2012年江苏高考数学试题解析版(王琪)含解析.doc

1、2012 年江苏省高考数学试卷解析（ 全卷满分 160 分，考试时间 120 分钟）参考公式：棱锥的体积 ，其中 为底面积， 为高13VShh一 、 填 空 题 ： 本 大 题 共 14 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 计 70 分 请 把 答 案 填 写 在 答 题 卡 相 应 位 置 上 1 （ 2012 年江苏省 5 分）已知集合 ， ，则 124A， ， 246B， ， AB【答案】 。,246【考点】集合的概念和运算。【分析】由集合的并集意义得 。1,246AB2 （ 2012 年江苏省 5 分）某 学 校 高 一 、 高 二 、 高 三 年 级 的 学 生 人 数 之 比

2、为 ， 现 用 分 层 抽34:样 的 方 法 从 该 校高 中 三 个年级的学生中抽取容量为 50 的样本，则应从高二年级抽取 名学生【答案】1 5。【考点】分 层 抽 样 。【解析】分 层 抽 样 又 称 分 类 抽 样 或 类 型 抽 样 。 将 总 体 划 分 为 若 干 个 同 质 层 ， 再 在 各 层 内 随机 抽 样 或 机 械 抽 样 ， 分 层 抽 样 的 特 点 是 将 科 学 分 组 法 与 抽 样 法 结 合 在 一 起 ， 分 组 减 小 了 各抽 样 层 变 异 性 的 影 响 ， 抽 样 保 证 了 所 抽 取 的 样 本 具 有 足 够 的 代 表 性 。 因

3、 此 ， 由知 应从高二年级抽取 15 名学生。350=1543 （ 2012 年江苏省 5 分）设 ， （ i 为虚数单位） ，则 的值为 abR， 17i2ab【答案】8。【考点】复数的运算和复数的概念。【分析】由 得 ，所以17ii2ab17i2i15i4i=3i2ab， 。=53， =84 （ 2012 年江苏省 5 分）下图是一个算法流程图，则输出的 k 的值是 【答案】5。【考点】程序框图。【分析】根据流程图所示的顺序，程序的运行过程中变量值变化如下表：是否继续循环 k 25k4循环前 0 0第一圈 是 1 0第二圈 是 2 2第三圈 是 3 2第四圈 是 4 0第五圈 是 5 4

4、第六圈 否 输出 5最终输出结果 k=5。5 （ 2012 年江苏省 5 分）函数 的定义域为 xxf6log21)(【答案】 。0 6和【考点】函数的定义域，二次根式和对数函数有意义的条件，解对数不等式。【解析】根据二次根式和对数函数有意义的条件，得。1266000 612loglog6=xxx6 （ 2012 年江苏省 5 分）现有 10 个数，它们能构成一个以 1 为首项， 为公比的等 比 数 列 ，3若 从 这 10 个 数 中 随 机 抽 取 一 个 数 ， 则 它 小 于 8 的概率是 【答案】 。35【考点】等 比 数 列 ， 概率。【解析】 以 1 为首项， 为公比的等 比 数

5、 列 的 10 个 数 为 1， 3， 9， -27， 其 中 有 5 个 负3数 ， 1 个 正 数 1 计 6 个 数 小 于 8， 从 这 10 个 数 中 随 机 抽 取 一 个 数 ， 它 小 于 8 的概率是 。6=1057 （ 2012 年江苏省 5 分）如 图 ， 在 长 方 体 中 ， ， ，1ABCD3cmABD12cA则四棱锥 的体积为 cm31ABD【答案】6。【考点】正 方 形 的 性 质 ， 棱锥的体积。【解析】 长 方 体 底 面 是 正 方 形 ， 中 cm， 边 上 的 高 是ABCDABD=32BDcm（它也是 中 上的高） 。3211 四棱锥 的体积为 。

