1、伊犁师范学院物理科学与技术学院2011届物理专业毕业生论文1第一章第一章第一章第一章晶体的结构及其对称性晶体的结构及其对称性晶体的结构及其对称性晶体的结构及其对称性1.1石墨 层中的 碳原子 排列成 如图所 示的六 角网状 结构 ， 试问 它是简 单还是 复式格子 。 为什 么？作 出这一 结构所 对应的 两维点 阵和初 基元胞。解 ： 石墨 层中原 子排成 的六角 网状结 构是复 式格子 。 因为如图 点 A和点 B的格 点在晶 格结构 中所处 的地位 不同 ， 并不完 全等价 ，平移 A B,平移 后晶格 结构不 能完全 复原所 以是复 式格子 。1.2在 正 交 直 角 坐 标 系 中
2、， 若 矢 量 kljlilRl 321 += ， i， j， k为 单 位 向 量 。( )3,2,1=ili 为整 数。问 下列情 况属于 什么点 阵？（ a）当il为全 奇或全 偶时；（ b）当il之和 为偶数 时。解：1 1 2 2 3 31 2 3lR la l a l ali l j l k= + += + + ( ).2,1,0, 321 =lll当 l为全 奇或全 偶时为 面心立 方结构 点阵， 当 321 lll + 之和 为偶数 时是面 心立方 结构1.3 在 上 题 中 若 =+ 321 lll 奇 数 位 上 有 负 离 子 ， =+ 321 lll 偶 数 位 上 有
3、 正 离子， 问这一 离子晶 体属于 什么结 构？解： 是离子 晶体， 属于氯 化钠结 构。 1.4 （ a） 分别 证明 ， 面心 立方 （ fcc） 和体 心立方 （ bcc） 点阵 的惯用 初基元 胞三基 矢间夹 角相等 ，对 fcc为 ，对 bcc为（ b）在 金刚石 结构中 ，作任 意原子 与其四 个最近 邻原子 的连线 。证明 任意两 条线 之 间 夹 角 均 为1cos 109273arc = 1cos 109273arc = 解 :（ 1）对 于面心 立方 ( )1 2aa j k= + ( )2 2aa i k= + ( )3 2aa i j= + 伊犁师范学院物理科学与技术
4、学院2011届物理专业毕业生论文21 32 22a a a a= = = ( ) 1 21 2 1 2 1 602a aCOSa a a a = = = ( )2 32 32 31 602a aCOSa a a a = = = ( )1 3 60COSa a = （ 2）对 于体心 立方 ( )1 2aa i j k= + + ( )2 2aa i j k= + ( )3 2aa i j k= + 1 2 3 32a a a a= = = ( )1 2 1 21 21 129273a aCOSa a a a = = = ( ) 1 31 3 1 3 1 129273a aCOSa a a a
5、= = = ( )2 3 12927COSa a = （ 3）对 于金刚 石晶胞 ( )1 34ai j k= + + ( )2 34ai j k= ( )221 21 2 21 223 149 34aCOSa = = = 1.5 证 明： 在 六角 晶 系中 密 勒指 数 为（ h,k,l） 的晶面族 间距为21222 2234 + += cla khkhd伊犁师范学院物理科学与技术学院2011届物理专业毕业生论文3证明 : a b a= = 元胞 基矢的 体积a ai= cos60 cos301 32 2b a i jai aj= += + c ck= 20 03 302 2 20 0aa
6、 a acc= =倒格 子基矢)33(22 jiacba += jaacb 3 342 =kcbac 22 =倒格 矢：* * *hklG ha kb lc= + + 晶面 间距* 22 2clbkahGd hklhkl += ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2 2 2ha kb lc ha kb l c hk a b kl b c hl a c + + = + + + + + 22 4 23a a = 22 4 23b a = 22 2c c = 22 23a b a = 0b c = 0a c = 12 2 2 2 22 2 212 2 2 22 24 2 4 2 4 2
7、 4 23 3 3 343hkld h k l hka a a ah k kl la c = + + + + += + 伊犁师范学院物理科学与技术学院2011届物理专业毕业生论文41.6 证明 ：底心 正交的 倒点阵 仍为底 心正交 的。 证明 ：简单 六角点 阵的第 一布里 渊区是 一个六 角正棱 柱体底心 正交点 阵的惯 用晶胞 如图：1a ax= 2 2 2a ba x y= + 3a cz= 2 4 50, , , ,3 3 3 3m = =初级 晶胞体 积 : 2c abcV=倒易 点阵的 基矢： 1 2 32 1 12cb a a x yV a b = = 2 3 12 4 ycb
