1、12005 年普通高等学校招生全国统一考试数学（全国 2 理科卷）试题精析详解一、选择题（5 分 12=60 分）（1）函数 f(x)=|sinx+cosx|的最小正周期是（A） （B） （C） （D）2 42【思路点拨】本题考查三角函数的化简和绝对值的概念和数形结合的思想.【正确解答】 ，f(x)的最小正周期为 .()|sinco|sin()|fxx选 C【解后反思】三角函数的周期可以从图象上进行判断，但是一个周期函数加绝对值后的周期不一定减半.如 的最小正周期为 ，但是， 的最小正周期也是tanyx|tan|yx，因此，对函数的性质的运用必须从定义出发，要学会用定义来研究问题.（2）正方体
2、 ABCDA 1B1C1D1 中，P 、Q、R 分别是 AB、AD 、B 1C1 的中点.那么，正方体的过 P、Q 、R 的截面图形是（A）三角形 （B）四边形（C）五边形 （D）六边形【思路点拨】本题考查平面的作法和空间想象能力，根据公理 1 可从 P、Q 在面内作直线，根据公理 2，得到面与各棱的交点，与棱相交必与棱所在的两个面都有交线段.【正确解答】画图分析.作直线 PQ 交 CB的延长线于 E，交 CD 的延长 F，作直线 ER交 的延长线于 G，交 于 S，作直线1C1BGF 交 于 H，交 H，连结DPS,RT,HQ，则过 P、Q、R 的截面图形为六边形 PQHTRS，故选 D.【
3、解后反思】要理解立体几何中的三个公理及 3 个推论是确定平面的含义，但不必深入研究HSRDBCAD1A1 B1C1EGFQPT2（3）函数 y= 1（x0 ）的反函数是32（A）y= (x1) （B）y= (x1)( 3)1(x（C）y= (x0) （D ）y= (x0)3x【思路点拨】本题考查反函数的求法.要求反函数的三步曲（一是反解、二是 x、y 对调，三是求出反函数的定义域，即原函数的值域）进行，或用互为反函数的性质处理.【正确解答】解法 1：由 y= 1，且 x0，解得 ，其中， .32 3(1)y1则所求反函数为 y= (x1).)(x解法 2：分析定义域和值域，用排除法.选 B.【
4、解后反思】选择题中考查反函数的解法时，一般只需验证定义域和值域即可，以达到快速高效之目的，因此，深刻理解互为反函数的概念和性质是关键，并要注意在求出反函数后注明定义域，这是求反函数必不可少的一步.（4）已知函数 在（ ， ）内是减函数，则tanyx2（A）01 （B）10（C）0 （D）1【思路点拨】本题考查参数 对于函数 性质的影响.tanyx【正确解答】由正切函数的性质，正切函数 在（ ， ）上是增函数，2而 在（ ， ）内是减函数，所以 ，即 .选 Btanyx210【解后反思】学生在解题过程中只注意到 ，而容易忽略 的符号对函数单调|T性的影响.(5)设 a、b、c、dR，若 为实数，
5、则dicba（A）bc+ad0 （B）bcad 0（C）bc ad 0 （D）bc+ad=0【思路点拨】本题考查复数定义和复数除法运算法则.【正确解答】 ，由 为实数，2()()()abiicdabcadicdicb3所以 bc-ad=0.选 C【解后反思】理解复数除法计算和乘法本质是分母实数化，有助于提高运算速度.（6）已知双曲线 1 的焦点为 F1、F 2，点 M 在双曲线上且 MF1x 轴，则362yxF1 到直线 F2M 的距离为（A） （ B） （C） （D）53655665【思路点拨】本题主要考查双曲线的基础知识，只要依据分析双曲线的相关几何性质进行等价转化即可.【正确解答】由题意
6、知， ， ， ，设 为左焦点， 为右焦点，6a3bc1F2则，设所求距离为 ，12(3,0)(,3,)2FMd则由 ，得 .1|Fd65选 C【解后反思】利用面积相等来求点到直线的距离应用较广，应引起重视. （7）锐角三角形的内角 A、 B 满足 tanA =tanB,则有A2sin1（A）sin2AcosB=0 （B ）sin2A+cosB=0（C）sin2AsinB=0 （D）sin2A+sinB=0【思路点拨】解斜三角形问题必须注意题目所设置的情况，从已知等式的左边进行化简，产生 2A、B 的三角函数之间的关系.【正确解答】 221sin1sin1cos2tan tansicosi iA
