1、如何求三角函数的值域濮阳外国语学校王艳敏电话：摘要：三角函数的最值是中学数学的一个重要内容，归纳这一内容，有助于学生进一步掌握已经学过的三角知识，沟通三角、代数、几何的联系，培养学生的思维能力。关键词： 函数最值三角函数三角函数最值问题是高中数学的重点内容之一, 也是高考命题的热点 , 由于三角函数和代数、 几何等知识联系紧密 , 故求解这类问题的方法灵活多变 , 能力要求高 , 具有一定的综合性 . 本文介绍三角函数值域问题的一些常见类型和解题方法。一基本型：y asinx b 或ya cosx b解决策略：利用 sinx 和 cosx的有界性 , 即 sin x1和 cos x 1例 1.
2、 求 y 2sin x 1 值域。分析：利用 sinx1的有界性解：1sinx112sin x13函数y2sinx1的值域为1，3二、形如ya sin xb cos xc解决策略：引入辅助角转化为基本型bya2b2 sin(x) c,其中 tan例2、求函数ysin x3 cos xa分析：引入辅助角，再利用正弦函数的有界性解： y2 sin( x）32，2xR sin( x)11，函数的值域为3三、形如 ya sin 2 x b sin x cos xcos2 x型的函数解决策略：通过降幂再转化为yA sin(x)来求解例 3. 求 ysin 2 x2sin x cosx3cos2x 的值域
3、解： y12sin x cos x2cos 2 xsin 2xcos2x22 sin(2 x) 241sin(2 x4)1所以所求函数的值域为22,22acosxb四、反比例型：形如ya sin xb或 yc sin xdccosxd解决策略：用反表示法，再利用有界性或数形结合。例 4、求函数 y1sinx的值域2cos x方法一 解：由 y1sinx得2 yy cos x1sin x2cos xsin xy cosx12y1y2 sin( x )1 2y其中 tanysin( x)12 ysin( x)112 y1y 211y 2(1 2y)21 y23y24 y 00 y43方法二 解：此
4、函数看做过定点A（2，1）和动点 B（ cosx,sinx）的直线的斜率。如图所示yB因为点 B的轨迹是单位圆A(2,1)当直线和圆相切时斜率取最值oxB设直线方程为 y1k ( x2)即 kxy 12k0由于直线与圆相切12 k1解得 k=0 或 k= 4k 213所以函数 y1sin x的值域为0,42cos x3五、二次型，形如ya sin2 xb sin xc解决策略：转化为二次函数在有限闭区间上的值域问题例 5、求函数 y2sinx cos 2 x 的值域1sin x分析：切勿忽略了函数的定义域中，要求分母不为零解： y2sin x(1sin 2x) 且sin x 1y 2(sinx
5、1)211 sin x221 sinx 14y 1所以函数的值域为4,122六、形如 y sin xa型的函数sin x解决策略：此类问题一般联想基本不等式，若不能用基本不等式，则可以利用函数的单调性加以解决例 6、求函数 y2sin xcos2 x 的值域1sin x分析：化同名三角函数式sin2 xsin x11sin x2令 t1 sin x解： ysin x11sin x则0 t 2y t2由于 yt2t2 时是增函数t在 0t所以函数的值域为,1七、解析式中同时出现了sin xcos x 和 sin x cos x解决策略：借助换元法，转化为二次型例 7.求函数 y sin x cos xsin xcos x的值域分析：借助换元法，转化为二次函数求值域解：设 t sin xcos xt2,t 212 则 sin x cos x2原函数转化为y tt2112t11(t22t221) 12t2, 21y12所以函数的值域为121,22总之三角函数求值域问题，体现了数学的转化思想1. 通 过 三 角 函 数 的 等 价 变 形 ， 将 给 定 的 函 数 转 化 为yAsin(x)b 的形式2. 通过化简及换元将给定的函数转化为二次函数在有限闭区间上的值域问题。
