1、1惠州市 2018 届高三第一次调研考试数学（理科）注意事项：1答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上。2作答选择题时，选出每个小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效。3非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效。4考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.（1）已知集合 |12Mx， |2xNy，则 MN（ ）A (0
2、,2B (,) C 0,D ,)（2）已知 a是实数， i是虚数单位，若 1ai是纯虚数，则 a=（ ）A. 1 B. 1 C. 2 D. 2（3）从 0，1，2，3，4 中任选两个不同的数字组成一个两位数，其中偶数的个数是（ ）A6 B8 C10 D12（4）已知定义域为 R的偶函数 ()fx在 ,0上是减函数，且 (1)2f，则不等式 2(log)fx的解集为（ ）A , B.1(0,2,) C. 2(0,)(,) D. (2,)（5）点 yxP,为不等式组 01283yx所表示的平面区域内的动点，则 的最小值为（ ）A 21 B C 3 D 31（6）设命题 p：若定义域为 R的函数 (
3、)fx不是偶函数，则 xR， ()fxf命题 q： ()|fx在 (,0)上是减函数,在 0,)上是增函数2DCBA主主zyox则下列判断错误的是（ ） A p为假 B q为真 C p q为真 D. p q为假 （7）已知函数 ()3cos()(0fxx和 ()2sin()1gx的图象的对称轴完全相同，若 0,，则 f的取值范围是（ ）A.3, B.,32 C. 3,2 D. 3,2（8）一个四面体的顶点在空间直角坐标系 Oxyz中的坐标分别是 (0)1,）(0,)1(,0)2，绘制该四面体三视图时, 正视图的方向如下图所示，则得到左视图可以为（ ）（9）三国时代吴国数学家赵爽所注周髀算经中给
4、出了勾股定理的绝妙证明下面是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱）色及黄色，其面积称为朱实、黄实，利用 2勾 股 2勾股 4朱实 黄实 弦实，化简得：勾 2股弦 设勾股形中勾股比为 3:1，若向弦图内随机抛掷 1000 颗图钉（大小忽略不计） ，则落在黄色图形内的图钉数大约为（ ）732.1A866 B500 C300 D134（10）已知函数 xfy的定义域为 R，且满足下列三个条件：对任意的 84,21，当 21时，都有 021xff恒成立； xfxf； 4xfy是偶函数；若 201716fcba， ，则
5、 cba,的大小关系正确的是（ ）A. c B. a C. D. abc（11）已知三棱锥 SABC， 是直角三角形，其斜边 8,ABSC平面 ,AB 6SC，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）朱朱朱朱黄3A 64 B 68 C 72 D 10（12）已知 12,F分别是双曲线21(,)yxab的两个焦点，过其中一个焦点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点 M，若点 M 在以线段 12F为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是（ ）A(1, 2) B(2, +) C (1,2) D (,)二填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分。（13）执行如图所示的程序框图，则输出 S 的
6、结果为 （14）二项式 62()x展开式中的常数项是 （15）已 知 正 方 形 ABCD的 中 心 为 O且 其 边 长 为 1，则 O （16）已知 a， b， c是 的三边，4， )6(， sin2i，则边 c的取值范围是 .三解答题：共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分。（17）（本小题满分 12 分）在公差不为 0 的等差数列 na中， 148,a成等比数列（1）已知数列 n的前 10 项和为 45，求数列 n的通项公式；（2）若 1nba，且数列
7、nb的前 项和为 nT，若 19n，求数列 n的公差（18） （本小题满分 12 分）已知圆柱 1O底面半径为 1，高为 ，ABCD 是圆柱的一个轴截面，动点 M 从点 B 出发沿着圆柱的侧面到达点 D，其距离最短时在侧面留下的曲线 l如图所示将轴截面 ABCD 绕着轴 1逆时针旋转 (0)后，边 1BC与曲线 相交于点 P（1）求曲线 l长度；开 始0,1Si6?2iSiS输 出结 束是 否ABCD1111OOP4（2）当 2时，求点 1C到平面 APB 的距离（19） （本小题满分 12 分）近年来随着我国在教育科研上的投入不断加大，科学技术得到迅猛发展，国内企业的国际竞争力得到大幅提升。
8、伴随着国内市场增速放缓，国内有实力企业纷纷进行海外布局，第二轮企业出海潮到来。例如在智能手机行业，国产品牌已在赶超国外巨头，某品牌手机公司一直默默拓展海外市场，在海外共设 30多个分支机构，需要国内公司外派大量 70后、80后中青年员工。该企业为了解这两个年龄层员工是否愿意被外派工作的态度，按分层抽样的方式从 7后和 80后的员工中随机调查了 1位，得到数据如下表：愿意被外派 不愿意被外派 合计后 224后 4060合计 6041（1）根据调查的数据，是否有 9%以上的把握认为“是否愿意被外派与年龄有关”，并说明理由；（2）该公司举行参观驻海外分支机构的交流体验活动，拟安排 名参与调查的 7后
