1、2017 年云南省曲靖一中等多校联考高考数学模拟试卷（理科）一、选择题（本题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1设 P、Q 是两个集合，定义集合 PQ=x|xP 且 xQ为 P、Q 的“差集”，已知 P=x|1 0，Q=x|x2|1，那么 PQ 等于（ ）Ax |0x1 Bx|0x1 Cx|1x 2 Dx|2x 32已知（a i） 2=2i，其中 i 是虚数单位，a 是实数，则|ai|=（ ）A2 B1 C1 D 23同时具有性质：图象的相邻两条对称轴间的距离是 ；在 ， 上是增函数的一个函数为（ ）Ay=sin（ + ） By
2、=cos（2x + ） Cy=sin（ 2x ） Dy=cos（ ）4若向量 =（1， 2）， =（2，1）， =（4， 2），则下列说法中正确的个数是（ ） ；向量 与向量 的夹角为 90；对同一平面内的任意向量 ，都存在一对实数 k1，k 2，使得 =k1 +k2 A3 B2 C1 D05已知函数 f（x）= f（log 23）的值为（ ）A B C D6直线 l：y=k（x + ）与曲线 C：x 2y2=1（x0）相交于 P，Q 两点，则直线 l的倾斜角的取值范围是（ ）A（ ， ）（ ， ） B（ ， ） C（0， ）（ ，） D0 ， ）7执行如图所示的程序框图，若输入的 a，b 分
3、别为 36，28，则输出的 a=（ ）A4 B8 C12 D208某几何体的三视图如图所示，且其侧视图是一个等边三角形，则这个几何体的表面积为（ ）A B C +4+ D +8+9图所示的阴影部分由坐标轴、直线 x=1 及曲线 y=exlne 围成，现向矩形区域OABC 内随机投掷一点，则该点落在非阴影区域的概率是（ ）A B C1 D110设ABC 的三个内角 A，B ，C 所对的边分别为 a，b ，c，若（a+b+c）（b+ca）=3bc ，且 sinA=2sinBcosC，那么ABC 的外接圆面积与内切圆面积的比值为（ ）A4 B2 C D111已知 A 是抛物线 M：y 2=2px（p
4、 0）与圆 C 在第一象限的公共点，其中圆心 C（ 0，4），点 A 到 M 的焦点 F 的距离与 C 的半径相等，M 上一动点到其准线与到点 C 的距离之和的最小值等于 C 的直径，O 为坐标原点，则直线 OA 被圆 C 所截得的弦长为（ ）A2 B2 C D12已知函数 f（x ）= x2tcosx若其导函数 f（x）在 R 上单调递增，则实数 t的取值范围为（ ）A 1， B ， C 1，1 D1， 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13若（1 2x） 2017=a0+a1x+a2017x2017（xR ），则 + + 的值为 14已知等差数列a n满足： a
5、1+a5=4，则数列2 的前 5 项之积为 （用数字作答）15设实数 x，y 满足约束条件 若目标函数z=ax+by（a 0，b0）的最大值为 2，记 m 为 + 的最小值，则 y=sin（mx +）的最小正周期为 16已知三棱锥 OABC 中，A，B ，C 三点均在球心 O 的球面上，且AB=BC=1，ABC=120，若球 O 的体积为 ，则三棱锥 OABC 的体积是 三、解答题（共 70 分）17（12 分）已知函数 f（x ）= ，函数 y=f（x ） 在（0，+）上的零点按从小到大的顺序构成数列a n（n N*）（）求数列a n的通项公式；（）设 bn= ，求数列b n的前 n 项和
6、Sn18（12 分）拖延症总是表现在各种小事上，但日积月累，特别影响个人发展，某校的一个社会实践调查小组，在对该校学生进行“是否有明显拖延症”的调查中，随机发放了 110 份问卷对收回的 100 份有效问卷进行统计，得到如下22 列联表：有明显拖延症无明显拖延症合计男 35 25 60女 30 10 40总计 65 35 100（）按女生是否有明显拖延症进行分层，已经从 40 份女生问卷中抽取了 8 份问卷，现从这 8 份问卷中再随机抽取 3 份，并记其中无明显拖延症的问卷的份数为 X，试求随机变量 X 的分布列和数学期望；（2）若在犯错误的概率不超过 P 的前提下认为无明显拖延症与性别有关，
