1、（4）函数的单调性知识梳理1.增函数、减函数的定义一般地，对于给定区间上的函数 f（x ） ，如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值x1、x 2，当 x1 x2 时，都有 f（ x1）f（x 2） 或都有 f（x 1）f（x 2） ，那么就说 f（x）在这个区间上是增函数（或减函数）.如果函数 y=f（x）在某个区间上是增函数（或减函数） ，就说 f（x）在这一区间上具有（严格的）单调性，这一区间叫做 f（x ）的单调区间.如函数是增函数则称区间为增区间，如函数为减函数则称区间为减区间.2.函数单调性可以从三个方面理解（1）图形刻画：对于给定区间上的函数 f（x ） ，函数图象如从左向右连续
2、上升，则称函数在该区间上单调递增，函数图象如从左向右连续下降，则称函数在该区间上单调递减.（2）定性刻画：对于给定区间上的函数 f（x ） ，如函数值随自变量的增大而增大，则称函数在该区间上单调递增，如函数值随自变量的增大而减小，则称函数在该区间上单调递减.（3）定量刻画，即定义.上述三方面是我们研究函数单调性的基本途径.3. 函数单调性的判定方法：（1）定义法；设元作差变形判断符号给出结论；（2）图象法；（3）利用已知函数的单调性；增（或减）函数 的倒数 是减（或增）函数；)(xf)(1xf增（或减）函数 的相反数 是减（或增）函数；增（或减）函数 、 的和是 是增（或减）函数；)(fg)(
3、xgf增（或减）函数 与减（或增）函数 的差 是增（或减）函数；x )(xgf若 ，则增（或减）函数 与 的积 是增（或减）函数；0c )(xfcf若 ，则增（或减）函数 与 的积 是减（或增）函数； )(（4）复合函数的单调性：即“同增异减”法。（5）导数法（6）利用常用结论：奇函数在对称的单调区间内具有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间内具有相反的单调性，互为反函数的两个函数具有相同的单调性。4. 讨论函数的单调性必须在定义域内进行。点击双基1.下列函数中，在区间（0，2）上为增函数的是（ ）A.y=x+1 B.y= C.y=x24x+5 D.y= x x22.函数 y=loga（x 2
4、2x3） ，当 x=2 时，y0，则此函数的单调递减区间是（ ）A.（，3） B.（1，） C.（， 1） D.（1，）3.函数 y=log |x3|的单调递减区间是_.214.有下列几个命题： 函 数 y=2x2+x+1 在 （ 0， ） 上 不 是 增 函 数 ； 函 数 y= 在 （ ， 1）1x （ 1，）上是减函数；函数 y= 的单调区间是2，+） ；已知45xf（x）在 R 上是增函数，若 a+b0，则有 f（a）+ f（b） f（a）+f（b）.其中正确命题的序号是_.5.已知 f(x)是 R 上的减函数，则满足 的 x 的取值范围是 ( )1(fxfA(，1) B(1，) C(
5、 ，0)(0,1) D(，0) (1，)典例剖析【例 1】 如果二次函数 f（x）=x 2（a1）x+5 在区间（ ，1）上是增函数，求2f（2）的取值范围.【例 2】 讨论函数 f（x ）= （a0）在 x（1，1）上的单调性.12【例 3】 求函数 y=x+ 的单调区间.1深化拓展求函数 y=x+ （a0）的单调区间.提示：函数定义域 x0，可先考虑在（0，+）上函数的单调性，再根据奇偶性与单调性的关系得到在（，0）上的单调性.答案：在（， ， （ ，+）上是增函数，在（0， ， （ ，0）上aa是减函数.【例 4】 定义在 R 上的函数 y=f（x） ，f（0）0，当 x0 时，f （x
6、 ）1，且对任意的 a、bR，有 f（a+b）= f（a）f （b）.（1）求证：f（0）=1；（2）求证：对任意的 xR ，恒有 f（x）0；（3）求证：f（x ）是 R 上的增函数；（4）若 f（x） f（2x x 2）1，求 x 的取值范围.闯关训练1.函数 f（x）=a x+loga（x +1）在 0，1上的最大值与最小值的和为 a，则 a 的值为（ ）A. B. C.2 D.44122.设函数 f（x） =loga|x|在（，0）上单调递增，则 f（ a+1）与 f（2）的大小关系是（ ）A.f（a+1）=f（2） B.f（a+1） f（2）C.f（a+1）f（2） D.不能确定3.