9、、80后员工参加。 7后员工中有愿意被外派的 3人和不愿意被外派的 3人报名参加，从中随机选出 3人，记选到愿意被外派的人数为 x； 80后员工中有愿意被外派的 4人和不愿意被外派的 人报名参加，从中随机选出 人，记选到愿意被外派的人数为 y，求 x的概率参考数据： 2()PKk0.15.0.5.20.1.5726384163789参考公式： 2()(nadbc，其中 nabcd.（20） （本小题满分 12 分）如图，椭圆2:1(0)xyCab的右顶点为 (2,0)A，左、右焦点分别为 1F、 2，过点 A且斜率为 的直线与 轴交于点 P，与椭圆交于另一个点 B，且点 在 x轴上的射影恰好为
10、点 1F（1）求椭圆 C的标准方程；（2）过点 P且斜率大于 12的直线与椭圆交于 ,MN两点（|MN） ，若 :PAMBNS，求实数 的取值范围12BxyNPAOM56（21） （本小题满分 12 分）已知函数 xaxfln2)(（其中 a 是实数） （1）求 的单调区间；（2）若 30)1(ae，且 )(xf有两个极值点 1x2,()，求 21xff的取值范围 （其中 e 为自然对数的底数） （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。答题时请写清题号并将相应信息点涂黑。（22）（本题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程
11、在直角坐标系 xOy中，曲线 1C的参数方程为 tyx5423（ 为参数） 以坐标原点为极点，以 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2C的极坐标方程为 costan（1）求曲线 1C的普通方程和曲线 2的直角坐标方程；（2）若 与 2交于 AB,两点，点 P的极坐标为 2,4，求 1|PAB的值（23）（本题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲已知函数 ()21,()fxxgxa（1）解不等式 9f；（2） 12,xR，使得 12()fxg，求实数 a的取值范围7数学（理科）参考答案一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1
12、0 11 12答案 A A C B D C D B D B D A1【解析】依题意得 1,M， (0,)N(0,2MN2【解析】设 i= (0)1ab，则 i=ii ab，所以 ,1ab 解得 =1, 选择 A3【解析】由题意，末尾是 0，2，4，末尾是 0 时，有 4 个；末尾是 2 时，有 3 个；末尾是4 时，有 3 个，所以共有 4+3+3=10 个，故选 C4【解析】 ()fx是 R的偶函数，在 (,上是减函数，所以 ()fx在 0,)上是增函数，所以 2log(1)f2|log|)(1fxf2|log|12log或或 0. 答案 B. 5【解析】如图所示，不等式组 01283yx所
13、表示的平面区域为图中阴影部分由 yx 可得 13yx，故 1,3A 的几何意义为直线 OP的斜率，故当点 P与点 A重合时直线 OP的斜率的最小，此时 31k6【解析】函数 ()fx不是偶函数， 仍然可 ,(-)xffx使 ， p 为假； ()|f20)(在 R上都是增函数， q 为假； 以 pq 为假，选C 7【解析】因为函数 f(x)和 g(x)的图象的对称轴完全相同，故 f(x)和 g(x)的周期相同，所以 =2， ()3cos2fx，由 0,3，得 2,3x，根据余弦函数的单调性，当 2，即 时， f (x)min=，当 ，即 0x时，f (x)max= 32，所以 f (x)的取值范
14、围是 3,2，选择 D.8【解析】满足条件的四面体如左图，依题意投影到 yOz平面为正投影，所以左（侧）视方向如图所示，所以得到左视图效果如右图，故答案选 B89【解析】设勾为 a，则股为 a3 ， 弦为 a2 ，小正方形的边长为 a3所以图中大正方形的面积为 24，小正方形面积为 1 ，所以小正方形与大正方形的面积比为 132 落在黄色图形(小正方形) 内的图钉数大约为 402110【解析】由知函数 xf在区间 84， 上为单调递增函数；由知fxf48，即函数 xf的周期为 8，所以125017c， 3fb；由可知 xf的图象关于直线4x对称，所以 53ffb， 71c；因为函数 在区间8，
15、上为单调递增函数，所以 6，即 cab11【解析】本题考查空间几何体的表面积.三棱锥 所在长方体的外接球,即三棱锥S-ABC所在的外接球;所以三棱锥的外接球的直径 ,即三棱锥的外接球的半径2R= AB2+SC2=10R=5;所以三棱锥的外接球的表面积 .选 D.S=4 R2=10012【解析】如图 1，不妨设 12(0,),)Fc，则过 F1 与渐近线 ayxb平行的直线为ayxcb，联立,ayxb解得,2bcay即 (,)2cM因 M 在以线段 12F为直径的圆 2xyc内，故 2()(cca，化简得 3ba, 即 3，解得 2a，又双曲线离心率1cea，所以双曲线离心率的取值范围是(1，2