7、那么根据临界值表，最精确的 P 的值应为多少？请说明理由附：独立性检验统计量 K2= ，n=a+b+c+d P（K 2k 0） 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025k0 1.323 2.072 2.706 3.841 5.02419（12 分）如图，在多面体 ABCDE 中，DB平面 ABC，AE平面 ABC，且ABC 是的边长为 4 的等边三角形， AE=2，CD 与平面 ABDE 所成角的余弦值为，F 是线段 CD 上一点（）若 F 是线段 CD 的中点，证明：平面 CDE面 DBC；（）求二面角 BECD 的平面角的正弦值20（12 分）已知椭圆 C： + =1（ab 0）
8、的离心率为 ，P 是椭圆 C上任意一点，且点 P 到椭圆 C 的一个焦点的最大距离等于 +1（）求椭圆 C 的方程；（）若过点 M（2，0）的直线与椭圆 C 相交于不同两点 A，B ，设 N 为椭圆上一点，是否存在整数 t，使得 t = + （其中 O 为坐标原点）？若存在，试求整数 t 的所有取值；若不存在，请说明理由21（12 分）设函数 f（ x）=e xax2ex+b，其中 e 为自然对数的底数（）若曲线 f（x）在 y 轴上的截距为1，且在点 x=1 处的切线垂直于直线y= x，求实数 a，b 的值；（）记 f（x）的导函数为 g（x ），g （x ）在区间0，1上的最小值为 h（a
9、），求 h（a）的最大值选修 4-4：坐标系与参数方程22（10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系已知曲线 C 的极坐标方程 =2 sin（ + ）倾斜角为，且经过定点 P（0，1）的直线 l 与曲线 C 交于 M，N 两点（）写出直线 l 的参数方程的标准形式，并求曲线 C 的直角坐标方程；（）求 + 的值选修 4-5：不等式选讲23已知函数 f（x ）=|xa|+|x2|，x R（）若关于 x 的不等式 f（x）a 在 R 上有解，求实数 a 的最小值 M；（）在（）的条件下，已知正实数 m，n ，p 满足 m+2n+3p=M，求
10、+ +的最小值2017 年云南省曲靖一中等多校联考高考数学模拟试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1设 P、Q 是两个集合，定义集合 PQ=x|xP 且 xQ为 P、Q 的“差集”，已知 P=x|1 0，Q=x|x2|1，那么 PQ 等于（ ）Ax |0x1 Bx|0x1 Cx|1x 2 Dx|2x 3【考点】元素与集合关系的判断；绝对值不等式的解法【分析】首先分别对 P，Q 两个集合进行化简，然后按照 PQ=x|xP，且 xQ，求出 PQ 即可【解答】解：化简得：P= x|0x2而
11、Q=x|x2|1化简得：Q= x|1x3定义集合 PQ=x|xP，且 xQ，PQ=x|0x1故选 B【点评】本题考查元素与集合关系的判断，以及绝对值不等式的解法，考查对集合知识的熟练掌握，属于基础题2已知（a i） 2=2i，其中 i 是虚数单位，a 是实数，则|ai|=（ ）A2 B1 C1 D 2【考点】复数求模【分析】利用复数的运算法则、复数相等、模的计算公式即可得出【解答】解：（ai） 2=2i，其中 i 是虚数单位，a 是实数，a 212ai=2i，a 21=0，2a= 2，a=1 则|ai |=|i|=1故选：B【点评】本题考查了复数的运算法则、复数相等、模的计算公式，考查了推理能
12、力与计算能力，属于基础题3同时具有性质：图象的相邻两条对称轴间的距离是 ；在 ， 上是增函数的一个函数为（ ）Ay=sin（ + ） By=cos（2x + ） Cy=sin（ 2x ） Dy=cos（ ）【考点】三角函数的周期性及其求法【分析】由题意求出函数周期，可知满足条件的函数是选项 B 或 C，再由在， 上是增函数进一步判断只有 C 符合【解答】解：由图象的相邻两条对称轴间的距离是 ，可知 ，T=，选项B、C 满足由 x ， ，得 2x 0，函数 y=cos（2x+ ）为减函数，不合题意由 x ， ，得 2x ， ，函数 y=sin（2x ）为增函数，符合合题意故选：C【点评】本题考查