7、函数 y=loga（2ax）在0，1上是减函数，则 a 的取值范围是（ ）A.（0，1） B.（0 ，2） C.（1，2） D.（2，+）4 函数 y= -x 的大致图象是（ ）5（ 2011 年重庆理 5）下列区间中，函数 在其上为增函数的是（ ） |)2ln(|)xf（A） （B ） （C） （D）1,(34,13,0),16.（2011 年天津理 8）设函数 ，若 ，则实数 的取值范围是),(log)(21xxf )()affa（ ） )1,0(,),(),(),1()0,)1,0(,(7.（2011 年四川文 4）函数 的图象关于直线 y=x 对称的图象像大致是12xy8.（2011
8、年上海理 16）下列函数中，既是偶函数，又是在区间 上单调递减的函数是),0(（ ）（A） . （B） . （C） . （D） .|1lnxy3xy|2xyxycos9.（2011 年上海文 15）下列函数中，既是偶函数，又在区间 上单调递减的函数是（ ),0(）（A） （B ） （C） （D）2xy1xy2xy31xy10.（ 2011 年全国文 4）曲线 在点（1,0）处的切线方程为 13（A） （B） （C） （D ）12xy11.如果函数 f（x ）=x 2+2（a1）x+2 在区间（，4上是减函数，那么实数 a 的取值范围是_.12. （2011 年江苏 2）函数 的单调增区间是_)
9、12(log)(5xf13.讨论函数 f（x ）= （a ）在（2，+ ）上的单调性 .14.已 知 函 数 f（ x） =m（ x+ ） 的 图 象 与 函 数 h（x）= （x+ ）+2 的图象关于点141A（0，1）对称.（1）求 m 的值；（2）若 g（x）=f（x）+ 在区间（0，2上为减函数，求实数 a 的取值范围.xa4解：15.已知函数 f（x ）=| xa|，g（x ）= x2+2ax+1（a 为正常数） ，且函数 f（x）与 g（x）的图象在 y 轴上的截距相等.（1）求 a 的值；（2）求函数 f（x ）+g（x）的单调递增区间；（3）若 n 为正整数，证明 10f（n）
10、 （ ） g（n） 4.5416.（理）设 aR，函数 f（x）= （ax 2+a+1） ，其中 e 是自然对数的底数.ex（1）判断 f（x ）在 R 上的单调性；（2）当1a0 时，求 f（ x）在1，2上的最小值.解：（4）函数的单调性知识梳理1.增函数、减函数的定义一般地，对于给定区间上的函数 f（x ） ，如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值x1、x 2，当 x1 x2 时，都有 f（ x1）f（x 2） 或都有 f（x 1）f（x 2） ，那么就说 f（x）在这个区间上是增函数（或减函数）.如果函数 y=f（x）在某个区间上是增函数（或减函数） ，就说 f（x）在这一区间上具有
11、（严格的）单调性，这一区间叫做 f（x ）的单调区间.如函数是增函数则称区间为增区间，如函数为减函数则称区间为减区间.2.函数单调性可以从三个方面理解（1）图形刻画：对于给定区间上的函数 f（x ） ，函数图象如从左向右连续上升，则称函数在该区间上单调递增，函数图象如从左向右连续下降，则称函数在该区间上单调递减.（2）定性刻画：对于给定区间上的函数 f（x ） ，如函数值随自变量的增大而增大，则称函数在该区间上单调递增，如函数值随自变量的增大而减小，则称函数在该区间上单调递减.（3）定量刻画，即定义.上述三方面是我们研究函数单调性的基本途径.3. 函数单调性的判定方法：（1）定义法；设元作差变