16、). 选择 A.9二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分）13 30 14240 15 1 16 )102,4(13 【解析】第一次，i=1，满足条件， i6，i=1+2=3 ，S=6，第二次，i=3，满足条件， i6，i=3+2=5 ，S=6+10=16，第三次，i=5，满足条件， i6，i=5+2=7 ，S=16+14=30，第四次，i=7，不满足条件 i6，程序终止，输出 S=30，故答案为：3014 【解析】二项式6)2(x展开式的通项公式为rrrxCT2361，令 0，求得4r，所以二项式6()a展开式中的常数项是 4624=24015 【解析】 15cos2
17、1 BDACBOAD16 【解析】由正弦定理 csini4， Aini， 8，由余弦定理 bco16162， bb222cs6cs464)(4cos2A， b41o22 由 )64(，b， 032c， 10c.三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）17 （本小题满分 12 分）【解】 （1）设数列 na的公差为 d（ ） ，由 48,a成等比数列可得 2418a，即 )7()3(121dad，得 da91 4 分由数列 n的前 10 项和为 45 得 4501，即 4590，所以3,1ad故数列 n的通项公式为： 38)(3nan 8 分（2）因为
18、 1nb1(nd，所以数列 n的前 项和为10nT )1()1()1()1(32 nnadaaad ，即 n dnd9)9()9()( 21 ，因此 2d，解得公差 或 1 12 分18 （本小题满分 12 分）【解】(1) l在侧面展开图中为 BD 的长，其中 AB = AD = ， 的长为 2; 3 分(2)当 2时，建立如图所示的空间直角坐标系，4 分则有 (0,1)A、 (0,)B、 (1,0)2P、 1(,0)C，6 分,、 ,、 ,O8 分设平面 ABP 的法向量为 (,)nxyz，则 02yxz，9 分取 z = 2 得 (,02)n，10 分所以点 C1 到平面 PAB 的距离
19、为 12|4OCndA； 12 分注：本题也可以使用等积法求解 19 （本小题满分 12 分）【解】 （1）2 22()10(20)(64nadbcK40.78.065764 分 所以有 90% 以上的把握认为 “是否愿意外派与年龄有关” 5 分（2） “ xy”包含：“ ,1xy”、 “ ,2xy”、 “ 0,3xy”、 “ 1,”、 “ 3”、 “ 3”六个互斥事件6 分且012436(,)0CPxy，032146(,2)0CPxy0342366(,)，12134368(,)xzyABCD1111OP1112303466(,)CPxy，213034266(,)CPxy所以： 8304 12
20、 分20 （本小题满分 12 分）【解】 （1）因为 1BFx轴，得到点2(,)bBca， 2 分所以223()1aabbc，所以椭圆 C的方程是2143xy 5 分（）因为sin22 (2)1PAMBNAPMS PNB6 分所以 由（）可知 (0,)，设 方程 :1ykx，12(,)(,)xy，联立方程 2143kxy得： 2(43)80kxk即得12843kx（*）又 12(,),(,1)PMPNy，有 12x， 7 分将 12x代入（ *）可得：2643k 8 分因为 k，有261(,)34k， 9 分则2()1且 423 (没考虑到 2扣 1 分) 11 分综上所述，实数 的取值范围为
21、 (,) 12 分注：若考生直接以两个极端位置分析得出答案，只给结果 2 分.21 （本小题满分 12 分）12【解】 （1） ()fx的定义域为 (0)， ，2(2xafxa，.1 分令 2()gxa， 216，对称轴 4， (0)g，1)当 160，即 a4 时， )(xf0于是，函数 ()fx的单调递增区间为 0， ，无单调递减区间2 分2)当 2a0，即 4或 时，若 4，则 ()fx恒成立,于是， ()fx的单调递增区间为 (0)， ，无减区间3 分若 a令 ()0f，得2164a，22164a，当 12xx， ， 时， ()0fx，当 1()x， 时， ()0fx 于是， ()f的
22、单调递增区间为 1， 和 2， ，单调递减区间为 12)， 4 分综上所述：当 4a时， ()fx的单调递增区间为 ()， ，无单调递减区间当 时， ()f的单调递增区间为 1(0)x， 和 2， ，单调递减区间为 12()x， 5分（2）由（1）知，若 ()fx有两个极值点，则 4a，且 120ax， 12，20x又 210a， 1()x， 2()3ea, 13ex，又10x，解得 , 13e7 分于是， 2211 12()()ln()lnffxxaxxa211212l)xa 112122)(lx111)4l(n(x2114lnx9 分13令 2()l14nhxx1()e，则23(1)0xh
23、恒成立，()在 ,3e单调递减， 1()()hx，即21280e4()4ln39fxf，故 12()f的取值范围为 21(el)， 12 分22.（本小题满分 10 分）【解】 （1）曲线 1C的普通方程为 430;xy2 分曲线 2的直角坐标方程为 : 2y. 5 分（2） 1C的参数方程的标准形式为3,(42.5xty为参数)代入 2yx得29805,t6 分设 12,是 AB、 对应的参数,则 1212800.93tt， 7 分12| .| 5Pt10 分23.（本小题满分 10 分）【解】 （）3,1()2,2.xfx2 分()9fx等价于11,2230399xx或 或3 分综上,原不等式的解集为 |.或 5 分（2） |2|.xaa7 分由()知 13().f所以 2|a， 9 分14实数 a的取值范围是 3,.410 分
