1、函数的有关概念、定义域及值域知识梳理1.函数的定义：设 A、B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 f（x）和它对应，那么就称 f:AB 为从集合A 到 集 合 B 的 一 个 函 数 ， 记 作 y=f（ x） ， x A， 其 中 x 叫 做 自 变 量 .x 的 取 值 范 围 A 叫 做 函数 的 定 义 域 ； 与 x 的 值 相 对 应 的 y 的 值 叫 做 函 数 值 ， 函 数 值 的 集 合 f（ x） |x A叫 做 函 数的 值 域 .2.两个函数的相等：函数的定义含有三个要素，即定义域 A、值
2、域 C 和对应法则 f.当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后，函数的值域也就随之确定.因此，定义域和对应法则为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数.3.映射的定义：一般地，设 A、B 是两个集合，如果按照某种对应关系 f，对于集合 A 中的任何一个元素，在集合 B 中都有唯一的元素和它对应，那么，这样的对应（包括集合A、B，以及集合 A 到集合 B 的对应关系 f，叫做集合 A 到集合 B 的映射，记作 f:AB.由映射和函数的定义可知，函数是一类特殊的映射，它要求 A、B 非空且皆为数集.特别提示函数定义的三要素是理解函数概
3、念的关键，用映射的观点理解函数概念是对函数概念的深化.4.函数的三种表示法（1）解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式.（2）列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系.（3 ）图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系5、 函数的定义域：函数的定义域是使式子有意义的自变量的取值范围。（1）基本初等函数的定义域：分母不为 0；偶次根式中被开方数不小于 0；对数的真数大于 0，底数大于零且不等于 1；零指数幂的底数不等于零； （2 ）复合函数的定义域6.函数值域的求法：（1）基本方法：配方法(二次或四次)；判别式法；反函数法（反解法） ；
4、换元法（代数换元法） ；不等式法；单调函数法.常用函数的值域，这是求其他复杂函数值域的基础。 函数 的值域为 R;),0(Rxkby 二次函数 ,2ac当 时值域是 ,当 时值域是 ；0a40(,abc42 反比例函数 的值域为 ；)0(xky 0|y 指数函数 的值域为 ；,1,Rax且 对数函数 的值域为 R；log),(且 函数 的值域为-1，1；sin,cs) 函数 , 的值域为 R； 2kxtayotxy),(Zk点击双基1.设集合 A=R，集合 B=正实数集，则从集合 A 到集合 B 的映射 f 只可能是（ ）A.f:：xy=|x| B.f:：x y= C.f:：xy=3 x D.
5、f:：xy=log 2（1+|x |）2.若函数 的定义域为 R，则 的取值范围是（ ）1)(af aA. B. C. D. 1 01x 10x1x3.已知函数 f（x ）=lg ，若 f（a）= b，则 f（a）等于（ ）x1A.b B.b C. D. b1b14.函数 y= 的定义域是（ ）)(log21A. ，1）（1， B.（ ，1）（1， ）232C.2，1）（1，2 D.（2，1）（1，2）5.若函数 f（x） =loga（x +1） （a0，a1）的定义域和值域都是0，1 ，则 a 等于（ ）A. B. C. D.2322典例剖析【例 1】 试判断以下各组函数是否表示同一函数？（
6、1）f（x）= ，g（x）= ；23（2）f（x）= ，g（x）=|;01,x（3）f（x）= ，g（x）=（ ） 2n1 （nN *） ；12n（4）f（x）= ，g（x ）= ；（5）f（x）=x 22x1，g（t ）= t22t1.【例 2】 集合 A=3，4，B=5 ，6，7，那么可建立从 A 到 B 的映射个数是_，从 B 到 A 的映射个数是_.【例 3】 （1）已知 ，求 ；3()fx()fx（2）已知 ，求 ；1lg（3）已知 是一次函数，且满足 ，求 ；()f (1)2()17ffx()fx（4）已知 满足 ，求 x2()3fx练习： 根据下列两个条件，求出 f(x)的解析式
