1、八年级数学第十一章全等三角形综合复习切记：“有三个角对应相等”和“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等。例1.如图，,A FEB四点共线，ACCE，BD DF，AEBF，ACBD。求证：ACF BDE。例2.如图，在ABC中，BE是ABC的平分线，ADBE，垂足为D。求证：21C。例3.如图，在ABC中，ABBC，90ABC。F为AB延长线上一点，点E在BC上，BE BF，连接,AEEF和CF。求证：AECF。例4.如图，AB /CD，AD/BC，求证：ABCD。例5.如图，,APCP分别是ABC外角MAC和NCA的平分线，它们交于点P。求证：BP为MBN的平分线。例6.如图
2、，D是ABC的边BC上的点，且CD AB，ADB BAD ，AE是ABD的中线。求证：2ACAE。例7.如图，在ABC中，ABAC，12 ，P为AD上任意一点。求证：ABACPBPC。同步练习一、选择题：1.能使两个直角三角形全等的条件是()A.两直角边对应相等B.一锐角对应相等C.两锐角对应相等D.斜边相等2.根据下列条件，能画出唯一ABC的是()A. 3AB，4BC ，8CA B. 4AB，3BC ，30AC. 60C，45B，4AB D. 90C，6AB3.如图，已知12，ACAD，增加下列条件：AB AE；BCED；CD；B E。其中能使ABC AED 的条件有()A. 4个B. 3个
3、C. 2个D. 1个4.如图，12，CD，,AC BD交于E点，下列不正确的是()A. DAE CBE B. CE DEC. DEA不全等于CBE D. EAB是等腰三角形5.如图，已知ABCD，BCAD，23B，则D等于()A. 67B. 46C. 23D.无法确定二、填空题：6.如图，在ABC中，90C，ABC的平分线BD交AC于点D，且:2:3CD AD，10ACcm，则点D到AB的距离等于_cm；7.如图，已知ABDC，ADBC，,EF是BD上的两点，且BEDF，若100AEB，30ADB，则BCF _；8.将一张正方形纸片按如图的方式折叠，,BCBD为折痕，则CBD的大小为_；9.如
4、图，在等腰RtABC中，90C，AC BC，AD平分BAC交BC于D，DE AB于E，若10AB，则BDE的周长等于_；10.如图，点,DEFB在同一条直线上，AB /CD，AE /CF，且AE CF，若10BD，2BF ，则EF _；三、解答题：11.如图，ABC为等边三角形，点,M N分别在,BCAC上，且BMCN，AM与BN交于Q点。求AQN的度数。12.如图，90ACB，ACBC，D为AB上一点，AECD，BFCD，交CD延长线于F点。求证：BFCE。答案例1.思路分析：从结论ACF BDE入手，全等条件只有ACBD；由AEBF两边同时减去EF得到AFBE，又得到一个全等条件。还缺少一
5、个全等条件，可以是CF DE，也可以是AB。由条件ACCE，BD DF可得90ACE BDF，再加上AEBF，ACBD，可以证明ACE BDF，从而得到A B 。解答过程： ACCE，BD DF 90ACE BDF在Rt ACE与Rt BDF中AEBFACBDRt ACE Rt BDF(HL) A B AEBF AEEFBFEF，即AFBE在ACF与BDE中AFBEA BACBD ACF BDE(SAS)解题后的思考：本题的分析方法实际上是“两头凑”的思想方法：一方面从问题或结论入手，看还需要什么条件；另一方面从条件入手，看可以得出什么结论。再对比“所需条件”和“得出结论”之间是否吻合或具有明
6、显的联系，从而得出解题思路。小结：本题不仅告诉我们如何去寻找全等三角形及其全等条件，而且告诉我们如何去分析一个题目，得出解题思路。例2.思路分析：直接证明21C比较困难，我们可以间接证明，即找到，证明2 且1 C。也可以看成将2“转移”到。那么在哪里呢？角的对称性提示我们将AD延长交BC于F，则构造了FBD，可以通过证明三角形全等来证明2=DFB，可以由三角形外角定理得DFB=1+C。解答过程：延长AD交BC于F在ABD与FBD中90ABD FBDBD BDADB FDB ABD FBD (ASA 2 DFB 又 1DFB C 21C 。解题后的思考：由于角是轴对称图形，所以我们可以利用翻折来