6、由3268 （ 2012 年江苏省 5 分）在平面直角坐标系 中，若双曲线 的离心率为xOy214xym，则 的值为 5m【答案】2。【考点】双曲线的性质。【解析】由 得 。214xym22=4=4ambcm， ， ，即 ，解得 。2=5cea209 （ 2012 年江苏省 5 分）如图，在矩形 中， 点 为 的中点，ABCD2BC， ， EB点 在边 上，若 ，则 的值是 FCD2ABFEF【答案】 。2【考点】向量的计算，矩形的性质，三角形外角性质，和的余弦公式，锐角三角函数定义。【解析】由 ，得 ，由矩形的性质，得2ABFcos2ABFAB。cos=D ， ， 。 。22A1D21CF记

7、 之间的夹角为 ，则 。AEBF和 ,EB和 又 点 E 为 BC 的中点， 。2C， 1 =cos=cos=cossinAEBFABFAEBFA ini 1212ECABF。本题也可建立以 为坐标轴的直角坐标系，求出各点坐标后求解。, ABD10 （ 2012 年江苏省 5 分）设 是定义在 上且周期为 2 的函数，在区间 上，()fxR1，其中 若 ，01()2xafxb ， ， ， ab， 13ff则 的值为 3a【答案】 。10【考点】周期函数的性质。【解析】 是定义在 上且周期为 2 的函数， ，即 。()fxR1ff21=ba又 ， ，31=22ffa132ff 。14ba联立，解

8、得， 。 。=. 43=10ab11 （ 2012 年江苏省 5 分）设 为锐角，若 ，则 的值为 4cos65)12sin(a【答案】 。17250【考点】同角三角函数，倍角三角函数，和角三角函数。【解析】 为锐角，即 ， 。02和yx作出（ ）所在平面区域（如图） 。求出 的切和 =xye线的斜率 ，设过切点 的切线为 ， e0Pxy和 0m则 ，要使它最小，须 。0=ymex 的最小值在 处，为 。此时，点 在 上 之间。0xy和e0Pxy和=xe,AB当（ ）对应点 时， ，xy和C=452731xyy 的最大值在 处，为 7。 的取值范围为 ，即 的取值范围是 。yx e和ba 7e

9、和二 、 解 答 题 ： 本 大 题 共 6 小 题 ， 共 计 90 分 请 在 答 题 卡 指 定 区 域 内 作 答 ， 解 答 时 应 写 出 文 字 说 明 、证 明 过 程 或演 算 步 骤 15 （ 2012 年江苏省 14 分）在 中，已知 ABC3ACB（1 ）求证： ；tan3t（2 ）若 求 A 的值5cosC，【答案】解：（1） ， ，即BCcos=3cosABABC。cs=3csA由正弦定理，得 ， 。=sinsincsinc又 ， 。 即0B， sini=3cosA。tan3tB（2） ， 。 。5cos0C， 25sin1Ctan2C ，即 。 。tan2ABta

10、ABttAB由 （1） ，得 ，解得 。24tn31tn= ta3， ， 。 。cos0ta=14【考点】平面微量的数量积，三角函数的基本关系式，两角和的正切公式，解三角形。【解析】 （1）先将 表示成数量积，再根据正弦定理和同角三角函数关系3ABCA式证明。（2）由 可求 ，由三角形三角关系，得到 ，从而5cos， tan tanAB根据两角和的正切公式和（1）的结论即可求得 A 的值。16 （ 2012 年江苏省 14 分）如 图 ， 在 直 三 棱 柱 中 ， ， 分 别 是 棱1BC11BCDE，上 的 点 （ 点 不同于点 ） ，且 为 的中点1BC， DDEF，求证：（1）平面 平