7、.（1） ，xxf2)1(2) 为二次函数且 f(0)=3,f(x+2)-f(x)=4x+2.)(xf【例 4】 求下列函数的定义域： ； ； 02)3(|)lg(xxy xycoslg25.p1l1l【例 5】如果函数 的定义域为 R，求实数 m 的取值范围862mxy【例 6】求值域 求值域 求值域 y . 12xy 1xey 6342x函数 的值域为1，4 ，求实数 a、b 的值)(2xbaf三、课堂练习：1、 的定义域为 A， 的定义域为 B，则（ )23lg()xxf )2lg()1l()xxg）（A）A=B （B ）AB= （C）A B （D）A B2、 （ 2011 年江西文 3
8、）若 ，则 的定义域为( )12(log)(xxf )xfA. B. C. D. )0,1(),21(,0,)2,1(3、函数 的定义域是（ ）logyx(A)(2， +) (B) (1，2)(2，+) (C) (1，+) (D)( ),314、函数 的定义域为 R，那么实数 a 的取值范围是（ ）34(23axxf(A)(，+) (B)(0， ) (C) ( ，+) (D)434,05、如果函数 的图象在 x 轴上方，那么此函数的定义域为（ ）|1)f(A)(1 ，1) (B) (1，+)(，1) (C)( ，1)且 x1 (D) (1，+) 且 x16、函数 的值域为（ ）2y(A)( 1
9、,1) (B) 1,1 (C) (D),1,7、函数 f（x）的值域为 2，2 ，则函数 f（x1 ）的值域为（ ）(A)1，3 (B) 3，1 (C)2 ，2 (D)1，1 8、如果函数 f（x）的定义域为1 ，3 ，那么函数 f（x）f（x ）的定义域为 .9、如果函数 f（x）= 的定义域为 ，+ ，那么实数 a 的取值范围是 .ax)10、函数 的定义域为 R，那么实数 a 的取值范围是 .f)(211、函数 的值域为（，2）（2 ，+） ，则实数 a= .xay1312、函数 的定义域为 .)8(logx13、函数 的定义域为 .14、如果函数 的定义域为 R，则实数 k 的取值范围
10、是 .347)(2kxxf15、用适当的方法求下列函数的值域： （换元法） y=1y ;12x16、求函数 的值域3512xy17、如图，在边长为 4 的正方形 ABCD 上有一点 P，沿着折线 BCDA 由 B 点（起点）向 A点（终点）移动，设 P 点移动的路程为 x，ABP 的面积为 y=f（x）. （1）求ABP 的面积与 P 移动的路程间的函数关系式；（2）作出函数的图象，并根据图象求 y 的最大值.D CPBA18作函数 y=|x-2|(x1)的图像19 作出函数 的函数图像|32|xy20.已知函数 f(x)和 g(x)的图象关于原点对称，且 f(x)=x2+2x.（1）求 g(
11、x)的解析式；（2）解不等式 g(x)f(x)-|x-1|.21.某租赁公司拥有汽车 100 辆.当每辆车的月租金为 3 000 元时，可全部租出.当每辆车的月租金每增加 50 元时,未租出的车将会增加一辆.租出的车每月需要维护费 150 元，未租出的车每辆每月需要维护费 50 元.（1）当每辆车的月租金定为 3 600 元时，能租出多少辆车？（2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？解 （3）函数的有关概念、定义域及值域知识梳理1.函数的定义：设 A、B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确
