1、理科数学 第 1 页 共 4 页 江南十校 2019 届新高三摸底联考卷 理科数学 本 试 卷 分 第 I 卷 （ 选 择 题 ） 和 第 I I 卷 （ 非 选 择 题 ） 两 部 分 . 全 卷 满 分 1 5 0 分 ， 考 试 时 间 1 2 0 分 钟 . 第 I 卷 （ 选 择 题 共 6 0 分 ） 一 、 选 择 题 ( 本 大 题 共 1 2 小 题 , 每 小 题 5 分 , 共 6 0 分 . 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 , 只 有 一 项 是 符 台 题 目 要 求 的 ) 1 . 已 知 复 数 i z 1 1 i a z 2 2 , R a ,
2、i 是 虚 数 单 位 , 若 2 1 z z 是 实 数 , 则 a （ ） A . 0 B . 1 C . 2 D . 2 2 . 集 合 R x x y y M ) , 1 l g( | 2 ， 集 合 R x x N x , 4 1 2 | ， 则 N C M R 等 于 （ ） A . ) 2 , 0 B . ) , 0 C . 2 , ( D . 0 , 2 3 . 下 图 是 甲 、 乙 两 位 同 学 高 二 以 来 十 次 数 学 测 验 的 成 绩 分 布 茎 叶 图 , 则 由 此 茎 叶 图 得 到 下 列 结 论 中 不 正 确 的 是 （ ） A . 甲 同 学 的
3、 数 学 成 绩 比 乙 同 学 稳 定 B . 乙 同 学 的 平 均 成 绩 高 于 甲 同 学 C . 甲 同 学 十 次 考 试 成 绩 的 众 数 是 1 1 4 D . 乙 同 学 十 次 考 试 成 绩 的 中 位 数 是 1 1 5 4 . 已 知 x y 2 是 双 曲 线 ) 0 , 0 ( 1 : 2 2 2 2 b a b y a x C 的 一 条 渐 进 线 ， 则 双 曲 线 C 的 离 心 率 为 （ ） A . 5 B . 2 5 C . 2 D . 5 或 2 5 5 . 等 差 数 列 n a 的 前 n 项 和 为 n S ， 已 知 2 19 10 1
4、 a a a ， 则 19 S 的 值 为 （ ） A . 3 8 B . 1 9 C . 3 8 D . 19 6 . 若 A B C 满 足 0 ) ( B C A C A B , 则 A B C 一 定 是 （ ） A . 直 角 三 角 形 B . 正 三 角 形 C . 等 腰 直 角 三 角 形 D . 等 腰 三 角 形 7 . 已 知 函 数 ) 2 s i n( 2 x y 向 左 平 移 3 个 单 位 后 是 奇 函 数 ， 则 的 一 个 可 能 取 值 是 （ ） A . 3 B . 2 C . 3 D . 6 5 8 . 第 三 届 全 国 高 校 密 码 数 学
5、挑 战 赛 总 决 赛 中 , 安 徽 某 高 校 成 立 “ 风 之 眼 ” 战 队 , 现 从 5 名 学 生 和 2 名 教 师 中 选 出 4 人 组 成 战 队 , 要 求 至 少 有 一 名 教 师 参 加 , 且 甲 、 乙 两 名 同 学 要 么 同 时 参 加 , 要 么 都 不 参 加 ， 则 有 多 少 种 不 同 的 组 队理科数学 第 2 页 共 4 页 方 式 （ ） A . 20 B . 12 C . 24 D . 3 6 9 . 已 知 为 第 二 象 限 角 ， 且 5 3 2 3 c os ， 则 2 t a n （ ） A . 4 3 B . 3 4 C
6、. 7 24 D . 24 7 1 0 . 九 章 算 术 中 的 “ 两 鼠 穿 墙 题 ” 是 我 国 数 学 的 古 典 名 题 : “ 今 有 垣 厚 若 千 尺 , 两 鼠 对 穿 , 大 鼠 日 一 尺 , 小 鼠 日 一 尺 大 鼠 日 自 倍 , 小 鼠 日 自 半 , 问 何 日 相 逢 , 各 穿 几 何 ? ” 根 据 此 题 绘 制 如 右 程 序 框 图 , 若 输 入 17 d , 则 输 出 的 i （ ） A . 4 B . 5 C . 6 D . 7 1 1 . 某 三 棱 锥 的 三 视 图 如 图 ， 根 据 图 中 标 出 的 尺 寸 ， 可 得 几 何