8、 a aV c = = 3 1 22 2cb a a ZV c = = 这组 基矢确 定的面 是正交 底心点 阵1.7 证明 ：正点 阵是其 本身的 倒易点 阵的倒 格子。 证明 ：倒易 点阵初 级元胞 的体积 :cV是初 基元胞 的体积( )1 2 3cV b b b= 1 2 32cb a aV= 2 3 12cb a aV= 3 1 22cb a aV= ( )1 2 3cV a a a= 而 ( ) ( )( ) ( ) 22 3 3 1 1 223 1 2 1 3 1 1 222 ccb b a a a aVa a a a a a a aV = = ( ) ( ) ( ) ( )AB
9、 CD AB DC AB CD = 由于 ( ) 0113 = aaa ( )21 2 3 1 2 12cb b a a a aV = 而 ( )3 1 2cV a a a= ( )22 3 12cb b aV =伊犁师范学院物理科学与技术学院2011届物理专业毕业生论文5( ) ( )( ) ( )( )21 2 3 1131 2 323222cccb b b a bVa a aVV = = = 或 : ( ) ( )( )31 2 3 1 2 32b b b a a a = 现 在 证 明 ： ( )bbb bba 321121 2 = ( )bbb bba 321132 2 = ( )b
10、bb bba 321 213 2 =又 ( )22 3 12cb b aV = 令 ( )( )( ) ( )2 111 2 321 1 2 322 12cb bc b b baV b b b= = 又： ( ) ( )31 2 3 2cb b b V = 代入( )( )31 1 132 2cc Vc a aV = = 同理 ( )( ) 2321 132 2 abbb bbc = = ( )( ) 3321213 2 abbb bbc = =1.8 从二 维平面 点阵作 图说明 点阵不 可能有 七重旋 转对称 轴。解： 2 cosAB a ma= = cos 12m= 30, ,2 2m
11、= = 2 4 51, , , ,3 3 3 3m = =2, ,2m = =1.9 试解 释为什 么：伊犁师范学院物理科学与技术学院2011届物理专业毕业生论文6（ a）四 角（四 方）晶 系中没 有底心 四角和 面心四 角点阵 。（ b）立 方晶系 中没有 底心立 方点阵 。（ c）六 角晶中 只有简 单六角 点阵。解 ： （ a）因 为四方 晶系加 底心， 会失去 4次轴 。（ b）因 为立方 晶系加 底心， 将失去 3次轴 。（ c） 六角 晶系加 底心会 失去 6次轴 。1.10 证 明 ： 在 氯 化 钠 型 离 子 晶 体 中 晶 面 族 （ h,k,l） 的 衍 射 强 度 为
12、22,A Bhkl A Bf fI f f + 当 （ h,k,l） 为 偶 数 时当 （ h,k,l） 为 奇 数 时0， 其 它 情 况其 中 Af 、 Bf 分 别为 正 负离 子 的散 射 因子 。 如何 用 此结 果 说明 KCL晶 体中 h,k,l均为 奇数的 衍射消 失？证明 ： Nacl初基 原胞中 有 Na+和 Cl两种 离子。( ) 111r: 0,0,0 , ,222i A B A、 B分别 代表 和 。因此 几何结 构因子 ： ( ) ( )( )1 1 2 2 3 31 2 321 2 3221 2 31 2 3, ,i i ii hx hx hxii h h hA
13、BA BA BFhh h fef f ef f h h hf f h h h + + + += + + += + +为 偶为 奇射 强 度 ： ( )21 2 3I Fhhh ,对 于 1 2 3h h h+ + 为 奇 数 的 衍 射 面 A Bf f= 则 会 消光。1.11 试讨 论金刚 石结构 晶体的 消光法 则。解： 金刚石 结构中 ，金刚 石单胞 有 8个碳 原子， 坐标为 ：( ) 11 1 1 11 111 333 331 313 1330,0,0, , ,0, ,0, , 0, , , , , , , , , , , , , , , , ,22 2 2 22 444 444