11、面 ；AE1（2）直线 平面 1/F【答案】证明：（1） 是 直 三 棱 柱 ， 平面 。1ABC1CAB又 平面 ， 。DD又 平面 ， 平1E， ， 11E， AD面 。1BC又 平面 ， 平面 平面 。AAE1BC（2） ， 为 的中点， 。11ABCF1B11AFBC又 平面 ，且 平面 ， 。1AF又 平面 ， ， 平面 。1 ， 1111BC由（1）知， 平面 ， 。AD1BC1AFD又 平面 平面 ， 直线 平面, EE1/AE【考点】直线与平面、平面与平面的位置关系。【解析】 （1）要证平面 平面 ，只要证平面 上的 平面 即可。AD1BCAD1BC它可由已知 是 直 三 棱

12、柱 和 证得。1BCE（2）要证直线 平面 ，只要证 平面 上的 即可。/F1FE17 （ 2012 年江苏省 14 分）如 图 ， 建 立 平 面 直 角 坐 标 系 ， 轴 在 地 平 面 上 ， 轴 垂 直 于xoyy地 平 面 ， 单 位 长 度 为 1 千 米 某 炮 位 于 坐 标 原 点 已 知 炮 弹 发 射 后 的 轨 迹 在 方 程表 示 的 曲线上，其中 与发射方向有关炮的射程是指炮弹落地2()(0)0ykxxkk点的横坐标（1 ）求炮的最大射程；（2 ） 设 在 第 一 象 限 有 一 飞 行 物 （ 忽 略 其 大 小 ）， 其 飞 行 高 度 为 3.2 千 米 ，

13、 试 问 它 的 横 坐 标 不a超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由【答案】解：（1）在 中 ， 令 ， 得 。21()(0)0ykxxk0y21()=0kxx由 实 际 意 义 和 题 设 条 件 知 。， ， 当 且 仅 当 时 取 等 号 。2=11xk=1k 炮的最大射程是 10 千 米 。（ 2） ，炮弹可以击中目标等价于存在 ，使0a0k成 立 ，1()=3.0kak即 关 于 的方程 有 正 根 。k22064=aka由 得 。04此时， （不考虑另一根） 。22264=0aak当 不超过 6 千 米 时 ， 炮弹可以击中目标。【考点】函数、方程和基本不等式的应用。【解析】

14、（1）求炮的最大射程即求 与 轴 的 横 坐 标 ， 求 出 后 应 用21()(0)0ykxxkx基本不等式求解。（2）求炮弹击中目标时的横坐标的最大值，由一元二次方程根的判别式求解。18 （ 2012 年江苏省 16 分）若函数 在 处取得极大值或极小值，则称 为函)(xfy0 0x数 的极值点。)(xfy已知 是实数，1 和 是函数 的两个极值点ab， 132()fxabx（1 ）求 和 的值；（2 ）设函数 的导函数 ，求 的极值点；()gx()2gxf()gx（3 ）设 ，其中 ，求函数 的零点个数hfc， ()yh【答案】解：（1）由 ，得 。32()xabx2()3fxab1 和

15、 是函数 的两个极值点，32()f ， ，解得 。()32=0fab1)=0fab=3ab，（2） 由（1）得， ，3()fx ，解得 。2()21gxx123x，当 时， ；当 时， ， 是 的极值点。=2x当 或 时， ， 不是 的极值点。21()0gx=1x()g 的极值点是2。()g（3 ）令 ，则 。=fxt()hxftc先讨论关于 的方程 根的情况：=d2, d当 时，由（2 ）可知， 的两个不同的根为 I 和一 2 ，注意d()fx到 是奇函数， 的两个不同的根为一和 2。()fx()=fx当 时， ，2d，(1)=()0fdf一 2 , 1，1 ，2 都不是 的根。()fx由（

16、1）知 。()=31fx 当 时， ，于是 是单调增函数，从而2和()0fx()fx。()2=fx此时 在 无实根。()=fxd和 当 时 ，于是 是单调增函数。1 2()0fx()fx又 ， ， 的图象不间断，()fdd=yd 在（一 1，1 ）内有唯一实根。=x因此，当 时， 有两个不同的根 满足 ；当2d()fxd12x， 12= x，时2d， ， ， ， ， 。2 21211=0=x myymy 。2222222111 1=01mAFxyym同理， 。222=BF（i）由得， 。解 得 =2。2121mAFB216=m2注意到 ， 。0m=直线 的斜率为 。12（ii）证明： ， ，即

