1、1第一讲全等三角形的性质及判定【例 1】 如图， ， ， 求证： ACDE BF ACDEAFBD【补充】如图所示： ， 求证： ABCD ADBC【例 2】 已知：如图， 、 、 、 四点在同一条直线上， ， ， 求证：BEFCABCEFBCOAD【补充】已知：如图， ， ，求证： ADBCCD【补充】如图，在梯形 中， ， 为 中点，连结 并延长 交 的延长线于ABCDB ECDAEBC点 求证： F FEDCBA【例 3】 如图， 相交于点 ， ， 、 为 上两点， ， 求证：ABCD， OABEFCDAEF DOF EDCBAFEDCBAD CBAFEODCBAOD CBA2【补充】已
2、知，如图， ， ， ，求证： ABCEABFCBFCEFECBA【例 4】 如图， ，垂足分别为 ，试说明90DCEEADCBEA， ， ， A， DAB ED CBA【例 10】 如图所示， 已知 ， ， ，证明： ABDCEFCBAFE【例 11】 、 分别是正方形 的 、 边上的点，且 求证： EFABCDBECFAEBFPFEDCBA【补充】 、 、 分别是正方形 的 、 、 边上的点， ， 求证：EFGABCDABGEFBCGAB CDEFFEDC BA3【例 12】 在凸五边形中， ， ， ， 为 中点求证： BECDBEMCDAMCD【补充】如图所示： ， ， ， 求证： AFC
3、DBEFADBCEF ABC DEF【例 13】 （1）如图， ABC 的边 AB、AC 为边分别向外作正方形 ABDE 和正方形 ACFG，连结 EG，试判断ABC 与AEG 面积之间的关系，并说明理由.（2 ）园林小路，曲径通幽，如图所示，小路由白色的正方形理石和黑色的三角形理石铺成. 已知中间的所有正方形的面积之和是 a 平方米，内圈的所有三角形的面积之和是 b 平方米，这条小路一共占地多少平方米？ GFEDCBA【例 14】 如图， 中， ， ， 是 上一点，且 ，ABC90ABCDACDCBA交 于 点求证： DEEE CBDEA图2MEDCBA4【例 15】 中， ， 为 上一点，
4、使得 ， 为 上一点，使得ABC90MABAMBCN，连 、 交于 点试求 的度数，并写出你的推理证明的过程NP 图3PD MNB CA【例 16】 如图， 是 的内心，且 若 ，求 和 的大小IABC AIBC80AACI ABCI【例 17】 已知： 是 的高，点 在 的延长线上， ，点 在 上，BDCE、 APBDPACQE，求证： ； QAPQA PDQCBEA【例 18】 如左下图，在矩形 中， 为 延长线上一点且 ， 为 的中点求ABCDEBACEFA证： BFD 如右下图，在 中， 、 分别为边 、 的高， 为 的中点， 于FADBDMEF求证： ME FEDCBAMFED CB
5、A518.补充：如图，已知 ，且 求证：60ABDC1902ADBC是等腰三角形ABC【例 19】 如图， 为边长是 的等边三角形， 为顶角 是ABC1BDC()B的等腰三角形，以 为顶点作一个 角，角的两边分别交 于120D60A， 于 ，连接 ，形成一个 求 的周长MNMANM【习题 1】 已知：如图， ， ， 求证： ABDE CF BEABDEFEDCBA【习题 2】 已知：DEF MNP，且 EFNP，F P，D48，E52，MN12cm，求：P的度数及 DE 的长 .【习题 3】如图，矩形 中， 是 上一点， 交 于 点，若 ，矩形周长为 ，ABCDEACEFAB2DE16家庭作业
6、DCBAAMNB CD6且 ，求 的长CEFA E DCBFA【习题 4】在四边形 中， ， 的平分线 交 于 求证：当 是 的角平分ABCDB AEDCE线时，有 【备选 1】 如图所示： ， ， 、 相交于点 求证： 平分 ABCDAECBOADE【备选 2】 如图所示，在 中， 于点 ， 求证： ABC D2BCABDC【备选 3】 如图，ABC 中， D 是 BC 的中点，过 D 点的直线 GF 交 AC 于 F，交 AC 的平行线 BG 于 G 点，DEDF ，交 AB 于点 E，连结 EG、EF.（1 ）求证：BGCF .（2 ）请你判断 BE+CF 与 EF 的大小关系，并说明理