13、三角函数的周期性及其求法，考查 y=Asin（x+ ）型函数的图象和性质，是基础题4若向量 =（1， 2）， =（2，1）， =（4， 2），则下列说法中正确的个数是（ ） ；向量 与向量 的夹角为 90；对同一平面内的任意向量 ，都存在一对实数 k1，k 2，使得 =k1 +k2 A3 B2 C1 D0【考点】向量在几何中的应用【分析】运用向量垂直的条件：数量积为 0，计算即可判断；由向量共线定理，可得 ， 共线，由平面向量基本定理，即可判断【解答】解：向量 =（1，2）， =（2，1）， =（4，2），由 =12+（2）1=0，可得 ，故正确；由 =1（ 4）+（2） （2）=0，可得 ，
14、故正确；由 =2 可得 ， 共线，由平面向量基本定理，可得对同一平面内的任意向量 ，不都存在一对实数 k1，k 2，使得 =k1 +k2 故错误综上可得，正确的个数为 2故选：B【点评】本题考查向量的数量积的性质，主要是向量垂直的条件：数量积为0，考查平面向量基本定理的运用以及向量共线的坐标表示，考查运算能力，属于基础题5已知函数 f（x）= f（log 23）的值为（ ）A B C D【考点】分段函数的应用【分析】根据 log23 的范围循环代入分段函数的下段，当满足自变量的值大于等于 3 时代入 f（x）的解析式求值【解答】解：由 f（x）= ，log 233， f（log 23）=f（l
15、og 23+1）=f （log 26），由 log263， f（log 26）=f（log 26+1）=f （log 212），log 2123 ，f（log 23）=f（log 212）= = 故选：C【点评】本题考查了对数的运算性质，考查了分段函数的函数值的求法，关键是注意适用范围，是基础题6直线 l：y=k（x + ）与曲线 C：x 2y2=1（x0）相交于 P，Q 两点，则直线 l的倾斜角的取值范围是（ ）A（ ， ）（ ， ） B（ ， ） C（0， ）（ ，） D0 ， ）【考点】直线与双曲线的位置关系【分析】首先根据题意直线 l：y=k（x + ）与曲线 x2y2=1（x 0）相
16、交于A、B 两点，进一步判断直线的斜率和渐近线的斜率的关系求出结果【解答】解：曲线 x2y2=1（x0）的渐近线方程为：y=x直线 l： y=k（ x+ ）与相交于 A、B 两点所以：直线的斜率 k1 或 k1（ ， ）由于直线的斜率存在：倾斜角 a ，故直线 l 的倾斜角的取值范围是（ ， ）（ ， ）故选：A【点评】本题考查的知识要点：直线与双曲线的关系，直线的斜率和渐近线的斜率的关系7执行如图所示的程序框图，若输入的 a，b 分别为 36，28，则输出的 a=（ ）A4 B8 C12 D20【考点】程序框图【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的 a，b 的值，当a=4，b=4
17、时，不满足条件 ab ，退出循环，输出 a 的值【解答】解：第一次循环，a=36，b=28 ，ab，a=8；第二次循环，a=8，b=28，ab，b=20；第三次循环，a=8，b=20，ab，b=12；第四次循环，a=8，b=12，ab，b=4，第五次循环，a=8，b=4，ab ，a=4，第六次循环，a=4，b=4，a=b，不满足条件 ab，退出循环，输出 a=4，故选：A【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确依次写出每次循环得到的a， b 的值是解题的关键，属于基本知识的考查8某几何体的三视图如图所示，且其侧视图是一个等边三角形，则这个几何体的表面积为（ ）A B C +4+ D +8