7、AA AB是锐角三角形， ，而 ，t(2)BC002即 .选 A.sin2i()cosB【解后反思】解三角函数问题时，要注意角的唯一性，也就是说要将角化到同一单调区间内进行求解.这是难点也是关键之处.4（8）已知点 A（ ，1） ，B（0，0） ，C（ ，0）.设BAC 的平分线 AE 与 BC 相33交于 E，那么有 ，其中 等于EC（A）2 （B） （C）3 （D）2 31【思路点拨】本题考查平面向量的基础知识，可根据点 的特殊位置，利用角平分线的性质，就可求 E 点坐标.【正确解答】由题意可知 是直角三角形且 ， ，A:30AB60CAB， ， ， .选 C30CA|2BEC|E【解后反
8、思】灵活运用相关知识是解决问题的有效手段，本题可用向量法，也可由坐标法、都要求出点 C 坐标，但相对来说，用平几知识比较方便.（9）已知集合 Mxx 23x280，N=x|x 2x60 ，则 MN 为（A）x|4x2 或 3x7 （B）x|4x2 或 3x7（C） x|x 2 或 x3 （D ）x|x2 或 x3【思路点拨】本题考查不等式的解法和集合的运算，可采用直接法，化简两集合时要注意不等式中的等号情形，防止漏点或产生多余的点.【正确解答】 ， ，|47Mx|23Nx或.选 A|23N或【解后反思】四个二次（一元二次不等式、一元二次方程、二次函数、二次三项式）始终是高考中考查覆盖面最大的代
9、数知识.它们之间的等价转换要借助数形结合思想处理，必须牢固地掌握.（10）点 P 在平面上作匀速直线运动，速度向量 v（4，3） （即点 P 的运动方向与v 相同，且每秒移动的距离为|v| 个单位） ，设开始时点 P 的坐标为（10，10） ，则 5 秒后点 P 的坐标为（A） （2，4） （B） （30，25） （C） （10，5） （D） （5，10）【思路点拨】本题利用物理知识考查向量坐标公式的由来，借助图形正确地找出经过t 秒后点的 C 的位置.【正确解答】由题意可得 t 秒后点 P 的坐标为 ，t=5 时，P 点坐标(104,3)t为（10，5）.选 C.5【解后反思】数学学科中各个
10、知识点都是有定义的.定义的理解与掌握是解决一切问题的基础的基础，回归定义，理解定义是学习数学的起点，也是落脚点.(11)如果 a1，a 2，a 8 为各项都大于零的等差数列，公差 d0，则（A）a 1a8a 4a5 （B）a 1a8a 4a5 （C）a 1+a8a 4+a5 （D）a 1a8=a4a5【思路点拨】本题考查等差数列的基础知识和化归思想，最有效的办法是将数列的通项转化为首项及公差来探索其大小.【正确解答】由 得， （ ）14853,ada21845459ada0选 B【解后反思】灵活运用等差数列的性质可简化运算，而对于本题等差数列来说，一般方法，即转化为首项和公差处理，是最基本的方
11、法，要牢固掌握.(12)将半径都为 1 的 4 个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为（A） （B）2+ （C） （D）36236236243624【思路点拨】本题考查正四面体的性质和空间想象能力，恰当地对几何体进行分割，确定钢球的球心的位置是一关键.【正确解答】由题意可知，四个球心为顶点的小正四面体与原正四面体有公共中心，当正四面体的表面积最小时，四个钢球的圆心在正四面体内也构成一个小正四面体，且两个正四面体有相同的中心.把 4 个小球的球心连起来，得到棱长为 2 的正四面体，且该四面体的中心与原四面体的中心是同一点.先求任意正四面体的中心到侧面的距离与高之比：连接
12、中心与 4 个顶点，得到 4 个正三棱锥.底面积相等，由等体积法知，所以，该比为 .而14棱长为 a 的正四面体的高为 ，所以，棱长为 2 的正四面体，高为 ，现在将其中63a263心到侧面的距离 4，得到这个正四面体的高的最小值为 ，选 C.4【解后反思】选择适当的截面，把立几问题平面化(降维)是解决此类问题的基本思路.二、填空题（4 分 4= 16 分）(13)圆心为（1，2）且与直线 5x-12y-7=0 相切的圆的方程为_.【思路点拨】本题考查点到直线的距离公式和圆的方程的求法，只要求出点到直线的距离6就求出了圆的半径.【正确解答】圆心（1，2）到直线的距离为圆的半径，所以 .2|51