7、 体 的 体 积 为 （ ） A . 3 2 B . 1 C . 3 4 D . 3 8 1 2 . 已 知 实 数 y x , 满 足 ) 2 l n( ) l n( 2 2 y x y x y x ， 则 y x （ ） A . 0 B . 1 C . 1 D . 2 第 I I 卷 （ 非 选 择 题 共 9 0 分 ） 二 、 填 空 题 （ 本 大 题 共 4 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 2 0 分 . 把 答 案 填 在 答 题 卡 的 相 应 位 置 ） 1 3 . 4 2 2 4 4 1 x x 的 展 开 式 的 常 数 项 为 . 1 4 . 已 知 实 数 x
8、 ， y 满 足 , 0 , 0 1 , 0 3 y y x y x 若 ) 1 0 ( ) 2 ( a y a ax z 的 最 大 值 为 2 ， 则 其 最 小 值 为 . 1 5 . 已 知 抛 物 线 y x C 2 : ， 过 直 线 1 : y l 上 的 一 点 P 作 抛 物 线 的 切 线 P A ， P B ， 切 点 为 A ， B ， 则 直 线 A B 恒 过 定 点 . 1 6 . 在 A B C 中 ， 已 知 A B C c os s i n s i n ， A B C 的 面 积 为 2 ， P 为 线 段 A C 上 的 点 ， 且 | | | | B C
9、 B C n B A B A m B P ， 则 m n 的 最 大 值 为 .理科数学 第 3 页 共 4 页 三 、 解 答 题 （ 本 大 题 共 6 小 题 ， 共 7 0 分 . 解 答 应 写 出 必 要 的 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 . 解 答 写 在 答 题 卡 上 的 指 定 区 域 内 ） 1 7 . （ 本 小 题 满 分 1 2 分 ） 如 图 在 A B C 中 ， 已 知 角 A ， B ， C 的 对 边 分 别 是 a ， b ， c ， c b C a 2 1 c os . （ 1 ） 求 角 A ； （ 2 ） 若 2 A B
10、， 3 A C ， A D 是 该 三 角 形 B C 边 上 的 中 线 ， 且 交 B C 于 D 点 ， 求 A D 的 长 . 1 8 . （ 本 小 题 满 分 1 2 分 ） 已 知 平 面 内 的 动 点 P 到 点 ) 0 , 1 ( 与 到 直 线 2 x 的 距 离 之 比 为 2 2 . （ 1 ） 求 动 点 P 的 轨 迹 C 的 方 程 ； （ 2 ） 若 倾 斜 角 为 45 的 直 线 l 与 轨 迹 C 交 于 A ， B 两 点 ， 且 以 A B 为 直 径 的 圆 经 过 坐 标 原 点 ， 求 直 线 l 的 方 程 . 1 9 . （ 本 小 题 满
11、 分 1 2 分 ） 汽 车 是 现 代 社 会 的 重 要 交 通 工 具 , 它 为 人 们 提 供 了 便 捷 、 舒 适 的 出 行 服 务 . 然 而 , 传 统 燃 油 车 辆 在 使 用 过 程 中 产 生 了 大 量 的 有 害 废 气 , 并 加 剧 了 对 不 可 再 生 石 油 资 源 的 依 赖 . 党 的 十 九 大 报 告 指 出 “ 美 丽 中 国 ” 的 全 新 概 念 . 党 的 政 府 工 作 报 告 更 强 调 , 推 广 新 能 源 汽 车 , 治 理 机 动 车 尾 气 , 提 高 油 品 标 准 和 质 量 , 打 好 节 能 减 排 和 环 境 治
12、 理 攻 坚 战 . 这 无 疑 给 电 动 汽 车 厂 家 销 售 商 提 供 了 商 机 , 以 下 是 一 家 汽 车 销 售 店 2 0 1 7 年 国 庆 七 天 各 类 汽 车 的 销 售 记 录 ： 纯 电 动 汽 车 混 合 动 力 车 燃 油 汽 车 2 5 x 1 5 按 分 层 抽 样 的 方 法 从 此 家 汽 车 销 售 店 国 庆 七 天 购 买 汽 车 的 用 户 中 随 机 抽 取 1 0 人 进 行 奖 励 , 其 中 有 2 人 为 混 合 动 力 汽 车 用 户 （ 1 ） 求 x 的 值 ; （ 2 ） 对 这 家 汽 车 销 售 店 国 庆 七 天 购