18、+【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积【分析】由已知的三视图可得：该几何体是一个半圆锥与一个四棱锥组合而成的几何体，进而可得答案【解答】解：由已知的三视图可得：该几何体是一个半圆锥与一个四棱锥组合而成的几何体，其表面积由半圆锥的曲面，底面及四棱锥的底面，前，后，右侧面组成，其侧视图是一个等边三角形，半圆锥的底面半径为 1，高为 ，故圆锥的母线长为： 2，故半圆锥的底面面积为： ，曲侧面面积为：，四棱锥的底面面积为：4，前后侧面均为腰长为 2 的等腰直角三角形，面积均为：2，右侧面是腰为 2 ，底为 2 的等腰三角形，面积为： ，故组合体的表面积为： +8+ ，故选：D【点评】本
19、题考查的知识点是棱锥的体积和表面积，圆锥的体积和表面积，简单几何体的三视图，难度中档9图所示的阴影部分由坐标轴、直线 x=1 及曲线 y=exlne 围成，现向矩形区域OABC 内随机投掷一点，则该点落在非阴影区域的概率是（ ）A B C1 D1【考点】定积分；几何概型【分析】求出阴影部分的面积，以面积为测度，即可得出结论【解答】解：由题意，阴影部分的面积为 （e x1）dx=（e xx）| =e2，矩形区域 OABC 的面积为 e1，该点落在阴影部分的概率是 =1 故选 D【点评】本题考查概率的计算，考查定积分知识的运用，属于中档题10设ABC 的三个内角 A，B ，C 所对的边分别为 a，
20、b ，c，若（a+b+c）（b+ca）=3bc ，且 sinA=2sinBcosC，那么ABC 的外接圆面积与内切圆面积的比值为（ ）A4 B2 C D1【考点】余弦定理【分析】（a+b+c）（b+c a）=3bc ，（b +c） 2a2=3bc，化为：b 2+c2a2=bc再利用余弦定理可得 A= sinA=2sinBcosC，利用正弦定理与余弦定理可得：b=c因此 ABC 是等边三角形即可得出【解答】解：（a+b+c）（b +ca）=3bc ，（b +c） 2a2=3bc，化为：b2+c2a2=bccosA= = ，A（0，）， A= sinA=2sinBcosC，a=2b ，化为：b=c
21、ABC 是等边三角形那么ABC 的外接圆面积与内切圆面积的比值= =4故选：A【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、等边三角形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题11已知 A 是抛物线 M：y 2=2px（p 0）与圆 C 在第一象限的公共点，其中圆心 C（ 0，4），点 A 到 M 的焦点 F 的距离与 C 的半径相等，M 上一动点到其准线与到点 C 的距离之和的最小值等于 C 的直径，O 为坐标原点，则直线 OA 被圆 C 所截得的弦长为（ ）A2 B2 C D【考点】直线与抛物线的位置关系【分析】求得圆的圆心和半径，运用抛物线的定义可得 A，C，F 三点共线时取得最小值，且有 A
22、为 CF 的中点，设出 A，C，F 的坐标，代入抛物线的方程可得 p，由抛物线的定义可得 a，求得 C 到直线 OA 的距离，运用圆的弦长公式计算即可得到所求值【解答】解：圆 C：x2+（y 4）2=a2 的圆心 C（0，4），半径为 a，则|AC|+|AF|=2a，由抛物线 M 上一动点到其准线与到点 C 的距离之和的最小值为 2a，由抛物线的定义可得动点到焦点与到点 C 的距离之和的最小值为 2a，可得 A，C，F 三点共线时取得最小值，且有 A 为 CF 的中点，由 C（ 0，4），F（ ，0），可得 A（ ，2 ），代入抛物线的方程可得，4=2p ，解得 p=2 ，即有 a= + =
23、，A（ ，2 ），可得 C 到直线 OA：y=2 x 的距离为 d= = ，可得直线 OA 被圆 C 所截得的弦长为 2 = ，直线 OA 被圆 C 所截得的弦长为 ，故选 D【点评】本题考查圆的弦长的求法，注意运用抛物线的定义和三点共线和最小，同时考查弦长公式和点到直线的距离公式的运用，属于中档题12已知函数 f（x ）= x2tcosx若其导函数 f（x）在 R 上单调递增，则实数 t的取值范围为（ ）A 1， B ， C 1，1 D1， 【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】求导数 f（x ）=x+tsinx，并设 g（x）=f（ x），并求出 g（x）=1+tcosx，由 f（x）在