13、7|r所以圆的方程为 .22(1)()4xy【解后反思】解析几何主要是以代数方法研究几何问题，但并不能忽视几何性质，更确切地来说，要充分挖掘其几何性质，才能使问题解决更快、更活，如直线和圆相切，就有多种研究方法，请学习时认真总结.(14)设 为第四象限的角，若 ，则 tan2=_.513sin【思路点拨】本题考查三角变换能力，需要学习和体会三角变换的技巧，达到角和函数的统一.【正确解答】 2sin3i()sinco2sin2si13co5，因为 ，所以 ，又 ，4s5(,2)k(4,)kcos20所以 .3tan2【解后反思】适当选择三角公式可以使问题得到简化.三角函数求值主要是考虑的是角和函
14、数的差异，同时要注意由角的范围来确定三角函数值的符号. (15)在由数字 0，1，2，3，4，5 所组成的没有重复数字的四位数中，不能被 5 整除的数共有_个.【思路点拨】本题考查排列组合的基础知识及转化能力，注意分类讨论思想的运用.【正确解答】解法 1：数字 0，1，2，3，4，5 所组成的没有重复数字的四位数共有个，能被 5 整除的没有重复数字的四位数共有436506A个，所以不能被 5 整除的数共有 192 个.248解法 2：因为不能被 5 整除的四位数中，其末位不是 5 的倍数，所以，不能被 5 整除的四位数共有： 个.13244()9CA【解后反思】 “不能”通常用减法可简化运算，
15、在本题中偏偏反其道而行之.慎之！同时，7解排列组合问题时要正确运用加乘原理，应把复杂的问题分成简单问题（分步、分类）做到既不重复又不遗漏.（16）下面是关于三棱锥的四个命题： 底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥. 底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥. 底面是等边三角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥. 侧棱与底面所成的角都相等，且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥.其中，真命题的编号是_.(写出所有真命题的编号)【思路点拨】本题考查三棱锥的基础知识和逻辑推理能力，理解顶点在三棱锥底面上的射影与底面三角形的关系就可解决.【正确解答
16、】如图，三棱锥 中，作 平面 于 O，作 于 D，作PABCPABCAB于 E，作 于 F，连结 OD,OE,OF，则 分别是侧OBC,DPEF面与底面所成的二面角的平面角.是正确的.因为侧面与底面所成的二面角都相等，所以，OD=OE=OF，即 O 是 的中C心，且底面是等边三角形，是错误的.如，是错误的. 如果顶点在底面上的投影PBCAP是底面正三角形的旁心，也是可以得出侧面积相等的结论，是正确的. 侧棱与底面所成的角都相等，则顶点在底面的投影是底面三角形的外心；侧面与底面所成的二面角都相等，则顶点在底面的投影是底面三角形的内心，外心与内心重合的三角形是正三角形，且是三角形的中心，故填、.【
17、解后反思】必须深刻掌握正棱锥的定义（底面是正三角形，顶点在底面上的射影是三角形中心的三棱锥是正三棱锥）及其等价条件.三、解答题(共 6 小题，共 74 分) （17） （本小题满分 12 分）设函数 f(x)=2|x+1|-|x-1| ,求使 f(x)2 的 x 取值范围.2【思路点拨】本题主要考查指数函数的性质、不等式性质和解法，考查分析问题的能力和运算能力.关键是去掉绝对值，根据 进行分类讨论.(0)a【正确解答】由于 在 R 上是增函数， 等价于2xy()2fxA B CPO ED F83|1|2x（1）当 时， ，所以式恒成立.|1|2x（2）当 时， ，式化为 ，即 .|1|x32x
18、14x（2）当 时， ，式无解，x|综上， 的取值范围是 .3,)4【解后反思】含有绝对值的问题的处理通常是去掉绝对值，其方法一般地有两种，一是讨论，二是平方.考虑到本题含有两个绝对值，讨论法较宜.（18） （本小题满分 12 分）已知a n是各项均为正数的等差数列，lga 1、lga 2、lga 4 成等差数列，又 bn= ,n=1,2,3.a21()证明 为等比数列；n（）如果无穷等比数列 各项的和 S= ,求数列a n的首项 a1 和公差 d.nb31(注：无穷数列各项的和，即当 n时数列前 n 项和的极限).【思路点拨】本题主要考查等差数列、等比数列的基本知识以及运用这些知识的能力.本