14、444 444 444 几何 结构因 子 ( )1 1 2 2 3 32 j j ji nhx hx hxhkl jF f e + +=( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )1 exp exp exp1exp 2exp 2 exp exp 12hklF f i nh k i nk l i nl kf i n h k li n h k i nk l i l h = + + + + + + + + + + + + + + + 伊犁师范学院物理科学与技术学院2011届物理专业毕业生论文7( ) ( ) ( ) ( ) 1 exp sin 1 cos cos2 2hkl n nF f i
15、 h k l i h k l n h k n k l = + + + + + + + + + hklI ( ) ( )22 21 cos sin2 2hklfhkl hkl n nF I h k l h k l = + + + + + + 衍射 强度不 为零 ： （ 1） nhnknl都为 基数。（ 2） nh nk nl都为 偶数（ 包括零 ） ,且 ( )12nh nk nl+ + 也为 偶数 。如不 满足以 上条件 ，则这 些面的 衍射消 失，例 如金刚 石不可 能找到 （ 3，2， 1）或 （ 2， 2， 1）的 一级衍 射斑， 也不可 能有（ 4， 4， 2）这 样的二级衍 射斑点
16、。1.12 证 明： 在倒 易空 间中 ，当 落 于一 倒格 矢 垂 直平 分面 上时 ，发 生布 拉格反射 。证 明 ： 当 波 矢 满 足 2 2hk k k+ = 时 有02hh kk k + = 令 hk k k= + K刚好 是 hk中垂 直面的 反射波 。又 1 2hd k= ,由图 知： 2sin sin2hk k = =2 sind m = (其 中 hhk mk= ) D E= 1.13 试证 明：具 有四面 体对称 性的晶 体，其 介电常 数为一 标量介 电常量 ：0 =证明 ： 由 D E= 11 12 1321 22 2331 32 33 = 各物 理量在 新旧坐 标中
17、： D E= p AD= E AE=1D A AE A AE += = (由于 对称操 作 D E= ) 1 AA A A += =伊犁师范学院物理科学与技术学院2011届物理专业毕业生论文8xA是绕 X(a)轴转 动 90是一 个对称 的操作1 0 00 0 10 1 0xA = yA是绕 Y(b)轴转 动 90也是 一个对 称操作0 0 10 1 01 0 0yA = 将 代入 A A += 11 22 2323 330 000 = 再将 代入 A A += 11 11110 00 00 0 = 1.14 若 的 立方 结构 如图 所示 ，设 原 子的 散射 因子 为 ， 原 子的 散射
18、因子为 ，（ a）求 其几何 结构因 子 ?hklF =（ b）找 出（ h,k,l）晶 面族的 X光衍 射强度 分别在 什么情 况下有223A Bhkl A BF fI F f + (c)设 A Bf f= ， 问衍 射面指 数中哪 些反射 消失？ 试举出五种 最简单 的。解： 结构 中，单 胞中含 有 3个 B原子 ， 1个 A原子 。( )1 2 32 j j ji hx kx lxhkl jF f e + +=取 ( ) 11 1 1 110,0,0 , ,0 ,0, 0, ,22 2 2 22A B ( ) ( ) ( )( )i h k i k l i hlhkl A BF f f
19、 e e e + + += + + +当 h+k与 h+l， k+l均为 偶数时 3hkl A BF f f= +当 h+k， h+l， k+l其中 两个为 奇数， 一个为 偶数时 hkl A BF f f= 当 A Bf f= 时有 （ 0， 0， 1） （ 0， 1， 0） （ 1， 0， 0） （ 0， 1， 1）伊犁师范学院物理科学与技术学院2011届物理专业毕业生论文9（ 1， 1， 0） （ 1， 0， 1） 衍射 面指数 的消光 。1.15 在某 立方晶 系的铜 射线 粉末相 中，观 察到的 衍射角 有下 列关系 ：1 2 82 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2
20、2 2 2 2 2 2 2 2 2 23: 4: 8: 11: 12: 16: 19: 20sin :sin .sin1 1 1 2 0 0 2 2 0 1 1 32 2 2 4 0 0 3 3 1 4 2 0 = + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +（ a）试 确定对 应于这 些衍射 角的晶 面的衍 射面指 数；（ b）问 该立方 晶体是 简立方 、面立 方还是 体心立 方？解： 2 2 2hkl ad h k l= + + 又 2 sinhkld n =( ) ( ) ( )2 2 2sin 2anh nk nl = + + sin ( )