24、 R 上单调递增即可得出 tcosx1 恒成立，这样即可求出t 的取值范围【解答】解：f（x ）=x +tsinx，设 g（x）=f（x ）；f（x）在 R 上单调递增；g（x）=1+tcosx 0 恒成立；tcosx1 恒成立；cosx1，1； ；1 t1 ；实数 t 的取值范围为 1，1故选：C【点评】考查基本初等函数的求导公式，函数的单调性和函数导数符号的关系二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13若（1 2x） 2017=a0+a1x+a2017x2017（xR ），则 + + 的值为 1 【考点】二项式定理的应用【分析】由（12x） 2017=a0+a1x+
25、a2017x2017（xR ），令 x=0，可得 1=a0令x= ，可得 0=1+ + + ，即可得出【解答】解：由（12x） 2017=a0+a1x+a2017x2017（xR），令 x=0，可得 1=a0令 x= ，可得 0=1+ + + ， + + =1，故答案为：1【点评】本题考查了二项式定理的应用、方程的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题14已知等差数列a n满足： a1+a5=4，则数列2 的前 5 项之积为 1024 （用数字作答）【考点】数列的求和【分析】根据等差数列的性质可得 a1+a5=a2+a4=2a3=4，即可求出前 5 项和，再根据指数幂的运算性质即可求出答案
26、【解答】解：等差数列a n满足：a 1+a5=4，a 1+a5=a2+a4=2a3=4，a 1+a5+a2+a4+a3=4+4+2=10，数列2 的前 5 项之积为 2 =210=1024，故答案为：1024【点评】本题考查了等差数列的性质和指数幂的运算性质，属于中档题15设实数 x，y 满足约束条件 若目标函数z=ax+by（a 0，b0）的最大值为 2，记 m 为 + 的最小值，则 y=sin（mx +）的最小正周期为 【考点】简单线性规划【分析】首先根据线性规划问题和基本不等式求出函数的最值，再利用正弦型函数的最小正周期，求出结果【解答】解：设 x、y 的线性约束条件 ，如图所示：解得
27、A（1，1）目标函数 z=ax+by（a0，b0）的最大值为 2，即：a +b=2，所以： + = 2 ，则 y=sin（2x+ ）的最小正周期为 ，故答案为：【点评】本题考查的知识要点：线性规划问题，基本不等式的应用，正弦型函数的最小正周期，属于基础题型16已知三棱锥 OABC 中，A，B ，C 三点均在球心 O 的球面上，且AB=BC=1，ABC=120，若球 O 的体积为 ，则三棱锥 OABC 的体积是 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；球内接多面体【分析】由已知条件可求出 AC，求出ABC 的面积，设球半径为 R，由球的体积可解得 R，再设ABC 的外接圆的圆心为 G，进一步求出 OG，
28、则三棱锥OABC 的体积可求【解答】解：三棱锥 OABC 中，A，B ，C 三点均在球心 O 的球面上，且AB=BC=1，ABC=120，则 AC= ， ，设球半径为 R，由球的体积 ，解得 R=4设ABC 的外接圆的圆心为 G，外接圆的半径为 GA= ，OG= 三棱锥 OABC 的体积是 = 故答案为： 【点评】本题考查球的有关计算问题，考查棱锥的体积，考查学生空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题三、解答题（共 70 分）17（12 分）（2017曲靖模拟）已知函数 f（x）= ，函数y=f（x） 在（0 ，+）上的零点按从小到大的顺序构成数列a n（nN* ）（）求数列a n的通项公式；（