12、形判断符号给出结论；（2）图象法；（3）利用已知函数的单调性；增（或减）函数 的倒数 是减（或增）函数；)(xf)(1xf增（或减）函数 的相反数 是减（或增）函数；增（或减）函数 、 的和是 是增（或减）函数；)(fg)(xgf增（或减）函数 与减（或增）函数 的差 是增（或减）函数；x )(xgf若 ，则增（或减）函数 与 的积 是增（或减）函数；0c )(xfcf若 ，则增（或减）函数 与 的积 是减（或增）函数；0c )(xfc)(xf（4）复合函数的单调性：即“同增异减”法。（5）导数法（6）利用常用结论：奇函数在对称的单调区间内具有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间内具有相反的单
13、调性，互为反函数的两个函数具有相同的单调性。4. 讨论函数的单调性必须在定义域内进行。点击双基1.下列函数中，在区间（0，2）上为增函数的是（ ）A.y=x+1 B.y= C.y=x24x+5 D.y= x x2答案：B2.函数 y=loga（x 22x3） ，当 x=2 时，y0，则此函数的单调递减区间是（ ）A.（，3） B.（1，） C.（， 1） D.（1，）解 析 ： 当 x=2 时 ， y=loga5 0， a 1.由 x2 2x 3 0 x 3 或 x 1， 易 见 函数 tx 22x 3 在（，3）上递减，故函数 y=loga（x 22x3） （其中 a1）也在（，3）上递减.
14、答案：A3.（2003 年北京朝阳区模拟题）函数 y=log |x3|的单调递减区间是_.21解析：令 u=|x3| ，则在（ ，3）上 u 为 x 的减函数，在（ 3，+）上 u 为 x 的增函数.又0 1，在区间（3，）上，y 为 x 的减函数.2答案：（3，+）4.有下列几个命题： 函 数 y=2x2+x+1 在 （ 0， ） 上 不 是 增 函 数 ； 函 数 y= 在 （ ， 1）1x （ 1，）上是减函数；函数 y= 的单调区间是2，+） ；已知45xf（x）在 R 上是增函数，若 a+b0，则有 f（a）+ f（b） f（a）+f（b）.其中正确命题的序号是_.解 析 ： 函 数
15、 y=2x2+x+1 在 （ 0， + ） 上 是 增 函 数 ， 错 ； 虽 然 （ ， 1） 、（ 1，）都是 y= 的单调减区间，但求并集以后就不再符合减函数定义， 错；要研究函数 y= 的单调区间，首先被开方数 5+4xx 20，解得1x5，245由于2，+ ）不是上述区间的子区间，错；f （x）在 R 上是增函数，且ab，ba，f（a） f（b） ，f（b）f （a） ，f （a）+f （b）f（a）+f（ b） ，因此 是正确的.答案：5.已知 f(x)是 R 上的减函数，则满足 f f(1)的 x 的取值范围是 ( )(1x)A(，1) B(1，) C( ，0)(0,1) D(，
16、0) (1，)答案 D解析 f(x)在 R 上单调递减且 f( )f(1)， 11x 1x典例剖析【例 1】 如果二次函数 f（x）=x 2（a1）x+5 在区间（ ，1）上是增函数，求2f（2）的取值范围.剖析：由于 f（2）=2 2（a 1）2+5=2a+11，求 f（2）的取值范围就是求一次函数 y=2a+11 的值域，当然就应先求其定义域.解 ： 二 次 函 数 f（ x） 在 区 间 （ ， 1） 上 是 增 函 数 ， 由 于 其 图 象 （ 抛 物 线 ） 开 口 向 上 ，2故 其 对 称 轴 x= 或 与 直 线 x= 重 合 或 位 于 直 线 x= 的 左 侧 ， 于 是
17、 ， 解 之12121a得 a2，故 f（ 2）22+11=7 ，即 f（2）7.【例 2】 讨论函数 f（x ）= （a0）在 x（1，1）上的单调性.1解：设1x 1x 21，则 f（x 1）f （x 2）= 12ax= = .)(2212aa )(2211x 1x 21，x 2x 10，x 1x2+10， （x 121） （x 221）0.又a0，f（x 1） f（x 2）0 ，函数 f（x）在（1，1）上为减函数 .【例 3】 求函数 y=x+ 的单调区间.剖析：求函数的单调区间（亦即判断函数的单调性） ，一般有三种方法：（1）图象法；（2）定义法；（3）利用已知函数的单调性.但本题图