7、由. FED CBAG第二讲 全等三角形与中点问题月测备选A BCDEOC D BA7版块一 倍长中线【例 1】 在 中， ，则 边上的中线 的长的取ABC9,5ABCAD值范围是什么？【补充】已知： 中， 是中线求证： ABCD1()2ADBC【例 2】 已知：如图，梯形 中， ，点 是 的中点， 的延长线与 的延长线相交ABCDB ECDBEAD于点 求证： FEF D FECBA【例 3】 如图，在 中， 是 边的中点， ， 分别是 及其延长线上的点， 求ABCDFEADFBE证： EF【例 4】 如图， 中， ， 是中线求证： ABCADDACB【例 5】 如图，已知在 中， 是 边上
8、的中线， 是 上一点，延ABCBEA长 交 于 ， ，求证： EFEACDAB CDAB CFEDCBADAB CFED CBA8【例 6】 如图所示，在 和 中， 、 分别是 、 上的中线，且 ，ABCADBCAB， ，求证ACD C【例 7】 如图，在 中， 交 于点 ，点 是 中点， 交 的延长线于点 ，交ABCDBEBCEFAD CF于点 ，若 ，求证： 为 的角平分EFGFA线【例 8】 已知 为 的中线， ， 的平分线分别交 于 、交 于 求证：ADBCADBCABECFEF【例 9】 在 中， ，点 为 的中点，点 、 分别为 、 上的点，且RtABC90DBCEFABC以线段
9、、 、 为边能否构成一个三角形？EDFEFDAB CDAB CFGE D CBAFEAB D CFED CBA9若能，该三角形是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形？【例 10】 已知ABC， B=C，D ，E 分别是 AB 及 AC 延长线上的一点，且 BD=CE，连接 DE 交底 BC于 G，求证 GD=GEGED CBA【例 11】 如图所示，在 中， 是 的中点， 垂直于 ，如果ABCDDMN，求证 (勾股定理22BMN2214ABC的内容，选做)NMD CBA10【例 10】 在 中， 是斜边 的中点， 、 分别在边 、 上，满足 若RtABCFABDECAB90DFE， ，则线段 的
10、长度为_3D4EE【习题 1】 如图，在等腰 中， ， 是 的中点，过 作 ， ，且ABCADBCAEDAFAEF求证： D【习题 2】 如图，已知在 中， 是 边上的中线， 是 上一点，且ABCDBEAD，延长 交 于 ， 与 相等吗？为什么？BEEFA【习题 3】 如右下图，在 中，若 ， ， 为 边的中点求证： ABC2CADBEC2ABDEED CBA【备选 1】如图，已知 AB=DC，AD=BC ，O 是 BD 中点，过 O 点的直线分别交 DA、BC 的延长线于 E，F 求证：E=F家庭作业图 6GEFDBCAFED CBADFECBA11【备选 2】如图， 中， ， ， 是 中点
11、， ， 与 交于 ，ABCA90BCDBCEFDABE与 交于 求证： ， FDFEFA第三讲 全等三角形与角平分线问题【例 1】 在 中， 为 边上的点，已知 ， ，求证： ABCDBADCBDABC D CBA【例 2】 已知 中， ， 、 分别是 及 平分线求证： ABCABECDABCBE EDCBA【例 3】 如图，在 中， ， 、 分别平分 、 ，且 与 的交点ABC60ADCEBACAE为 求证： FEF FBED CA【例 4】 如图，已知 的周长是 ， ， 分别平分 和 ， 于 ，且ABC21OBCABCO，求 的面积3ODAB CDEF12【补充】如图所示： ， ， 、 相