29、）设 bn= ，求数列b n的前 n 项和 Sn【考点】数列的求和；数列递推式【分析】（1）根据二倍角公式先化简得到 f（x ） =tanx，再根据函数零点定理可得 x= +k，kZ，即可得到数列的通项公式，（）化简 bn= （ ），再裂项求和即可【解答】解：（）f（x ）= = =tanx，y=f（x） =0，tanx= ，x= +k， kZ，函数 y=f（x） 在（0，+）上的零点按从小到大的顺序构成数列a n，a n= +（n1），（）b n= = = = （ ），数列b n的前 n 项和 Sn= （1 + + ）= （1 ）=【点评】本题考查了三角函数的化简和函数零点定理以及数列的通项
30、公式和裂项法求前 n 项和，属于中档题18（12 分）（2017曲靖模拟）拖延症总是表现在各种小事上，但日积月累，特别影响个人发展，某校的一个社会实践调查小组，在对该校学生进行“是否有明显拖延症” 的调查中，随机发放了 110 份问卷对收回的 100 份有效问卷进行统计，得到如下 22 列联表：有明显拖延症无明显拖延症合计男 35 25 60女 30 10 40总计 65 35 100（）按女生是否有明显拖延症进行分层，已经从 40 份女生问卷中抽取了 8 份问卷，现从这 8 份问卷中再随机抽取 3 份，并记其中无明显拖延症的问卷的份数为 X，试求随机变量 X 的分布列和数学期望；（2）若在犯
31、错误的概率不超过 P 的前提下认为无明显拖延症与性别有关，那么根据临界值表，最精确的 P 的值应为多少？请说明理由附：独立性检验统计量 K2= ，n=a+b+c+d P（K 2k 0） 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025k0 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024【考点】离散型随机变量的期望与方差；独立性检验【分析】（1）分层从 40 份女生问卷中抽取了 8 份问卷，有明显拖延症 6 人，“无明显拖延症 2 人，若从这 8 份问卷中随机抽取 3 份，随机变量X=0，1，2利用 “超几何分布”即可得出分布列及其数学期望；（2）根据“独立性检验的基本思想的应用”
32、计算公式可得 K2 的观测值 k，即可得出【解答】解：（1）从 40 份女生问卷中抽取了 8 份问卷，有明显拖延症 6 人，“无明显拖延症 2 人（2 分）则随机变量 X=0，1，2 ， （3 分）P（X=0）= = ；P （X=1）= = ，P（X=2）= = （6 分）分布列为X 0 1 2P（7 分）E（ X） =0 +1 +2 = （8 分）（2）K 2= 2.930 （10 分）由表可知 2.7062.933.840；P=0.10 （12 分）【点评】本题考查了组合数的计算公式、古典概率计算公式、“超几何分布”分布列及其数学期望公式、“独立性检验的基本思想的应用”计算公式，考查了推理
33、能力与计算能力，属于中档题19（12 分）（2017曲靖模拟）如图，在多面体 ABCDE 中，DB平面ABC，AE平面 ABC，且ABC 是的边长为 4 的等边三角形，AE=2，CD 与平面ABDE 所成角的余弦值为 ，F 是线段 CD 上一点（）若 F 是线段 CD 的中点，证明：平面 CDE面 DBC；（）求二面角 BECD 的平面角的正弦值【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定【分析】（）取 AB 中点 O，连结 OC，OD，取 ED 的中点为 M，以 O 为原点，OC 为 x 轴，OB 为 y 轴，OM 为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明平面 CDE平面 DB
34、C（）求出平面 DEC 的一个法向量和平面 BCE 的一个法向量，利用向量法能求出二面角 BECD 的平面角的正弦值【解答】证明：（）取 AB 中点 O，连结 OC，OD ，DB平面 ABC，DB 平面 ABDE，平面 ABDE平面 ABC，ABC 是等边三角形，OCAB ，又 OC平面 ABC，平面 ABDE平面 ABC=AB，OC平面 ABD，OD 是 CD 在平面 ABDE 上的射影，CDO 是 CD 与平面 ABDE 所成角，CD 与平面 ABDE 所成角的余弦值为 ，CD 与平面 ABDE 所成角的正弦值为 ，sin ，OC=2 ， CD=4 ，BD=4，取 ED 的中点为 M，以