7、构造或发现全等三角形。例3.思路分析：可以利用全等三角形来证明这两条线段相等，关键是要找到这两个三角形。以线段AE为边的ABE绕点B顺时针旋转90到CBF的位置，而线段CF正好是CBF的边，故只要证明它们全等即可。解答过程： 90ABC，F为AB延长线上一点 90ABC CBF在ABE与CBF中AB BCABC CBFBE BF ABE CBF(SAS) AECF。解题后的思考：利用旋转的观点，不但有利于寻找全等三角形，而且有利于找对应边和对应角。小结：利用三角形全等证明线段或角相等是重要的方法，但有时不容易找到需证明的三角形。这时我们就可以根据需要利用平移、翻折和旋转等图形变换的观点来寻找或
8、利用辅助线构造全等三角形。例4.思路分析：关于四边形我们知之甚少，通过连接四边形的对角线，可以把原问题转化为全等三角形的问题。解答过程：连接AC AB /CD，AD/BC 12，34在ABC与CDA中1243ACCA ABC CDA(ASA) ABCD。解题后的思考：连接四边形的对角线，是构造全等三角形的常用方法。例5.思路分析：要证明“BP为MBN的平分线”，可以利用点P到,BMBN的距离相等来证明，故应过点P向,BMBN作垂线；另一方面，为了利用已知条件“,APCP分别是MAC和NCA的平分线”，也需要作出点P到两外角两边的距离。解答过程：过P作PDBM于D，PEAC于E，PFBN于F A
9、P平分MAC，PDBM于D，PEAC于E PDPECP平分NCA，PEAC于E，PFBN于F PEPF PDPE，PEPF PDPF PDPF，且PDBM于D，PFBN于F BP为MBN的平分线。解题后的思考：题目已知中有角平分线的条件，或者有要证明角平分线的结论时，常过角平分线上的一点向角的两边作垂线，利用角平分线的性质或判定来解答问题。例6.思路分析：要证明“2ACAE”，不妨构造出一条等于2AE的线段，然后证其等于AC。因此，延长AE至F，使EFAE。解答过程：延长AE至点F，使EF AE，连接DF在ABE与FDE中AE FEAEB FEDBE DE ABE FDE(SAS) BEDF
10、ADF ADB EDF，ADC BAD B又 ADB BAD ADF ADC ABDF，ABCD DFDC在ADF与ADC中AD ADADF ADCDF DC ADF ADC(SAS) AFAC又 2AFAE 2ACAE。解题后的思考：三角形中倍长中线，可以构造全等三角形，继而得出一些线段和角相等，甚至可以证明两条直线平行。例7.思路分析：欲证ABACPBPC，不难想到利用三角形中三边的不等关系来证明。由于结论中是差，故用两边之差小于第三边来证明，从而想到构造线段ABAC。而构造ABAC可以采用“截长”和“补短”两种方法。解答过程：法一：在AB上截取ANAC，连接PN在APN与APC中 12A
11、NACAPAP APN APC(SAS) PNPC在BPN中，PBPNBN PBPCABAC，即ABACPBPC。法二：延长AC至M，使AMAB，连接PM在ABP与AMP中 12ABAMAPAP ABP AMP(SAS) PBPM在PCM中，CM PM PC ABACPBPC。解题后的思考：当已知或求证中涉及线段的和或差时，一般采用“截长补短”法。具体作法是：在较长的线段上截取一条线段等于一条较短线段，再设法证明较长线段的剩余线段等于另外的较短线段，称为“截长”；或者将一条较短线段延长，使其等于另外的较短线段，然后证明这两条线段之和等于较长线段，称为“补短”。小结：本题组总结了本章中常用辅助线
12、的作法，以后随着学习的深入还要继续总结。我们不光要总结辅助线的作法，还要知道辅助线为什么要这样作，这样作有什么用处。同步练习的答案一、选择题：1.A 2. C 3. B 4. C 5. C二、填空题：6. 4 7. 708. 909. 10 10. 6三、解答题：11.解： ABC为等边三角形 ABBC，60ABC C在ABM与BCN中AB BCABC CBM CN ABM BCN(SAS) NBC BAM 60AQN ABQ BAM ABQ NBC 。12.证明： AE CD，BFCD 90F AEC 90ACE CAE 90ACB 90ACE BCF CAE BCF在ACE与CBF中F AECCAE BCFAC BC ACE CBF(AAS)BFCE。