21、 ( ) ( )2 2 2nh nk nl+ +1 2 82 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 23: 4: 8: 11: 12: 16: 19: 20sin :sin .sin1 1 1 2 0 0 2 2 0 1 1 32 2 2 4 0 0 3 3 1 4 2 0 = + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + hkl=(1,1,1) (2,0,0) (2,2,0) 该立 方晶体 是面心 立方 .第二章第二章第二章第二章晶体的结合晶体的结合晶体的结合晶体的结合2.1导出 NaCl型离 子晶体
22、中排斥 势指数 的下列 关系式 ：40 024 181 kRn e= + (SI单位 )其中 k为体 变模量 ，设已 知 NaC晶体 的 10 2 02.410 / , 0.281k NmR nm= = ， 求NaCl的 n=?解： NaCl晶体 排斥势 指数的 关系， 设晶体 有 N个元 胞。则晶 体的内 能： )6( 2 nn rBrANrbreNU +=+= 其中 ： 2eA = ， 26bB= 对于 NaCl结构 32Nrr= ， （ 32r 为元 胞的体 积） drNrdr 26=伊犁师范学院物理科学与技术学院2011届物理专业毕业生论文100 2 2 2 10 0 0 01 06
23、6r ndu dudr du N A nBdV drdv Nr dr Nr r r + = = = = 在 0r为平 衡位置 处： 101 = nrnAB由 ( )40 222022 18118100 rendrudNrdrudrkrr= 118240 += ekrn （如 取 SI） 1184 2 400 += e kkrn 对于 NaCl、 CsCl、 ZnS结构 a=1.747、 1.762、 1.638210 /104.2 mNk = nmr 281.00 = 可求 n2.2 带 e电荷 的两种 离子相 间排成 一维晶 格 ， 设 N为元 胞数 ， B/ 为排 斥势 ，为正 负离子 间
24、最短 的平衡 值。证 明，当 N有很 大时有 ：（ a）马 德隆常 数 2ln2= ；（ b）结 合能 ( ) 20 02 ln2 114NeUR R n = ;（ c） 当 压 缩 晶 格 时 ， ),且 ， 则 需 做 功 ,其 中( )20 02 1 ln24n NC eR=解 ： （ a） 一维 原 子链 ， 正负 离 子的 距 离为 a， 相距 为 的 两个 离 子间 的 相互作用 势能：nijijij rbrqru += 4)(2 Rar jij = (R为邻 近间距 总离子 间的相 互作用 势能 ) = 02, 1142)(2 j j njnjji ij abRaRqNruNU
25、= 1j jau 为离 子晶格 的马德 隆常数伊犁师范学院物理科学与技术学院2011届物理专业毕业生论文11 += .4131211121jau.432)1ln( 432 +=+ xxxxx令 1=x .41312112ln += 2ln2=u(b)利用 平衡条 件 00=RdRdu nRNqb n102 2ln = )1(2ln2)( 102 nnnRRRNqRu = )11(2ln2)( 020 nRNqRu =(c) ( ) ( ) ( ) ( )002 21 0 0 0212RRdu duu R uR RR RRdR dRR= + + +由于 外力做 的功等 于晶体 内能的 增量， 外
26、力做 功的主 项( ) ( ) ( )20220021 RRRdRudRuRuw =将 ( )= 10RR 代入 ： ( ) = 02 212ln21 NRqnw晶体 被压缩 单位长 度的过 程中， 外力做 功的主 项：( ) cRqnNRw 212ln1212 2020 = =设 e= 时外 力为 ，外 力与晶 体 (格 )的形 变成正 比 .( ) 02NRF= ， ( )ee NRF 02= ， 为比 例函数 .( )( )02 0 00 02 20 02 21 12 22e eNRee eW Fdx NR NRdNR NR F = = = 此即 为离子 链被压 缩 02 eNR的过 程
27、中外 力做功 。( )eee NRcW 022= 所以 压缩 2N 时外 力 ( ) 202 12ln RnqCF eee =2.3 量子 固体在量 子固体 中 ， 起主 导作用 的排斥 能是原 子的零 点能 ， 考虑 晶态 的一伊犁师范学院物理科学与技术学院2011届物理专业毕业生论文12个粗 略一维 模型， 即每个 氦原子 局限在 一段长 为 L的线 段上， 每段内 的基态 波函数 取为半 波长为 L的自 由粒子 波函数 。（ a） 试求 每个粒 子的零 点振动 能；（ b）推 导维持 该线不 发生膨 胀所需 力的表 达式；（ c）在 平衡时 ，动能 所引致 的膨胀 倾向被 范德瓦 尔斯相