17、1AF2B21FPA。21111BFPPA 。12=AFB由点 在椭圆上知， ， 。12122=AFPB同理。 。211=BFPAA 12 2122121 1+= 2AF AFBPBF 由得， ， ，12=m2=m 。123+PF 是定值。【考点】椭圆的性质，直线方程，两点间的距离公式。【解析】 （1）根据椭圆的性质和已知 和 都在椭圆上列式求解。(1)e， 32，（2）根据已知条件 ，用待定系数法求解。126AFB20 （ 2012 年江苏省 16 分）已知各项均为正数的两个数列 和 满足：nab， ，21nnba*N（1 ）设 ， ，求证：数列 是等差数列；nnab1*N2nba（2 ）设

18、 ， ，且 是等比数列，求 和 的值nn21 n1b【答案】解：（1） ， 。nab1122=1nnaba 。 21nnba。22111*nnnnbbNaa数列 是以 1 为公差的等差数列。2n（2 ） ， 。0nnab， 222nnnabq=1q若 则 ，当 时， ，与1,q2=（）矛盾。若 则 ，当 时， ，与01,q2=1a1logqna1naqa23b又由 即 ，得 。21nnba12nab211=na 中至少有两项相同，与 矛盾。 。23b和 131 。22=1n 。12ab【考点】等差数列和等比数列的基本性质，基本不等式，反证法。【解析】 （1）根据题设 和 ，求出 ，从而21nn

19、ba nab121nnba证明 而得证。21nnba（2）根据基本不等式得到 ，用反证法证明等比数列12nab的公比 。na=1q从而得到 的结论，再由 知 是公比是 的等比数1*anN112=nnnbab12a列。最后用反证法求出 。12=b数学( 附加题)21 选做题 本题包括 A、 B、 C、 D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答 若多做，则按作答的前两题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤A 选修 4 - 1：几何证明选讲 （2012 年江苏省 10 分）如图， 是圆 的直径， 为ABO,DE圆上位于 异侧的两点，连结 并延长至点 ，使 ，连结 BBCD,C求证

20、： EC【答案】证明：连接 。AD 是圆 的直径， （直径所对的圆周角是直角） 。BO09ADB （垂直的定义） 。又 ， 是线段 的中垂线（线段的中垂线定义） 。CC （线段中垂线上的点到线段两端的距离相等） 。AB （等腰三角形等边对等角的性质） 。又 为圆上位于 异侧的两点，,DEAB （同弧所对圆周角相等） 。B （等量代换） 。C【考点】圆周角定理，线段垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的性质。【解析】要证 ，就得找一个中间量代换，一方面考虑到 是同弧所对圆周EBE和角，相等；另一方面由 是圆 的直径和 可知 是线段 的中垂线，从而根据线段中垂线ABOBDCAC上的点到线段两端的距离

21、相等和等腰三角形等边对等角的性质得到 。从而得证。BC本题还可连接 ，利用三角形中位线来求证 。B 选修 4 - 2：矩阵与变换 （2012 年江苏省 10 分）已知矩阵 的逆矩阵 ，A1342求矩阵 的特征值 A【答案】解： ， 。1=E1A ， 。1342A12 3A=矩阵 的特征多项式为 。2 =3421f令 ，解得矩阵 的特征值 。=0fA2和【考点】矩阵的运算，矩阵的特征值。【解析】由矩阵 的逆矩阵，根据定义可求出矩阵 ，从而求出矩阵 的特征值。A AC选修 4 - 4：坐标系与参数方程 （2012 年江苏省 10 分）在 极 坐 标 中 ， 已 知 圆 经 过 点C， 圆 心 为