35、O 为原点，OC 为 x 轴，OB 为 y 轴，OM 为 z 轴，建立空间直角坐标系，则 A（0， 2，0），B （0，2，0），C（2 ，0，0），D（0，2，4），E（ 0， 2，2），F（ ， 1，2）， =（ ）， =（2 ， 2，0 ）， =（ 0，0，4）， ， ，EF BC，EFBD，DB，BC平面 DBC，且 DBBC=B ，EF平面 DBC，又 EF平面 BDF，平面 CDE平面 DBC解：（）由（）知，当 F 是线段 CD 的中点时，得 BF平面 DEC，又 =（ ），则可取平面 DEC 的一个法向量 = =（ ），设平面 BCE 的一个法向量 =（x ，y，z ），=（2
36、 ，2，0）， =（2 ，2， 2），则 ，取 x=1，得 =（1， ），则 cos = = = ，sin = ，二面角 BECD 的平面角的正弦值为 【点评】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的正弦值的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查等价转化思想、数形结合思想，是中档题20（12 分）（2017曲靖模拟）已知椭圆 C： + =1（ab0）的离心率为 ，P 是椭圆 C 上任意一点，且点 P 到椭圆 C 的一个焦点的最大距离等于+1（）求椭圆 C 的方程；（）若过点 M（2，0）的直线与椭圆 C 相交于不同两点 A，B ，设 N 为椭圆上一点，是否存在整数 t，使得 t
37、= + （其中 O 为坐标原点）？若存在，试求整数 t 的所有取值；若不存在，请说明理由【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的定义【分析】（）由离心率为 ，可得 a2=2b2，代入点（ 0，1），可求解 a，b的值，则椭圆方程可求；（）设出直线方程，和椭圆联立后化为关于 x 的一元二次方程，由判别式大于 0 求出 k 的范围，利用根与系数关系得到 A，B 两点的横坐标的和与积，代入t = + 后得到 P 点的坐标，把 P 点坐标代入椭圆方程后得到 t 与 k 的关系，由 k 的范围确定 t 的范围，可得结论【解答】解：（）由题知离心率为 ，所以 a2=2b2又因为点 P 到椭圆 C 的一个焦
38、点的最大距离等于 +1，所以 a+c= +1，所以 b2=1，a 2=2故 C 的方程为 =1（3 分）（）由题意知直线直线 AB 的斜率存在设 AB 方程为 y=k（x2），A（x 1，y 1），B（x 2，y 2），P （x ，y ），由 y=k（x 2）代入 =1，得（1+2k 2）x 28k2x+8k22=0=64k 24（2k 2+1）（8k 22）0，k 2 x1+x2= ，x 1x2= ，t = + ，（x 1+x2，y 1+y2）=t（x，y ）x= ，y= （8 分）点 N 在椭圆上， 2+2 =2，16k 2=t2（1+2k 2），t 2= 4，2 t2 整数 t 值为 1
39、，0，1（12 分）【点评】本题考查了椭圆的简单几何性质，考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了平面向量的坐标运算，训练了利用代入法求解变量的取值范围属中档题21（12 分）（2017曲靖模拟）设函数 f（x）=e xax2ex+b，其中 e 为自然对数的底数（）若曲线 f（x）在 y 轴上的截距为1，且在点 x=1 处的切线垂直于直线y= x，求实数 a，b 的值；（）记 f（x）的导函数为 g（x ），g （x ）在区间0，1上的最小值为 h（a），求 h（a）的最大值【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（）将（0，1），代入 f（x），即可求得 b 的
