1、心理与教育统计学,第二章 集中趋势的度量,本章要点：1. 众数；2. 中数；3. 算术平均数；4. 其它集中量数（加权平均数、几何平均数等）,什么是集中量数（Measures of Central Tendency）？Descriptive statistics that summarize data by describing the most typical or representative value in the data set, including mode, median and mean.通过描述数据集中最典型最有代表性的值的方式来总结数据的统计量数。,描述数据集中趋势的统计
2、量数称为集中量数，集中量数包括众数、中数和算术平均数等。这些量数反映数据向某个方向集中的趋势。,什么是众数（Mode）？A measure of central tendency that represents the most frequently occurring score in a data set.集中量数的一种，数据集最常出现的（出现次数最多）的分数。,众数又称范数，是指次数分布中出现次数最多的那个数的数值。众数的符号：,什么是众数（Mode）？A measure of central tendency that represents the most frequently oc
3、curring score in a data set.,众数有理论众数和粗略众数两种定义方法。 粗略众数是指一组数据（或次数分布）中次数出现最多的那个数的数值。 理论众数是指与次数分布曲线最高点相对应的横坐标上的一点。,众数的计算方法用观察法直接寻找粗略众数 在一组原始数据中，次数出现最多的那个数值就是众数；在次数分布表中，次数最多一组的组中值就是粗略众数。,众数的计算方法用经验公式求理论众数的近似值 皮尔逊经验法（适合正态分布） 金氏插补法（适合偏态分布）,为含众数这一区间的精确下限； 为组距；为高于众数所在组一个组距那一分组区间的次数；为低于众数所在组一个组距那一分组区间的次数；,表2-
4、1 某班一次数学测验成绩的频数分布表,注： 本数据纯属虚构，如有雷同，定是巧合,53，53，61，61，63，65，67，67，69，69，69，70，70，71，74，75，75，76，77 ，78，79，80，81，81，81，81，82，84，85，86，87，87，87，88，89，90，91，91，94，95,众数的优缺点众数虽然简明易懂，较少受两极端数值的影响，但它并不具备一个良好集中量数的基本条件。如极不准确、稳定，反应不灵敏，不适合代数运算，受抽样的影响较大等。在一般情况下，众数应用也不广泛，但在一些特殊情况下也常有应用。,众数适用的情况当需要快速而粗略地寻求一组数据的代表值时
5、；当一组数据出现不同质的情况时；当次数分布中有两极端的数目时；当粗略估计次数分布的形态时。,学校要召开运动会，决定从高一年级8个班中抽调40名男生组成一个整齐的彩旗方阵队，如果从高一（1）班的体检表中任意抽出10份男生表格，得到10个男同学的身高（单位：米）如下：1.63 1.60 1.68 1.66 1.66 1.63 1.75 1.66 1.58 1.65 请根据这10个身高值提供的信息确定参加方队学生的最佳身高值应取多少？并说明理由。,思考题：,参加方队学生的最佳身高值应取1.66。这是因为从这10个身高值可以看出，1.66出现的次数最多，是这组数的众数，既然这10个男生中有3个身高为1
6、.66米，而一个班远不止10个男生，那么8个班的男生中应该能选出40名这种身高的人。,答：,什么是中数（Median）？A measure of central tendency that represents the midpoint of the distribution of scores. One-half the scores fall above and one-half below this point.也是集中量数的一种，代表数据分布的中点。这个点以下和以上均有一半的数据。,中数又称中位数，是指位于一组数据数列中间位置的那个数。它的符号记为 。,什么是中数（Median）？A
7、measure of central tendency that represents the midpoint of the distribution of scores. One-half the scores fall above and one-half below this point.也是集中量数的一种，代表数据分布的中点。这个点以下和以上均有一半的数据。,中数可以是某个原始数据，也可以是一个计算值 。它应该是将一组按大小顺序排列的数据平均分为大小相等两部分的那个数。,中数的计算方法数据中无重复数值的情况指一组数据中没有相同的数，这时取处于序列中间位置的那个数为中数。如果数据个数为
8、奇数，则中数为 位置的那个数；如果数据个数为偶数，则中数为居于中间位置两个数的平均数，即第 与第 位置的两个数据的平均数。,中数的计算方法数据中有重复数值的情况指一组数据中有相同数值的数据，这时计算中数的方法基本与无重复数值的单列数据相同。但根据重复数值数据在该组数据中所处的位置又细分为以下两种情况： 当重复数值没有位于数列中间时，求中数的方法与无重复数据时求中数的方法相同。 当重复数目位于数列中间时，需要假设位于中间的几个重复数目为连续数目，取序列中上下各 那一点上的数值为中数。,中数的计算方法分组数据将原始数据整理成次数分布表后，求中数的原理同重复数目求中数是一样的，也是取序列中将N平分为