22、直 线 与 极 轴 的 交 点，求圆 的极坐标方程2P， 3sin2【答案】解：圆 圆 心 为 直 线 与 极 轴 的 交 点，Csi3 在 中 令 ， 得 。sin32=01 圆 的圆心坐标为（1 ，0） 。C圆 经 过 点 ， 圆 的半径为4P， C。212cos=1P 圆 经 过 极 点 。 圆 的极坐标方程为 。C=2cos【考点】直线和圆的极 坐 标 方 程 。【解析】根 据 圆 圆 心 为 直 线 与 极 轴 的 交 点求出的圆心坐标；根据圆3sin2经 过 点 求 出 圆 的半径。从而得到圆 的极坐标方程。C24P， CCD 选修 4 - 5：不等式选讲 （2012 年江苏省 1

23、0 分）已知实数 x，y 满足：求证： 11|36xyxy， ， 5|18y【答案】证明： ，|=3|2|2xyxy由题设 。 。 11|2|36xyxy， ， 153|=6y|18y【考点】绝对值不等式的基本知识。【解析】根据绝对值不等式的性质求证。【 必 做 题 】 第 22 题 、 第 23 题 ， 每 题 10 分 ， 共 计 20 分 请 在 答 题 卡 指 定 区 域 内 作 答 ， 解 答 时 应 写 出文字说明、证明过程或演算步骤22 （ 2012 年江苏省 10 分）设 为 随 机 变 量 ， 从 棱 长 为 1 的 正 方 体 的 12 条 棱 中 任 取 两 条 ， 当

24、两条 棱 相 交 时 ， ； 当 两条棱平行时， 的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，01（1）求概率 ；()P（2）求 的 分 布 列 ， 并 求 其 数 学 期 望 ()E【答案】解：（1）若两条棱相交，则交点必为正方体 8 个顶点中的一个，过任意 1 个顶点恰有 3 条棱，共有 对相交棱。238C 。2134(0)=6P（ 2） 若 两条棱平行，则它们的距离为 1 或 ， 其 中 距离为 的 共 有 6 对 ，22 ，21()=PC。416(1)=(0)(2)=PP随机变量 的 分 布 列 是：0 1 2()P4161其 数 学 期 望 。 62=2=1E【考点】概率分布、数学期望等

25、基础知识。【解析】 （1）求出两条 棱 相 交 时 相交棱的对数，即可由概率公式求得概率 。(0)P（ 2） 求出两条 棱 平行 且 距离为 的 共 有 6 对 ， 即 可 求 出 ，从而求出2(2)P（两条 棱 平行且 距离为 1 和 两条棱异面） ，因此得到随机变量 的 分 布 列 ， 求 出 其 数 学(1)P期 望 。23 （ 2012 年江苏省 10 分）设集合 ， 记 为同时满足下列条2nPn， ， ，*N()fn件的集合 的个数：A ；若 ，则 ；若 ，则 。nPxxAACxnpxnp2（1 ）求 ；(4)f（2 ）求 的解析式（用 表示） nn【答案】解：（1）当 时，符合条件

26、的集合 为： ，=4A21,42,31,4， ， ， =4。 ()f( 2 ）任取偶数 ，将 除以 2 ，若商仍为偶数再除以 2 ， 经过 次nxP k以后商必为奇数此时记商为 。于是 ，其中 为奇数 。m=kxAm*kN由条件知若 则 为偶数；若 ，则 为Ax奇数。于是 是否属于 ，由 是否属于 确定。x设 是 中所有奇数的集合因此 等于 的子集个数。nQP()fnnQ当 为偶数 或奇数）时， 中奇数的个数是 （ ） 。nP21 。21()=nf为 偶 数为 奇 数【考点】集合的概念和运算，计数原理。【解析】 （1）找出 时，符合条件的集合个数即可。=4n（2）由题设，根据计数原理进行求解。