40、值，求导，由 f（1）=2，即可求得 a 的值；（）求导，g（x ）=e x2a，分类分别取得 g（x）在区间0，1上的最小值h（a ）解析式，根据函数的单调性即可求得 h（a）的最大值【解答】解：（）曲线 f（x ）在 y 轴上的截距为 1，则过点（0，1），代入f（x）=e xax2ex+b，则 1+b=1，则 b=2，求导 f（x ）=e x2axe，由 f（1）= 2，即 e2ae=2，则 a=1，实数 a，b 的值分别为 1， 2；（）f（x ）=e xax2ex+b，g（x）=f （x）=e x2axe，g（x）=e x2a，（1）当 a 时，x 0，1，1e xe，2ae x 恒
41、成立，即 g（x）=e x2a0，g （x）在0，1上单调递增，g （x）g （0）=1 e（2）当 a 时，x 0，1，1e xe，2ae x 恒成立，即 g（x）=e x2a0，g （x）在0，1上单调递减，g （x）g （1）= 2a（3）当 a 时，g（ x）=e x2a=0，得 x=ln（2a ），g（ x）在0 ，ln2a上单调递减，在 ln2a，1上单调递增，所以 g（x ）g （ln2a ）=2a 2aln2ae，h（a）= ，当 a 时，h（a）=1 e，当 a 时， h（a ）=2a 2aln2ae，求导，h（a）=22ln2a 2=2ln2a，由 a 时， h（a）0，h
42、（a）单调递减，h（a） （1 e， e，当 a 时，h（a）=2a，单调递减， h（a）（，e），h（a ）的最大值 1e【点评】本题考查导数的综合应用，考查导数与函数单调性的关系，函数的最值的求法，考查计算能力，属于中档题选修 4-4：坐标系与参数方程22（10 分）（2017曲靖模拟）在平面直角坐标系 xOy 中，以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系已知曲线 C 的极坐标方程=2 sin（+ ）倾斜角为 ，且经过定点 P（0，1）的直线 l 与曲线 C 交于 M， N 两点（）写出直线 l 的参数方程的标准形式，并求曲线 C 的直角坐标方程；（）求 + 的值【考点】简
43、单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程【分析】（I）由倾斜角为 ，且经过定点 P（0，1）的直线 l 的参数方程为：曲线 C 的极坐标方程 =2 sin（+ ），展开： 2=2 （sin+cos），利用互化公式可得直角坐标方程（II）把直线 l 的参数方程 代入圆 C 的方程为：t 2t1=0，可得 += + = = 即可得出【解答】解：（I）由倾斜角为 ，且经过定点 P（0，1）的直线 l 的参数方程为： ，化为： 曲线 C 的极坐标方程 =2 sin（+ ），展开： 2=2 （sin+cos ），可得直角坐标方程：x 2+y2=2x+2y（II）把直线 l 的参数方程 代入圆 C 的方程
44、为：t 2t1=0，t1+t2=1，t 1t2=1 + = + = = = = 【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、直线与圆相交弦长问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题选修 4-5：不等式选讲23（2017曲靖模拟）已知函数 f（x）= |xa|+|x2|，xR（）若关于 x 的不等式 f（x）a 在 R 上有解，求实数 a 的最小值 M；（）在（）的条件下，已知正实数 m，n ，p 满足 m+2n+3p=M，求 + +的最小值【考点】柯西不等式在函数极值中的应用；绝对值不等式的解法【分析】（）关于 x 的不等式 f（x）a 在 R 上有解，求出 f（x）的最小值，即可求实数 a 的最小值 M；（）利用柯西不等式，即可求 + + 的最小值【解答】解：（）f（x ）=|xa|+|x2|a 2|，关于 x 的不等式 f（x）a 在 R 上有解，|a 2|a， a 1，实数 a 的最小值 M=1；（）m+2n+3p=1， + + =（ + + ）（m +2n+3p）（ +2+ ） 2=16+8， + + 的最小值为 16+8 【点评】本题考查绝对值不等式的运用，考查柯西不等式在最值中的应用，考查计算能力
