1、求 函 数 值 域 的 常 用 方 法在函数的三要素中，对于如何求函数的值域，是学生感到头痛的问题，它所涉及到的知识面广，方法灵活多样，在高考中经常出现，占有一定的地位，若方法运用适当，就能起到简化运算过程，避繁就简，事半功倍的作用。本文就函数值域求法归纳如下。1、直接观察法对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。例 1 求函数 y=3- 的值域。x解： 0 - 0 3- 3x故函数的值域是：（-，3 2、配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。例 2、求函数 y= -2x+5，x -1，2的值域。2解：将函数配方得：y=（x-1） +4， x -1，2，由二次函数的性质可知：2当
2、 x=1 时，y =4min当 x=-1，时 =8ax故函数的值域是：4，8 3、判别式法 2例 3 求函数 y= 的值域。21x解：原函数化为关 x 的一元二次方程（y-1） -x+（y-1）=02x（1）当 y1 时，x R,=(-1) -4(y-1)(y-1) 02解得： y23（2）当 y=1，时，x=0,而 1 , 23故函数的值域为 ， 2例 4 求函数 y=x+ 的值域。 )(x解：两边平方整理得：2 -2（y+1）x+y =0（1）22x R， =4（y+1） -8y 0解得：1- y 1+但此时的函数的定义域由 x（2-x） 0，得：0 x 2。由 0，仅保证关于 x 的方程
3、：2 -2（y+1）x+y =0 在实数集 R 有实根，而不能确保其实根2在区间0，2上，即不能确保方程（1）有实根，由 0 求出的范围可能比 y 的实际范围大，故不能确定此函数的值域为 ， 。可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。130 x 2， y=x+ 0，)2(x=0，y=1+ 代入方程（ 1） ，解得： = 0，2，即当 = 时，ymin 1x241x24原函数的值域为：0，1+ 。2注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。4、反函数法直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。例 5 求函数
4、y= 值域。6543x解：由原函数式可得：x= 3y则其反函数为：y= 54x其定义域为：x 3故所求函数的值域为：（-， ）535、函数有界性法直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。例 6 求函数 y= 的值域。1xe解：由原函数式可得： =xy0， 0 xe1y解得：-10，故原函数的值域为(0, 。7、换元法通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。例 9 求函数 y=x+ 的值域。1解：令 x-1=t， （t 0）则 x= +12ty
5、= +t+1= + ，又 t 0，由二次函数的性质可知2t2)(43当 t=0 时，y =1，当 t0 时，y+。min故函数的值域为1，+） 8 数形结合法其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。例 10 求函数 y= + 的值域。)2(x82解：原函数可化简得：y=x-2+x+8 上式可以看成数轴上点 P（x）到定点 A（2） ，B（-8）间的距离之和。由上图可知：当点 P 在线段 AB 上时，y=x-2+x+8=AB=10当点 P 在线段 AB 的延长线或反向延长线上时，y=x-2+x+8AB=
6、10故所求函数的值域为：10，+例 11 求函数 y= + 的值域1362x542x解：原函数可变形为：y= +)0(2)10(22上式可看成 x 轴上的点 P（x，0）到两定点 A（3，2） ，B（-2，-1）的距离之和，由图可知当点 P 为线段与 x 轴的交点时， y =AB=min= ，)12(343故所求函数的值域为 ，+。例 12 求函数 y= - 的值域62x542x解：将函数变形为：y= -)0(2)10(22上式可看成定点 A（3，2）到点 P（x，0）的距离与定点 B（-2，1）到点 P（x，0）的距离之差。即：y=AP-BP由图可知：（1）当点 P 在 x 轴上且不是直线
7、AB 与 x 轴的交点时，如点 P，则构成ABP，根据三角形两边之差小于第三边，有 AP-BPAB= = )2(6即：- y 26（2）当点 P 恰好为直线 AB 与 x 轴的交点时， 有 AP-BP=AB= 。6综上所述，可知函数的值域为：（- ，- ） 。 注：由例 11，例 12 可知，26求两距离之和时，要将函数式变形，使 A，B 两点在 x轴的两侧，而求两距离之差时，则要使两点 A，B 在 x 轴的同侧。如：例 17 的 A，B 两点坐标分别为：（3，2） ， （-2，-1） ，在 x 轴的同侧；例 18 的 A，B 两点坐标分别为：（3，2） ， （2，-1） ，在 x 轴的同侧。总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法然后才考虑用其他各种特殊方法。
