1、2.2 函数的值域与最值求值域的常用方法1、观察法 2、反函数法 3、分离常数法 4、配方法 5、判别式法6、单调性法 7、基本不等式法 8、数形结合法 9、换元法例题：1、直接观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。例 1 求函数的值域（1）y= x1 （2）y=3- x2、配方法：配方法是求二次函数值域最基本的方法之一，利用二次函数的有关性质、图象作出分析，特别是求某一给定区间的最值与值域。此方法一般可解决形如 y = a f(x)2 + b f(x) + c (a0)的函数的值域与最值例 2、求函数的值域（1）y= 2x-2x+5，x -1，2 （ 2）y = sin2x
2、- 6sinx + 2（3）y=cos2x-6sinx+23、判别式法一般地，求形如 y = 2abcABC的有理分式函数的值域，可把原函数化成关于 x 的一元二次方程： f(y)x 2 +g(y)x+(y) = 0,根据方程的判别式 g 2(y) - 4f(y)(y)0求出 y 的取值范围，从而得出原函数的值域。但要注意几点：在 0 中，应考虑“” 能否成立；由于在变形过程中涉及到去分母，应考虑函数的定义域是否为 R；f(y)0，应验证 f(y)0 的情况。否则用“ 判别式法”求出的值域与最值是不可靠的。例 3 求函数 y= 21x的值域。4、反函数法：直接求函数的值域困难时，可以通过求其原
3、函数的定义域来确定原函数的值域。例 4 求函数 y= 6543值域。5、函数有界性法:直接求函数的值域困难，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。例 5 求函数 y= 1xe的值域例 6 求函数的值域。(1) 2sin (2) y= 3sincox6、函数单调性法利用所学基本初等函数的单调性，再根据所给定义域来确定函数的值域与最值，在求函数的值域与最值中，是一种比较简捷、巧妙的方法。例 7 求函数 y= 5xlog31x （2x10）的值域例 8 求函数 y= 1- 的值域。7、换元法通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型。换元法
4、是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。例 9 求函数 y=x+ 1的值域。例 10 求函数 y= 2|的值域例 11 求函数 y=（sinx+1） （cosx+1） ，x 0， 的值域8 数形结合法 其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。例 12 求函数 y= )2(x+ 82的值域。例 13 求函数 y= 136+ 54x的值域9 、不等式法 利用基本不等式 a+b2 ab，a+b+c3 abc3（a，b，c R） ，求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析
5、式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。例 14 求函数 y= 32x的值域10、导数法例 15 求函数 524y在区间 2,上的最大值与最小值。例 16 求函数 )1()xf的值域求下列函数的值域：（1） 23yx； （2） 265yx； （3） 12xy；（4） 1； （5） 1； （6） |4|；（7）2x； （8）2()x； （9） sincox2函数 1y的值域为 3若函数 ()logaf在 2,4上的最大值与最小值之差为 2，则 a 4、已知 36x（ 是常数） ，在 ,上有最大值 3，那么在 2,上的最小值是 5、函数 231()fx在区间 1，5上的最大值是 _ 6、已知函数 2aby的值域为1，4 ，求常数 ba,的值。7、若函数 )0(log)(xfa在区间 2,上的最大值是最小值的 3 倍，则 a= 8、函数 ()log(1)0,xaf在上的最大值与最小值之和为 a,则 a=