12、交于点 求证： 平分 ABCDAECBOADE【例 5】 已知 中， ， 、 分别平分 和 ，ABC60BDCEABC、 交于点 ，试判断 、 、 的数量关系，并加以证明DEOOE DCBA【例 6】 如图，已知 是 上的一点，又 ， 求证： EAC1234ED EDCBA4321【例 7】 如图所示， 是 和 的平分线， ， 求证： OPACBODAOCBDCDADOCBA BCDEO13P DBOCA【例 8】 如图所示，已知 中， 平分 ， 、 分别在 、 上 ，ABCDBACEFBDE求证： EFEF FACDEB【例 10】 如图，在四边形 中， 平分 ，过 作ACDA，并且 ，则
13、等于多少？CEAB于 1()2EABDB ED CBA【补充】长方形 ABCD 中，AB=4，BC=7，BAD 的角平分线交 BC 于点 E，EFED 交 AB 于 F，则EF=_ FEDCBA【补充】在 中， ， 是 的平分线 是 上任意一点求证：ABCADBACPADPCDBPA14【例 11】 如图，在 中， ， 的平分线 交 与 求证：ABC2BACDBCDD CBA【例 12】 如图， 中， ， ， 平分 交 于 点求证：ABCA108BDACDAB CD【巩固】已知等腰 ， ， 的平分线交 于 ，则 ABC10ABCADA【例 13】 如图所示，在 中， 平分 ， ， 于 ，求证A
14、BCDBACDCMAD2ABMMD CBA【例 14】 如图， 中， ， 、 分别为两底角的外角平分线， 于 ，ABCABDCEADB于 求证： EDCBA15HGDAB CE【例 15】 如 图 ， ， 平 分 ， 平 分180ADBEACE， 点 在 上 BCDEA 探 讨 线 段 、 和 之 间 的 等 量 关 系 CB 探 讨 线 段 与 之 间 的 位 置 关 系 E DCBA【习题 2】如图，在 中， ， 的平分线 交 与 求证： ABCDACBADBC2BC D CBA【习题 3】 是 的角平分线， 交 的延长线于 ， 交 于 求证：ADBCBEADEFAC FF家庭作业16D
15、E CF BA【习题 4】如图所示，AD 平行于 BC， ， ，AD=4，BC =2，那么DAE=BECAB=_【习题 5】 中， 为 中点， 交 的平分线于点 ， 于 于ABCDEBCAEFABEGAC求证： GFGEGF DCBA【备选 1】在 中， 平分 ， 求 的值ABCDBACDAC:B CDBA月测备选17【备选 2】如图，已知在 中， ， ， 求证： ABC3C12BEA2CABE 21ECBA【备选 3】如图所示，在四边形 中， ， 的平分线 交 于 ，求证：当 是ABCDB AEDCBE的平分线时，有 B EBCDA第四讲 全等三角形与旋转问题【例 1】 已知：如图，点 为线
16、段 上一点， 、 是等边三角形 （1）求证： CABCMBNANBM（2）求证：CD=CENMA C BED NMA C B18(3) 求证：CF 平分MCN（4 ） 求证：DE AB【例 2】 如图，四边形 、 都是正方形，连接 、 求证： ABCDEFGAECGAECG G FEDCBA【例 3】 如图，等边三角形 与等边 共顶点于 点求证： ABCDECAEBDFED NMA C BFED NMA C B19DECBA【例 4】 如图， 是等边 内的一点，且 ， ， ，问 的度数DABCBDAPBDCP是否一定，若一定，求它的度数；若不一定，说明理由PDCBA【例 5】 如图，等腰直角三
