 A落在四边形 BCDE 的 BE 边上，这时图 1 中的1 变为 0角，则A 与2 之间的关系是 2A= 2 （3）如果 A落在四边形 BCDE 的外部（如图 2） ，这时A 与1、2 之间又存在怎样的数量关系？并说明理由【考点】三角形内角和定理；三角形的外角性质菁优网版权所有【分析】 （1）根据折叠性质得出AED=A ED，ADE=A DE，根据三角形内角和定理得出AE
14、D +ADE=180A，代入1+2=180+1802（AED +ADE）求出即可；10（2）根据三角形外角性质得出DME=A+1，2=A+DME，代入即可求出答案【解答】解：（1）图 1 中，2A=1+2，理由是：延 DE 折叠 A 和 A重合，AED=AED，ADE=ADE ，AED +ADE=180A，1+2=180+1802（AED+ADE） ，1+2=360 2（180A）=2A ；（2）2A= 2，如图2=A+EAD=2A，故答案为：2A=2；（3）如图 2，2A=2 1，理由是：延 DE 折叠 A 和 A重合，A= A ，DME= A +1，2= A+DME，2=A+ A+1，即
15、2A= 2 1【点评】本题考查了折叠的性质，三角形外角性质，三角形内角和定理的应用，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力1110 （2006浙江）已知：如图，ABCD，直线 EF 分别交 AB、CD 于点 E、F，BEF 的平分线与DFE的平分线相交于点 P求证：P=90【考点】三角形内角和定理；平行线的性质菁优网版权所有【专题】证明题【分析】由 ABCD，可知BEF 与DFE 互补，由角平分线的性质可得PEF+PFE=90，由三角形内角和定理可得P=90【解答】证明：ABCD，BEF+DFE=180又BEF 的平分线与DFE 的平分线相交于点 P，PEF= BEF，PFE= DFE，PE
16、F +PFE= （BEF+DFE）=90PEF +PFE+P=180，P=90【点评】考查综合运用平行线的性质、角平分线的定义、三角形内角和等知识解决问题的能力11 （2015 春 东城区期末）已知MON，点 A，B 分别在射线 ON，OM 上移动（不与点 O 重合） ，AD平分BAN，BC 平分ABM，直线 AD，BC 相交于点 C（1）如图 1，若MON=90 ，试猜想ACB 的度数，并直接写出结果；（2）如图 2，若MON= ，问：当点 A，B 在射线 ON，OM 上运动的过程中，ACB 的度数是否改变？若不改变，求出其值（用含 的式子表示） ；若改变，请说明理由；12（3）如图 3，若
17、MON= ，BC 平分ABO，其他条件不改变，问：（2）中的结论是否仍然成立，请直接写出你得结论【考点】三角形内角和定理；三角形的外角性质菁优网版权所有【专题】探究型【分析】 （1）利用外角的性质和三角形的内角和定理可得NAB+MBA=90+ABO +90+BAO=90+180=270，由角平分线的性质得CAB +CBA，由内角和定理得 ACB ；（2）如图 1，由角平分线的性质易得1=2= BAN，3=4= ABM，由三角形外角和定理易得2+4，得ACB；（3）如图 2，同（2）可得结论【解答】解：（1）MON=90，NAB=AOB +ABO=90+ABO ，ABM= AOB +BAO=90
18、+BAO，NAB+MBA=90+ABO+90+BAO=90+180=270 ，AD 平分BAN，BC 平分 ABM ，CAB+CBA= =135，ACB=45；（2）ACB 的度数不改变如图 1，AD 平分BAN， BC 平分ABM ，1=2= BAN，3=4= ABM ，BAN=O +6，ABM=O +5，2+4= （BAN +ABM）= （O+5+O +6）=90 + O，ACB=180（2+4）=90 O=90 ；（3）ACB 的度数不改变，如图 2，2=ACB +3，NAB=+3+4，AD 平分BAN，BC 平分ABO ，NAB=22，22=+2 3，2= +3，13ACB= 【点评】
19、本题主要考查了角平分线的性质，外角性质和三角形的内角和定理，综合运用各定理是解答此题的关键12 （2016 春 太仓市期末）已知：MON=40 ，OE 平分MON，点 A、B 、C 分别是射线OM、OE、ON 上的动点（A 、B、C 不与点 O 重合） ，连接 AC 交射线 OE 于点 D设OAC=x （1）如图 1，若 ABON，则ABO 的度数是 20 ；当BAD= ABD 时，x= 120 ；当BAD=BDA 时，x= 60 （2）如图 2，若 ABOM，则是否存在这样的 x 的值，使得ADB 中有两个相等的角？若存在，求出 x的值；若不存在，说明理由【考点】三角形的角平分线、中线和高；
20、平行线的性质；三角形内角和定理菁优网版权所有【专题】计算题【分析】利用角平分线的性质求出ABO 的度数是关键，分类讨论的思想14【解答】解：（1）MON=40，OE 平分MONAOB=BON=20ABONABO=20BAD= ABDBAD=20AOB +ABO+OAB=180OAC=120BAD=BDA，ABO=20BAD=80AOB+ABO+OAB=180OAC=60 故答案为：20 120，60（2）当点 D 在线段 OB 上时，若BAD=ABD，则 x=20若BAD=BDA，则 x=35若ADB=ABD，则 x=50当点 D 在射线 BE 上时，因为ABE=110，且三角形的内角和为 1
21、80，所以只有BAD=BDA，此时 x=125综上可知，存在这样的 x 的值，使得ADB 中有两个相等的角，且 x=20、35、50、125【点评】本题考查了三角形的内角和定理和三角形的外角性质的应用，注意：三角形的内角和等于 180，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和15考点卡片1绝对值（1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值互为相反数的两个数绝对值相等；绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于 0 的数有一个，没有绝对值等于负数的数有理数的绝对值都是非负数（2）如果用字母 a 表示有理数，则数 a 绝对值要由字母 a 本身的取值来确定：当 a 是正有理数时， a 的