9、两半的那一点的值作为中数。或式中 为中数所在分组区间的精确下限， 为中数所在分组区间的精确上限， 为该组以下各组的累加次数， 为该组以上各组的累加次数， 为该组的次数。,表2-1 某班一次数学测验成绩的频数分布表,注： 本数据纯属虚构，如有雷同，定是巧合,53，53，61，61，63，65，67，67，69，69，69，70，70，71，74，75，75，76，77 ，78，79，80，81，81，81，81，82，84，85，86，87，87，87，88，89，90，91，91，94，95,中数的优缺点中数虽然也具备一个良好集中量数所应具备的一些条件，如计算简单，严密确定，简明易懂；但与算术
10、平均数相比是相形见绌的，如反应不够灵敏，受抽样的影响较大，不适合代数运算等。因此，在一般情况下，中数不被普遍应用，但在一些特殊情况下，它的应用受到重视。,中数适用的情况当一组观测结果中出现极端数目时；当次数分布的两端数据或个别数据不清楚时；当需要快速估计一组数据的代表值时。,由于这19名大学生的月消费中存在极端数据，算术平均数不能很好地反映他们的平均月消费，应求中数：答：这些大学生的平均月消费是239元。,一项研究调查了19名大学生，他们的月消费（单位：人民币元）如下：220，227，230，231，232，232，235，236，237，239，240，245，246，249，253，258
11、，260，510，600 现欲了解他们的平均月消费？,思考题：,解：,什么是算术平均数（Mean）？A measure of central tendency that is the sum of all the values in the data set divided by N.也是集中量数的一种，用所有数据之和除以N就得到算术平均数。,算术平均数是所有观察值的总和除以总频数所得之商。 统计学中常常区分样本平均数（ ）和总体平均数（ ）。,算术平均数的计算方法原始数据的计算方法,算术平均数的计算方法分组数据的计算方法,表示对次数分布表计算的算术平均数；表示各组的组中值；表示各组对应的次数
12、；表示总次数。,表2-1 某班一次数学测验成绩的频数分布表,注： 本数据纯属虚构，如有雷同，定是巧合,53，53，61，61，63，65，67，67，69，69，69，70，70，71，74，75，75，76，77 ，78，79，80，81，81，81，81，82，84，85，86，87，87，87，88，89，90，91，91，94，95,算数平均数的性质在一组数据中每个变量与平均数之差的总和等于0，即：在一组数据中，每一个数都加上一常数C，则所得的平均数为原来的平均数加常数C，即：在一组数据中，每一个数都乘以一常数C，则所得的平均数为原来的平均数乘以常数C，即：,算数平均数的性质一列数据中
13、每个数乘以一个常数C，再加上一常数d，其平均数等于原平均数乘以常数C再加上常数d。 一组数据中每个数与任意常数c的差的平方和，不小于该组数据中每个数与平均数的差的平方和。,算术平均数的优缺点优点：算术平均数是一个良好的集中量数，具有反应灵敏、计算严密、简明易解、计算简单、适合进一步演算和较小受抽样变化的影响等。缺点：算术平均数易受极端数据的影响，这是因为平均数反应灵敏，每个数据的或大或小的变化都会影响到最终结果；出现模糊不清的数据时，无法计算平均数。注意：不同质的数据不能计算平均数（同质数据是指使用同一观测手段，采用相同的观测标准，能反映某一问题同一方面特质的数据），因为不同质的数据观测手段、
14、测量标准不一致。,算术平均数、众数和中数的关系当次数分布呈正态时：当次数分布呈正偏态时： 且 当次数分布呈负偏态时：且,加权平均数加权平均数是不同比重数据（或平均数）的平均数，用 表示。 当测量所得的数据，其单位权重并不相等时，要用加权平均数来求平均数。计算方法为：,例3某年级5个班的语文考试成绩如下，求该年级语文平均成绩。,解：,几何平均数几何平均数是N个数值连乘积的N次方根，用 表示。其计算方法为:,几何平均数几何平均数是N个数值连乘积的N次方根，用 表示。 在两种情况下适合使用几何平局数： 当一组数据中有少数数据偏大或偏小，数据的分布呈偏态时，要用几何平均数作为集中趋势的代表 当一组数据
15、几乎是按一定的比例关系变化时，要用几何平均数计算平均比率。,例如：2、6、18这三个数的几何平均数为_?,注：如果数据的个数较多，求几何平均数时就需开高次方，通常需借助计算器来完成。,1. 请找出下面几组数据中的众数、中数和算术平均数： A: 10, 8, 6, 0, 8, 3, 2, 5, 8, 0; B: 1, 3, 3, 5, 5, 5, 7, 7, 9; C: 119, 5, 4, 4, 4, 3, 1, 0;,2. 上面三组数据中的哪一组不适合用算术平均数来作为集中量数，为什么？,3. 上面三组数据中的哪一组不适合用算术平均数来作为集中量数，为什么？,4. 对于下列实验数据：1，100，11，9，5，6，9，9，7，11，9，描述其集中趋势用_最为适宜，其值是_。,5. 已知50个数据Xi（i=1，2，50）的平均数为100。若Yi=Xi+10，则Yi的平均数为_；若Zi=10Xi，则Zi的平均数等于_。,6. 现有一列数据:4、4、5、3、5、5、2，这列数据的平均数、众数和全距依次是( ) A. 4, 4, 2 B. 4, 5, 3 C. 5, 4, 4 D. 5, 5, 1,