19、题第()问可利用等差、等比的转化关系得以解决，难点是第（）问中理解题目后的注，要理解之含义.【正确解答】 （1）证明： 成等差数列，124lg,la，即 ，24lgla又设等差数列 的公差为 ，则 ，nd211()(3)ad这样 ，从而21d()0a， ， ，012()2nnn.2nnbad这时， 是首项 ，公比为 的等比数列.12b1（2）解：如果无穷等比数列 的公比 ，则当 时其前 项和的极限不存在.nqnn9因而 ，这时公比 ， ，这样 的前 项和 ，10da12qbdnb1()2nndS则 ，()limli12nndS由 得公差 ，首项 .1313a【解后反思】若正项数列 是等比数列，
20、则 （ 且 ）是等差数列，nlogan01a若数列 是等差数列，则数列 （ 且 ）是等比数列，反之亦然.nana01（19） （本小题满分 12 分）甲、乙两队进行一场排球比赛、根据以往经验，单局比赛甲队胜乙队的概率为 0.6.本场比赛采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，比赛结束.设各局比赛相互间没有影响.令 为本场比赛的局数，求 的概率分布和数学期望.（精确 0.0001）【思路点拨】本题考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念，考查运用概率知识解决实际问题的能力，理解比赛规则和互斥事件是正确理解和解决本题的难点，如打 3 局比赛结束，即甲 3：0 赢乙，即打 3 场甲均赢乙.【正确解答】单
21、局比赛甲队胜乙队的概率为 0.6，乙队胜甲队的概率为 1-0.6=0.4.比赛 3 局结束有两种情况：甲队胜 3 局或乙队胜 3 局，因而，3().64.28P比赛 4 局结束有两种情况：前 3 局中甲队胜 2 局，第 4 局甲队胜；或前 3 局中乙队胜 2 局，第 4 局乙队胜，因而，233()060.6.07CC比赛 5 局结束有两种情况：前 4 局中甲队胜 2 局，乙队胜 2 局，第五局甲胜或乙胜，因而.224()4356P所以 的概率分布为3 4 5P 0.28 0.3744 0.3456的期望 .()4()5()06EP【解后反思】在利用数学知识解决实际问题要理解实际问题与数学知识的
22、内在联系，将实际问题数学化，而在这一过程中，必须认真读题，缜密审题，确切理解，明确问题的实际10背景，然后进行科学的抽象、概括，将实际问题归纳为数学问题.一般的解题程序：读题（文字语言） 建模（数学语言） 求解（数学应用） 反馈（检验作答）.应用题利用数学知识并不难，难的是理解题意，建立恰当的数学模型.（20） （本小题满分 12 分）如图、四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为矩形，PD 底面 ABCD，AD=PD，E、F分别为 CD、PB 的中点.（）求证：EF平面 PAB；（）设 AB= BC，求 AC 与平面 AEF 所成的角2的大小.【思路点拨】本题主要考查直线与平面垂直、直线
23、与平面所成角的有关知识及思维能力和空间想象能力，考查应用向量知识解决数学问题的能力，此题属中档题.寻找平面 PAB 内两条相交直线是解决第（1）问的关键，寻找 AC 在平面 EFA 内的射影解决第（）问难点，直觉来说，无论是条件还是结论都有运用空间向量的背景，因此，用空间向量来解应是十分简便的.【正确解答】解法 1：（1）证法 1：连结 ，EP， 在平面 内，PDABC底 面 DABC，又 ， E,， . 为RttPEF中点， ，F由三垂线定理得 ，所以，在 中，ABRtAB，又 ，P， . 、 为E平面 内的相交直线， .EP平 面证法 2：取 PA 的中点 M，连结 MD,MF, 是 PB
24、F的中点， 是 CD 的中点，1/FAB是平行四边形，/2ED平面 ABCD， ，又PPDA是等腰直角三角形,而 M 是 PAA的中点 底面 ABCD 是矩形，MB FG A DC PEHBFADCPEM11，由 平面 ABCD，得 ，ABDPABMD又 平面 APB .MEFP平 面（2）不放设 ，则 ， ， ， ，1C123AC为等腰直角三角形，且 ， 为其斜边中点， ，且 .PABPB1BFPB与平面 内两条相交直线 、 都垂直，EFA.平 面连结 交 于 ，作 交 于 ，则 ，CG/HEFGHAE平 面为 与平面 所成的角，AHA由 可知 ， ， ，EB:12B1323C由 ，可知 .