28、 互作用 所平衡 ，非 常 粗 略 的 给 出 最 近 邻 间 的 范 德 瓦 尔 斯 能 为，其 中 L以 cm表示 ，求 L的平 衡值。解 ： (a)根 据 量 子 力 学 ， 限 制 在 L线 段 内 的 自 由 原 子 的 波 函 数 有ikxAe= 形式2=k 又 2=L 的波 函数为 基态波 函数 LLk =220 ， 所以 基态波函 数 xLiAe=0 每个 原子的 零点动 能也就 是基态 平均动 能 .220 0*00 0222*082 mLd dxdxdmTLL = (b)因零 点动能 会引起 线段的 膨胀， 为了保 持长度 为 L的线 段结构 ， 必须增 加力3222 48
29、 mLmLdLddLTdp =+U（ L）是 范德瓦 尔斯能 ： 6 601.6 10U L erg = (c)平衡 时：02 603 70 060 1.6 104LdUdL mL L = = 48040 10813.5 cmL = 的平 衡值 AL 91.40 =第三章第三章第三章第三章晶格动力学和晶体的热学性质晶格动力学和晶体的热学性质晶格动力学和晶体的热学性质晶格动力学和晶体的热学性质3.1 在同 类原子 组成的 一位点 阵中， 若假设 每个原 子所受 的作用 力左右 不同，其 力 常 数如 下 图 所 示 相间 变 化 ， 且1 2 .试 证 明 ：在 这 样 的 系 统中 ， 格波
30、仍 存 在 着 声 频 支 和 光 频 支 ， 其 格 波 频 率 为伊犁师范学院物理科学与技术学院2011届物理专业毕业生论文13( )1221 12 1 2 21 24 sin 21 1 kaM + = + 解： 用 sV和 sr分别 表示第 S个初 基原胞 中两个 原子相 对平衡 位置的 位移 .( ) ( )( ) ( )1 2 11 2 1s s s s ss s s s sMu u V u VMV V u V u + = = 令( )tskais ueu = ( )i ska tsV Ve = ( ) ( )2 1 2 1 221 2 1 2 00ikaikaM u e Ve u
31、M c c V + + + = + + + = ( ) ( )2 1 2 1 221 2 1 2 0ikaikaM ee M + + =+ +( ) ( )222 1 2 1 2 ikaM e + = + ( )2 2 21 2 1 2 1 21221 21 2 21 21 2 cos4 sin 21 1kaM MkaM += + + + = + 3.2 具有 两维立 方点阵 的某简 单晶格 ， 设原 子的质 量为 M， 晶格 常数为 a， 最近邻原 子间相 互作用 的恢复 力常数 为 c， 假定 原子垂 直于点 阵平面 作横振 动 ，试证 明：此 二维系 统的格 波色散 关系为 ( )2 2
32、 2 cos cosx yM c ka ka= 解： 只考虑 最近邻 作用第 （ l， m）个 原子受 四个原 子的作 用 .( ) ( )mlml uucml ,1:,1 + + ( ) ( )mlml uucml ,1,:,1 ( ) ( )mlml uucml ,1,:1, + + ( ) ( )1,:1, mlml uucml运动 方程： ( ) ( ) mlmlmlmlmlmllm uuuuuucdtudm ,1,1,1,122 22 += +设 ( )0explm x yu u i lka mka t = + 伊犁师范学院物理科学与技术学院2011届物理专业毕业生论文14( )(
33、)2 42 2 cos cosy yx x ika ikaika ikax yce e e ec ka ka = + + + = 3.3 求： （ a）一 维单原 子点阵 振动的 声子谱 密度 ( )，并 作图；（ b）一 维双原 子点阵 振动的 声子谱 密度 ( )，并 作图 .解： 一维单 原子链 ：12 sin 2qaM = ( ) ( )2/ /2sL d q dq = 1 3S n= （有 个 3n色散 关系）一维 单原子 链1S= ( ) 122 1 12 cos2 2L 11cos2L a qaMMa qa = =一维 双原子 链 : ( ) 122 224 11 1 sin2m