22、绝对值是它本身 a；当 a 是负有理数时， a 的绝对值是它的相反数a ；当 a 是零时， a 的绝对值是零即|a|=a（a0）0（a=0）a（a0）2整式的加减（1）几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接；然后去括号、合并同类项（2）整式的加减实质上就是合并同类项（3）整式加减的应用：认真审题，弄清已知和未知的关系；根据题意列出算式；计算结果，根据结果解答实际问题【规律方法】整式的加减步骤及注意问题1整式的加减的实质就是去括号、合并同类项一般步骤是：先去括号，然后合并同类项2去括号时，要注意两个方面：一是括号外的数字因数要乘括号内的每一项；二是当括号外是“”时，去括号后
23、括号内的各项都要改变符号3解一元一次不等式组（1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集16（2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组（3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集方法与步骤：求不等式组中每个不等式的解集； 利用数轴求公共部分解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到4角平分线的定义（1）角平分线的定义从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线（2）性质：若 OC 是AOB
24、 的平分线则AOC=BOC= AOB 或AOB=2AOC=2BOC（3）平分角的方法有很多，如度量法、折叠法、尺规作图法等，要注意积累，多动手实践5平行线的性质1、平行线性质定理定理 1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等 简单说成：两直线平行，同位角相等定理 2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补 简单说成：两直线平行，同旁内角互补 定理 3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等 简单说成：两直线平行，内错角相等2、两条平行线之间的距离处处相等6三角形（1）三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形组成三角形的线段叫做三角形的边相邻两边的公共端点
25、叫做三角形的顶点相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角（2）按边的相等关系分类：不等边三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等边三角形） 17（3）三角形的主要线段：角平分线、中线、高（4）三角形具有稳定性7三角形的角平分线、中线和高（1）从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高（2）三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线（3）三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线（4）三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段（5）锐角三角形的三条高
26、在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点8三角形三边关系（1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边（2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形（3）三角形的两边差小于第三边（4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略9三角形内角和定理（1）三角形内角的概念：三角形内
27、角是三角形三边的夹角每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于 0且小于 180（2）三角形内角和定理：三角形内角和是 180（3）三角形内角和定理的证明证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角在转化中借助平行线（4）三角形内角和定理的应用主要用在求三角形中角的度数直接根据两已知角求第三个角；依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角1810三角形的外角性质（1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对（2）三角形的外角性质：三角形的外角和为 360三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角（3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质将它们转化到一个三角形中去（4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角