17、角形 中， ， ， 为 中点， 求证：ABC90 ABaOCEOF为定值BEF OBECFA【补充】如图，正方形 绕正方形 中点 旋转，其交点为 、 ，求证： OGHKABCDOEFAE 54321OH BEDKGCFA【例 6】 (2004 河北)如图，已知点 是正方形 的边 上一点，点 是 的延长线上一点，且EABCDFCB20 求证： EAFDEBF FEDCBA【补充】如图所示，在四边形 中， ， ， 于 ，若四边形ABCD90ABCDPA的面积是 16，求 的长ABCDP PDCBA【例 7】 、 分别是正方形 的边 、 上的点，且 ， ， 为垂足，求EFABCD45EF HEF证：
18、 AH【巩固】如图，正方形 的边长为 ，点 在线段 上运动， 平分ABCD1FCDAE交 边于点 BAFE求证： F设 ( )， 与 的面积和 是否存在最大值？若存在，求出此时 的x0 ABES x值及 若不存在，请说明理由SFEDCBACHFEDBA21【补充】(1)如图，在四边形 ABCD 中，AB AD， B D ，E 、 F 分别是边 BC、 CD 上的点，且90EAF= BAD求证：EF BE FD;12 FEDCBA(2) 如图，在四边形 ABCD 中，AB AD， B+D ，E 、 F 分别是边 BC、 CD 上的点，且180EAF= BAD， (1 )中的结论是否仍然成立？不用
19、证明 FE DCBA【习题 1】 如图，已知 和 都是等边三角形， 、 、 在一条直线上，试说明 与ABCDEBCDCE相等的理由DEDCBA家庭作业22【习题 2】 (湖北省黄冈市 2008 年初中毕业生升学考试)已知：如图，点 是正方形 的边 上任EABCD意一点，过点 作 交 的延长线于点 求证： DFEBCFDF FEDCBA【习题 3】 在梯形 中， ， ， ， ， ， 是 中点，试判断ABCD 90A2B3C1DEA与 的位置关系，并写出推理过程E【习题 4】 已知：如图，点 为线段 上一点， 、 是等边三角形 、 分别是CABCMBNCGH、 的高求证： ANMGHHGNMC B
20、A【备选 1】 在等腰直角 中， ， ， 是 的中点，点 从 出发向 运动，ABC90ACBMAPBC交 于点 ，试说明 的形状和面积将如何变化MQPQP月测备选A BCDEAPMCQB23【备选 2】 如图，正方形 中， 求证： ABCDFAEBDFAE FEDCBA【备选 3】 等边 和等边 的边长均为 1， 是 上异于 的任意一点， 是 上ABDCEBAD、 FCD一点，满足 ，当 移动时，试判断 的形状1EF、 F D FECBA第五讲 轴对称和等腰三角形【例 1】 在 中， ， 求 ABCABCDEA【补充】在 中， ， ， 求 ABCABCDAEBAEDCBAE DCBA24【例
21、2】 的两边 和 的垂直平分线分别交 于 、 ，若 ，求ABCACBCDE150BACDE【例 3】 如图，点 是等边 内一点， ， 将 绕点 按顺时针方OAD10AOBCBO C向旋转 得 ，连接 ，则 是等边三角形；当 为多少度时，19060 C D 是等腰三角形？AD【例 4】 如图，在 中， ， 在 上， ，在 上取一点 ，使得ABCDBC50ADCE，求 的度数DEE【例 5】 如图， 为等边三角形，延长 到 ，又延长 到 ，使 ，连接 ，求ABCBCDBAEBD,CE证： 为等腰三角形DEED CBAO DCBAAB CDEEDCBA25【例 6】 如图，在 中， ， 为锐角， 分
22、别为边 、 、 上的点，满足ABC,MNDABC， ，且 求证： MNDBC板块三、轴对称在几何最值问题中的应用【例 7】 已知点 在直线 外，点 为直线 上的一个动点，探究是否存AlPl在一个定点 ，当点 在直线 上运动时，点 与 、 两点BPAB的距离总相等，如果存在，请作出定点 ；若不存在，请说明B理由【例 8】 如图，在公路 的同旁有两个仓库 、 ，现需要建一货物中转站，要求到aAB、 两仓库的距离和最短，这个中转站 应建在公路旁的哪个位置比较合理？ABM aBA【例 9】 如图， ，角内有点 ，在角的两边有两点 、45AOPQ(均不同于 点)，求作 、 ，使得 的周长的最小RQR【补