18、象不易作，利用y=x 与 y= 的单调性（一增一减）也难以确定，故只有用单调性定义来确定，即判断f（x 2）f（x 1）的正负.解：首先确定定义域：x| x0，在（，0）和（0，+）两个区间上分别讨论.任取 x1、x 2（0，+）且 x1x 2，则 f（x 2）f （x 1）=x 2+ x 1 =（x 2x 1）+=（x 2x 1） （1 ） ，要确定此式的正负只要确定 1 的正负即可.12 2这样，又需要判断 大于 1，还是小于 1.由于 x1、x 2 的任意性，考虑到要将1（0，+ ）分为（ 0，1）与（1，+） （这是本题的关键）.（1）当 x1、x 2（0，1）时，1 0，f （x 2
19、）f（x 1）0，为减函数.21x（2）当 x1、x 2（1，+）时，1 0，f （x 2）f（x 1）0，为增函数.同理可求（3）当 x1、x 2（1，0）时，为减函数；（4）当 x1、x 2（，1）时，为增函数.评述：解答本题易出现以下错误结论：f（x ）在（1，0）（0，1）上是减函数，在（，1）（1，+）上是增函数，或说 f（x ）在（，0）（0，+）上是单调函数.排除障碍的关键是要正确理解函数的单调性概念：函数的单调性是对某个区间而言的，而不是两个或两个以上不相交区间的并.深化拓展求函数 y=x+ （a0）的单调区间.提示：函数定义域 x0，可先考虑在（0，+）上函数的单调性，再根据
20、奇偶性与单调性的关系得到在（，0）上的单调性.答案：在（， ， （ ，+）上是增函数，在（0， ， （ ，0）上aa是减函数.【例 4】 定义在 R 上的函数 y=f（x） ，f（0）0，当 x0 时，f （x ）1，且对任意的 a、bR，有 f（a+b）= f（a）f （b）.（1）求证：f（0）=1；（2）求证：对任意的 xR ，恒有 f（x）0；（3）求证：f（x ）是 R 上的增函数；（4）若 f（x） f（2x x 2）1，求 x 的取值范围.解：（1）证明：令 a=b=0，则 f（0）=f 2（0）.又 f（0）0，f（0）=1.（2）证明：当 x0 时，x0，f （0）=f（x
21、）f（x ）=1.f （x）= 0.又)(1xfx0 时 f（x）10，xR 时，恒有 f（x）0.（3）证明：设 x1x 2，则 x2x 10.f（x 2）= f（x 2x 1+x1）=f（x 2x 1）f（x 1）.x 2x 10，f（x 2x 1）1.又 f（x 1）0，f （x 2x 1）f（x 1）f（x 1）.f（x 2）f（x 1）.f（x）是 R 上的增函数.（4）解：由 f（x ）f（2x x2）1，f（0）=1 得 f（3xx 2）f（0）.又 f（x）是 R上的增函数，3x x 20. 0x 3.评述：解本题的关键是灵活应用题目条件，尤其是（3）中“f（x 2）=f（x
22、2x 1）+x1 ”是证明单调性的关键，这里体现了向条件化归的策略.闯关训练夯实基础1.（2004 年湖北，理 7）函数 f（x ）=a x+loga（x +1）在 0，1上的最大值与最小值的和为 a，则 a 的值为A. B. C.2 D.44121解 析 ： f（ x） 是 0， 1 上 的 增 函 数 或 减 函 数 ， 故 f（ 0） +f（ 1） =a， 即1+a+loga2=a loga2=1，2=a 1 a= .答案：B2.设函数 f（x） =loga|x|在（，0）上单调递增，则 f（ a+1）与 f（2）的大小关系是A.f（a+1）=f（2） B.f（a+1） f（2）C.f（