34、M mM qamM mM + = + ( )11 22224 11 1 sin2mM mM qamM mM + + = + + ( ) 14224 11 1 sin2mM mM qamM mM + = + 伊犁师范学院物理科学与技术学院2011届物理专业毕业生论文15( )( ) ( )( ) 32 42 232 42L21/ 1/21 4 1 4 1 1 11/1 1 sin 2sin cos 4 2 2 2 21 4 1 4 1 11/ 1 1 sin 2sin cos 4 2 2 2 2d ddq dqL mM mM mMqa a qa qamM mM mMmM mMaqa qa qam
35、MmM + = + = + + + + +3.4 设某 三维晶 体光频 声子的 色散关 系为 ( ) 20q Aq = ，试 证明， 其声子谱 密度为( ) ( )120 m in 032 20m in,40,0,VA （ 截止 频率 ） 格波 的阻尼 系数 与 的关 系 .mar cosh2=解： 单原 子链： ( )i qna qtnU Ae = 1q BZ( )12 sin2q qaM = 2m M=当 m 时 1sin 12qa ， q必定 为复数 ，令 1 2q q iq= +( )1 2 1 2 1 21 1 1 1 1sin sin cosh cos sinh2 2 2 2 2m
36、 q iq a qaar qa i qa qa= + = +11cos 02qa = 11 12 2qa h = 1 1 22 nq h Ka a = = 将 1q a= 带入 2 cosh mq i ara a = +( )2 cosh2 cosh1mmi i ar na ta annari i tin na i tn na i tU AeAe e eAe e eA e e + = 2 marcsh = 为指 数衰减 因子 .伊犁师范学院物理科学与技术学院2011届物理专业毕业生论文203.9 Grneisen常量 . ( )( ) ( )2, 2 21 1p n n pn pn U Uef
37、 papa （ a）证 明频率 为 的声 子模的 自由能 为 ln2sinh 2B bKT KT ；（ b）如 果 是体 积的相 对变化 ，则晶 体的自 由能可 以写为( ) ( )21, ln2sinh2 2B q bqF T B KT KT = + 其中 B 体积 的弹性 模量 ， 假定 ( )q 与体 积关系 为 ( )( ) = qqd ， 为 Grneisen常量 ， 如果 认为 与模 无关 ， 证明 ， 当 ( ) ( )2coth21 TKqqB Bq = 时 ， F对 为极小 ，并证 明利用 热能密 度，可 将它写 为 ( )/UT B= ；（ c）根 据 Debye证明 ：
38、lnlnV = .其中 DBK= (解： 考虑频 率为 的声 子模， 配分函 数为120 222 21 .11BB B BBBB BnKTnKT KT KTKTKTKT KTZ ee e eeee e + = = = + + + = = 自由 能： = TKTKzTKF BBB 2sinh2lnln 晶体 的自由 能为： ( ) ( ), ln2sinh2 KB K BFrT Er KT KT = + 伊犁师范学院物理科学与技术学院2011届物理专业毕业生论文21若晶 体体积 改变为 r 则( ) ( ) ( )0, ln2sinh 2KB k Br rFr rT Er r KT KT = +
39、 + = + + ( ) ( ) ( )( ) 2 22 021212EEr r Er rrEr B + = + = + 22 20EB r r = 为体 弹性模 量 . drr=( ) ( )21, ln2sinh2 2KB K Br rF T B KT KT + = + ( ) ( )( ) kk kkk kkk k kr r r drrr rr r r + = + = + = 其中 lnlnK KK Kr r r = = 为 Grneisen常数假定 K 与 k无关 K = ( )( )ln2sinh 21 coth2 20kB KBkkKBr rF B KT KTr rB KT + =
40、 + + = + = ( )coth2 2 KKKBr rB KT + = 其中 ( )K Kr r + =1 coth2 2 KKKBB KT = 平均 热能：伊犁师范学院物理科学与技术学院2011届物理专业毕业生论文22( ) 22 ln2sinh21 coth2 2r VkBK BkkK BFF TUT F T TT TT kT KTKT = = = = 假定 K与 T无关 ( )/UT B=由物 态方程 ln2sinh 2 KB kT BE dEP KTr dr r KT = = 利用 Deby近似 ，将第 二项化 为： ( )22330ln2sinh2coth2 2lncoth2 2 lnDDDB BB B B DD BKT D dKT rqNKT