23、充】如图， 、 为 的边 、 上的两个定点，在 上求MNABCBAB一点 ，使 的周长最短PAB CDM NP A lP BANMCBA26【例 10】 已知如图，点 在锐角 的内部，在 边上求MAOBB作一点 ，使点 到点 的距离与点 到 的边的距离PP和最小【补充】已知： 、 两点在直线 的同侧， 在 上求作一点 ，使ABllM得 最小|M【补充】已知： 、 两点在直线 的同侧，在 上求作一点ABll，使得 最大M|【例 11】 如图，正方形 中， ， 是 上的一点，且 ， 是 上的一动点，ABCD8MDC2DMNAC求 的最小值与最大值DNM【补充】例题中的条件不变，求 的最小值与最大值
24、DNMMBOAlBANMDCBA27【补充】如图，已知正方形 的边长为 8， 在 上，且 ， 是 上的一个动点，则ABCDMDC2NAC的最小值是 DNMMDCBA【习题 1】 (2007 双柏中考)等腰三角形的两边长分别为 4 和 9，则第三边长为 【习题 2】 等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成 和 两部分，则这个等腰三角形的12cm底边的长为( )A B C 或 D无法确定7cm5c17cm5【习题 3】 已知等腰三角形的周长为 20，腰长为 ，求 的取值范围x【习题 4】 (2004 天津)在下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )【习题 5】 判断下列图形(图
25、)是否为轴对称图形？如果是，说出它有几条对称轴 【备选 1】 的一个内角的大小是 ，且 ，那么 的外角的大小是( )ABC04ABCA B 或 C 或 D 或40811408140【备选 2】 已知等腰三角形一腰上的中线将它们的周长分为 12 和 15 两部分，求腰长和底长【备选 3】 (四川省竞赛题)如图，在等腰 中， ， 的 上一点，满足 ，在Rt3EB2BE斜边 上求作一点 使得 长度之和最小PE PEC BA月测备选家庭作业28【备选 4】 在正方形 中， 在 上， ， ， 在 上，求 和 的长度之和的ABCDE2B1CEPBDPEC最小值EPDCBAEEPDCBA第六讲 全等三角形中
26、的截长补短板块一、截长补短【例 1】 已知 中， ， 、 分别平分 和 ， 、 交于点 ，试判断ABC60BDCEABC.BDCEO、 、 的数量关系，并加以证明ED【例 2】 如图，点 为正三角形 的边 所在直线上的任意一点MABD(点 除外)，作 ，射线 与 外角的平分B60NMNDBADOECBANEBMAD29线交于点 ， 与 有怎样的数量关系?NDM【例 3】 ADAB，CBAB，DM=CM= ，AD = ，CB= ，AMD=75 ， BMC=45，则 AB 的长为 ( )ahkA. B. C. D. ak2k MD CBA【例 4】 已知：如图，ABCD 是正方形，FAD=FAE
27、. 求证：BE+DF=AE.【例 5】 以 的 、 为边向三角形外作等边 、 ，连结 、 相交于点 求证：ABCABDCEDBEO平分 ODEF AB CD EOOEDCBAFEDCBA30【例 6】 (北京市数学竞赛试题，天津市数学竞赛试题)如图所示， 是边长为 的正三角形，ABC1是顶角为 的等腰三角形，以 为顶点作一个 的 ，点 、 分别在 、BDC120D60MDNAB上，求 的周长AMN【例 7】 五边形 ABCDE 中，AB= AE，BC +DE=CD， ABC+AED=180，求证：AD 平分CDE板块二、全等与角度【例 10】 如图，在 中， ， 是 的平分线，且 ，求 的ABC60ADBCACBDABC度数.【例 11】 在正 内取一点 ，使 ，在 外取一点 ，使 ，且ABCDABCEDBC，求 .EENMDCBACEDBAD CBADECBA