23、a+1）f（2） D.不能确定解析：由 f（x） = 且 f（x）在（，0）上单调递增，易得),(,logxa0a1.1a+1 2.又f（ x）是偶函数，f（x）在（ 0，+）上单调递减.f （a+1）f（2）.答案：B3.函数 y=loga（2ax）在0，1上是减函数，则 a 的取值范围是A.（0，1） B.（0 ，2） C.（1，2） D.（2，+）解 析 ： 题 中 隐 含 a 0， 2 ax 在 0， 1 上 是 减 函 数 . y=logau 应 为 增 函 数 ， 且u= 2ax 在 0， 1上应恒大于零 . 1a2.,答案：C4 函数 y= -x 的大致图象是（ B ）5（重庆理
24、 5）下列区间中，函数 ()fx= ln2)在其上为增函数的是 （A） （- ,1 （B）41,3（C）30,（D ） 1,2【答案】D6.（天津理 8）设函数21log,xf若 faf，则实数 a的取值范围是（ ） 10,U 1,U 0【答案】C【解析】若 0a，则212logla，即 2loga，所以 1，若 则12l，即 0，所以 a， 0。所以实数 的取值范围是 或 ，即 ,U故选 C7（四川文 4）函数()1xy的图象关于直线 y=x 对称的图象像大致是【答案】A【解析】1()2xy图象过点 (0,2)，且单调递减，故它关于直线 y=x 对称的图象过点(2,0)且单调递减，选 A8.
25、（上海理 16）下列函数中，既是偶函数，又是在区间 (0,)上单调递减的函数是（ ）（A）1ln|yx. （B）3yx. （C）|2xy. （D） cosyx.【答案】A9.（上海文 15）下列函数中，既是偶函数，又在区间 (0,)上单调递减的函数是（ ）（A）2yx（B ）1yx（C）2yx（D）13yx【答案】A10.（全国文 4）曲线 在点（1,0）处的切线方程为 123xy（A） 1x （B） 1yx（C） 2 （D） 2【答案】A37.（全国理 8）曲线21xye在点（0,2）处的切线与直线 0y和 x围成的三角形的面积为(A)13(B) (C) 3 (D)1【答案】A【命题意图】：
26、本小题主要考查导数的求法、导数的几何意义及过曲线上一点切线的方程的求法。【解析】200|()|xxye，故曲线21xye在点（0,2）处的切线方程为2，易得切线与直线 y和 围成的三角形的面积为13。11.（文）如果函数 f（x ）=x 2+2（a1）x+2 在区间（，4上是减函数，那么实数 a 的取值范围是_.解析：对称轴 x=1a，由 1a4，得 a3.答案：a3（理） （2003 年湖北省荆州市高中毕业班质量检查题）函数 y=f（x）的图象与 y=2x 的图象关于直线 y=x 对称，则函数 y=f（4xx 2）的递增区间是_.解析：先求 y=2x 的反函数，为 y=log2x，f （x）
27、=log 2x，f（4xx 2）=log 2（4xx 2）.令 u=4xx 2，则 u0，即 4xx 20.x（0，4）.又 u= x2+4x 的 对 称 轴 为 x=2， 且 对 数 的 底 为 2 1， y=f（ 4x x2） 的 递 增 区 间 为（ 0， 2） .答案：（0，2）12. （江苏 2）函数 )1(log)(5f的单调增区间是 _【答案】1（ -， ）【解析】 5logyu在 (0,).A21ux在(,)2大于零,且增.本题主要考查函数的概念，基本性质，指数与对数，对数函数图象和性质，容易题13.讨论函数 f（x ）= （a ）在（2，+ ）上的单调性 .1解：设 x1、x 2 为区间（2，+）上的任意两个值，且 x1x 2，则f（x 1）f（x 2）= = =21x)()()(112a.)(21ax 1（2，+） ，x 2（2，+）且 x1x 2，x 2 x10，x 1+20，x 2+20.当 12a0，即 a 时，f（x 1）f（x 2） ，该函数为减函数；当 12a0，即 a 时，f（x 1）f（x 2） ，该函数为增函数.