13、 买 汽 车 的 用 户 进 行 售 后 调 查 时 发 现 购 买 电 动 汽 车 和 燃 油 汽 车 与 年 龄 有 一 定 关 系 , 如 下 表 所 示 , 根 据 你 所 学 数 学 知 识 , 是 否 有 9 9 % 的 把 握 认 为 购 买 电 动 汽 车 和 燃 油 汽 车 与 年 龄 有 关 ? 分 类 纯 电 动 汽 车 燃 油 汽 车 4 0 岁 以 下 2 0 5 4 0 岁 以 上 5 1 0 （ 3 ） 根 据 ( 2 ) 中 表 格 , 从 购 买 燃 油 汽 车 的 用 户 中 抽 取 3 名 用 户 进 行 随 访 , 记 其 中 年 龄 在 4 0 岁 以
14、 下 的 用 户 数 为 随 机 变 量 X , 求 X 的 分 布 列 及 数 学 期 望 附 ： ) ) ( ) ( ) ( ( ) ( 2 2 d b c a d c b a bc ad n K ， d c b a n .理科数学 第 4 页 共 4 页 ) ( 0 2 k K P 0 . 1 0 0 . 0 5 0 . 0 2 5 0 . 0 1 0 0 . 0 0 5 0 . 0 0 1 0 k 2 . 7 0 6 3 . 8 4 1 5 . 0 2 4 6 . 6 3 5 7 . 8 7 9 1 0 . 8 2 8 2 0 . （ 本 小 题 满 分 1 2 分 ） 如 图 在 等
15、 腰 梯 形 A B C D 中 , A D B C 且 2 2 2 A D B C , 5 A B , A C 与 B D 交 于 O 点 , 将 A D C 沿 A C 折 叠 到 A P C 的 位 置 , 使 得 5 B P . ( 1 ) 求 证 B O A P ； ( 2 ) 问 在 线 段 P A 上 是 否 存 在 一 点 Q , 使 B Q 与 平 面 P B C 所 成 角 的 正 弦 值 为 6 3 , 若 存 在 , 求 出 Q 的 位 置 ； 若 不 存 在 ， 说 明 理 由 . 2 1 . （ 本 小 题 满 分 1 2 分 ） 已 知 函 数 ax x e x
16、f x 2 2 2 ) ( 有 两 个 极 值 点 1 x ， 2 x （ e 为 自 然 对 数 的 底 数 ） . （ 1 ） 求 实 数 a 的 取 值 范 围 ； （ 2 ） 求 证 ： 2 ) ( ) ( 2 1 x f x f . 请 考 生 在 第 2 2 、 2 3 题 中 任 选 一 题 作 答 ； 如 果 多 做 ， 则 按 所 做 的 第 一 题 计 分 . 2 2 . （ 本 小 题 满 分 1 0 分 ） 选 修 4 4 ： 坐 标 系 与 参 数 方 程 在 直 角 坐 标 系 x O y 中 , 以 坐 标 原 点 为 极 点 , x 轴 正 半 轴 为 极 轴
17、建 立 极 坐 标 系 , 点 A 的 极 坐 标 为 ) , 3 ( , 圆 1 C 的 极 坐 标 方 程 为 c os 12 . （ 1 ） 点 B 在 圆 1 C 上 运 动 , 点 M 在 线 段 A B 上 , 且 满 足 M A B M 2 , 求 点 M 的 轨 迹 1 C 的 直 角 坐 标 方 程 ； （ 2 ） 设 点 P 的 极 坐 标 为 ) 2 , 3 ( , 点 Q 在 曲 线 2 C 上 , 求 1 P Q C 面 积 的 最 大 值 . 2 3 . （ 本 小 题 满 分 1 0 分 ） 选 修 4 5 ： 不 等 式 选 讲 已 知 函 数 | | 2 | 1 2 | ) ( a x x x f ， 3 ) ( x x g . （ 1 ） 当 1 a 时 ， 求 不 等 式 ) ( ) ( x g x f 的 解 集 ； （ 2 ） 设 2 1 a ， 且 当 ) 2 1 , a x 时 ， ) ( ) ( x g x f ， 求 a 的 取 值 范 围 .