12、定的数 f（x）和它对应，那么就称 f:AB 为从集合A 到 集 合 B 的 一 个 函 数 ， 记 作 y=f（ x） ， x A， 其 中 x 叫 做 自 变 量 .x 的 取 值 范 围 A 叫 做 函数 的 定 义 域 ； 与 x 的 值 相 对 应 的 y 的 值 叫 做 函 数 值 ， 函 数 值 的 集 合 f（ x） |x A叫 做 函 数的 值 域 .2.两个函数的相等：函数的定义含有三个要素，即定义域 A、值域 C 和对应法则 f.当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后，函数的值域也就随之确定.因此，定义域和对应法则为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域和
13、对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数.3.映射的定义：一般地，设 A、B 是两个集合，如果按照某种对应关系 f，对于集合 A 中的任何一个元素，在集合 B 中都有唯一的元素和它对应，那么，这样的对应（包括集合A、B，以及集合 A 到集合 B 的对应关系 f）叫做集合 A 到集合 B 的映射，记作 f:AB.由映射和函数的定义可知，函数是一类特殊的映射，它要求 A、B 非空且皆为数集.特别提示函数定义的三要素是理解函数概念的关键，用映射的观点理解函数概念是对函数概念的深化.4.函数的三种表示法（1）解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解
14、析式.（2）列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系.（3 ）图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系5、函数的定义域：函数的定义域是使式子有意义的自变量的取值范围。（1）基本初等函数的定义域：分母不为 0；偶次根式中被开方数不小于0；对数的真数大于 0，底数大于零且不等于 1；零指数幂的底数不等于零； （2 ）复合函数的定义域6.函数值域的求法：配方法(二次或四次)；判别式法；反函数法（反解法） ；换元法（代数换元法） ；不等式法；单调函数法.常用函数的值域，这是求其他复杂函数值域的基础。 函数 的值域为 R;),0(Rxkby 二次函数 ,2ac当 时值域是 ,当 时值域是 ；0a
15、40(,abc42 反比例函数 的值域为 ；)0(xky 0|y 指数函数 的值域为 ；,1,Rax且 对数函数 的值域为 R；log),(且 函数 的值域为-1，1；sin,cs) 函数 , 的值域为 R； 2kxtayot xy),(Zk点击双基1.设集合 A=R，集合 B=正实数集，则从集合 A 到集合 B 的映射 f 只可能是A.f:xy=|x| B.f:xy=C.f:xy =3x D.f:xy=log 2（1+| x|）解析：指数函数的定义域是 R，值域是（0，+ ） ，所以 f 是 xy=3 x .答案：C2.若函数 的定义域为 R，则 的取值范围是（ ）12)(axxf aA.
16、B. C. D. 1 01x 10x1答案：B3.（2004 年全国，理 2）已知函数 f（x ）=lg ，若 f（a）=b，则 f（a）等于xA.b B.b C. D. 1b1解析：f（a）=lg =lg =f（a）=b.a1【答案】 B4.（2004 年全国，理 5）函数 y= 的定义域是)1(log2xA. ，1）（1， B.（ ，1）（1， ）2232C.2，1）（1，2 D.（2，1）（1，2）解析： x1 或 1x110)(log2221 xxxx 或.y= 的定义域为 ，1）（1， .)1(log2x22答案：A5.（2004 年浙江，文 9）若函数 f（x ）=log a（x+
17、1） （a0，a1）的定义域和值域都是0，1 ，则 a 等于A. B. C. D.2322解析：f（x）=log a（x +1）的定义域是0，1 ，0x 1，则 1x+12.当 a1 时，0=log a1log a（x+1）log a2=1，a=2；当 0a1 时，log a2log a（x+1）log a1=0，与值域是0，1矛盾.综上，a=2.答案：D典例剖析【例 1】 试判断以下各组函数是否表示同一函数？（1）f（x）= ，g（x）= ；23（2）f（x）= ，g（x）=|;01,x（3）f（x）= ，g（x）=（ ） 2n1 （nN *） ；12n（4）f（x）= ，g（x ）= ；（