25、GFGHF，所以 与平面 所成的角为 .3sin6AACE3arcsin6解法 2：以 为坐标原点， 的长为单位，建立如图所示的直角坐标系.D（1）证明：设 ，其中 ，则(,0)Ea0a1(2,)12,(,)(,)2CABPF， ，F(1AB， .0EPBEFP，AAB又 ， ，平 面 平 面， .PBEFP平 面（2）解：由 ，得 ，可得2ABC2a， ，(,10)(,1)CP 3cos, 6|ACPBB F A DC PE12异面直线 、 所成的角为 .ACPB3arcos6，21(,),0,FFPBAF又 ， 为平面 内两条相交直线，PBE,AE， 与平面 所成的角为 ，平 面 C3ar
26、cos(rin)26即 与平面 所成的角为 .AEF3arcsin6【解后反思】三垂线定理（或它的逆定理）是立几中的十分重要的定理，在证垂直、求角等方面应用十分广泛，而用向量在求证平行、垂直，求角和距离等方面十分有效.（21） （本小题满分 14 分）P、Q、M、N 四点都在椭圆 x2+ =1 上，F 为椭圆在 y 轴上y的焦点.已知 与 共线， 与 共线，且 =0.求四边形 PMQN 的面积FFPM的最小值和最大值.【思路点拨】本题注意考查椭圆和直线的方程与性质，两条直线垂直的条件，两点间的距离，不等式的性质等基本知识及综合分析能力和运算能力.引入参数 k 并用 k 分别表示，构建关于 k
27、的函数，利用函数的性质就不难解决|,|PQMN【正确解答】如图，由条件知 和 是椭圆的两条弦，NPQ相交于焦点 ，且 ，直线 、 中至少(0,1)FM有一条存在斜率，不放设 的斜率为 ，又 过点k，故 的方程为 .(,)PQ1yx将此式代入椭圆方程得.设 两点的坐标分别为2()10kx,，则12,y， ，12kx22kx13从而 ，2222118()|()()kPQxy亦即 2|k（1）当 时， 的斜率为 ，同上可推得0kMN1，22(1)|3k故四边形面积 ，2222114()4()1| 5kkSPQMN令 ，得 .2uk(2)(1)55uu因为 ，当 时， ， ，21k69S且 是以 为自
28、变量的增函数.所以S629（2）当 时， 为长轴， ，0kMN|,|PQ.1|2PQ综合（1） （2）知四边形 面积的最大值为 2，最小值为 169【解后反思】1、分清情况讨论（k 的存在性）中解题的先决条件，繁琐计算的正确性是顺利解题的保证 2、斜率为 k 的直线与曲线 C 交于 两点，则12(,)(,)AxyB作为一个模式，应该熟练掌握，便于在2121|()|ABxy（ -）解题中快捷运用.3、本题用特殊到一般的思想，即当 MN 与 y 轴重合时的情形考察四边形面积，可检验解题的正确性.PMQN（22） （本小题满分 12 分）已知 a0，函数 f(x)=(x2-2ax)ex.（）当 x
29、为何值时，f(x)取得最小值？证明你的结论；（）设 f(x)在 -1，1上是单调函数，求 a 的取值范围.【思路点拨】本题主要考查导数的概念和计算，应用导数函数性质的方法及推理和运算能力.考虑到 ，因此，第（）问 的最小值就等价于求 的极小值，只要xR()fx()fx14利用导数按求极值的步骤进行就可以了，而第（）问 f(x)在-1，1上是单调函数，实质上就是在-1，1上就是 或 恒成立时求 a 的取值范围.()0fx()fx【正确解答】 （1）对函数 求导数，得.2 2()()(1)2xx xfxaeaee令 ，得 ，从而0210(1)20a解得 ， ，其中 ，1x 22xa2x当 变化时，
30、 ， 变化情况如下表：()ff1,x1x12(,)x2x2(,)x()fx 0 0 :极大值 :极小值 :当 在 处达到极大值， 在 处达到极小值.()fx1()fx2当 时， ， ， 在 为减函数，在 为增函数，0a20x1,)2(,)x而当 时， ；当 时， ，()xfae0)0f所以当 时， 取得最小值.21xa(f（2）当 时， 在-1,1上为单调函数的充要条件是 .0()fx 21x即 ，解得 ；234a综上， 在-1,1上为单调函数的充要条件为 ，()fx 34a即 的取值范围是 .a3,)4【解后反思】通过导函数研究可导函数的极值、单调性已成为高考的热点，且有难度增大的趋势.挖掘 所产生的 的范围是解决本题的关键.另外， 恒成立，即012,x ()fxm比 的最小值还要小； 恒成立，即比 的最大值还要大.()fx()fm()fx