18、5）f（x）=x 22x1，g（t ）= t22t1.剖析：对于两个函数 y=f（x）和 y=g（x） ，当且仅当它们的定义域、值域、对应法则都相同时，y=f（x ）和 y=g（x）才表示同一函数.若两个函数表示同一函数，则它们的图象完全相同，反之亦然.解：（1）由于 f（x ）= =|x|，g（x）= =x，故它们的值域及对应法则都不相同，23所以它们不是同一函数.（2）由于函数 f（x ）= 的定义域为（，0）（0，+） ，而 g（x）=|的定义域为 R，所以它们不是同一函数 .;01,x（3）由于当 nN *时，2n 1 为奇数，f（x）= =x，g（x）=（ ）12n 12nx2n1
19、=x，它们的定义域、值域及对应法则都相同，所以它们是同一函数.（4）由于函数 f（x ）= 的定义域为x|x 0 ，而 g（x）= 的定义域为x |x 1 或 x0，它们的定义域不同，所以它们不是同一函数.（5）函数的定义域、值域和对应法则都相同，所以它们是同一函数.评 述 ： （ 1） 第 （ 5） 小 题 易 错 判 断 成 它 们 是 不 同 的 函 数 ， 原 因 是 对 函 数 的 概 念 理 解 不 透 .要 知 道 ， 在 函 数 的 定 义 域 及 对 应 法 则 f 不 变 的 条 件 下 ， 自 变 量 变 换 字 母 ， 以 至 变 换 成 其 他 字母 的 表 达 式
20、， 这 对 于 函 数 本 身 并 无 影 响 ， 比 如 f（ x） =x2+1， f（ t） =t2+1， f（ u+1） =（ u+1）2+1 都可视为同一函数.（2）对于两个函数来讲，只要函数的三要素中有一要素不相同，则这两个函数就不可能是同一函数.【例 2】 集合 A=3，4 ，B =5，6，7，那么可建立从 A 到 B 的映射个数是_，从 B 到 A 的映射个数是_.剖析：从 A 到 B 可分两步进行：第一步 A 中的元素 3 可有 3 种对应方法（可对应 5或 6 或 7） ，第二步 A 中的元素 4 也有这 3 种对应方法.由乘法原理，不同的映射种数N13 39.反之从 B 到
21、 A，道理相同，有 N2222 8 种不同映射.答案：9 8深化拓展设集合 A 中含有 4 个元素，B 中含有 3 个元素，现建立从 A 到 B 的映射 f:AB，且使B 中每个元素在 A 中都有原象，则这样的映射有_个.提示：因为集合 A 中有 4 个元素，集合 B 中有 3 个元素，根据题意，A 中必须有 2 个元素有同一个象，因此，共有 C A =36 个映射.23答案：36【例 3】 （1）已知 ，求 ；31()fxx()f（2）已知 ，求 ；lg()f（3）已知 是一次函数，且满足 ，求 ；()f 1)2()17fx()fx（4）已知 满足 ，求 x2()3fx解：（1） ，31()
22、()f （ 或 ） 3()fx（2）令 （ ） ，t则 ， ， 1t2()lg1ft2()lg (1)fxx（3）设 ，0fxab则 (3abab，527xx ， ， 27()f（4） ，1()fx把中的 换成 ，得 ，32()ffx 得 ， 233()6fx12注：第（1）题用配凑法；第（2）题用换元法；第（3）题已知一次函数，可用待定系数法；第（4）题用方程组法练习：给出下列两个条件：（1）f( +1)=x+2 ;xx(2)f(x)为二次函数且 f(0)=3,f(x+2)-f(x)=4x+2.试分别求出 f(x)的解析式.解（1）令 t= +1,t1，x=（t-1） 2.x则 f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1,即 f(x)=x2-1,x1，+).（2）设 f(x)=ax2+bx+c (a0),f(x+2)=a(x+2) 2+b(x+2)+c, 则 f(x+2)-f(x)=4ax+4a+2b=4x+2. ， ，又 f(0)=3 c=3,f(x)=x 2-x+3.4ba1ba【例 4】 求下列函数的定义域： ； ；02)3(|)lg(xxy xycoslg25
