1、范老师如图，在平面直角坐标系中，ABC 是直角三角形，ACB=90，AC=BC ，OA=1 ，OC=4 ，抛物线y=x2+bx+c 经过 A，B 两点，抛物线的顶点为 D（1 ）求 b，c 的值；（2 ）点 E 是直角三角形 ABC 斜边 AB 上一动点（点 A、B 除外） ，过点 E 作 x 轴的垂线交抛物线于点 F，当线段 EF 的长度最大时，求点 E 的坐标；（3 ）在（2 ）的条件下：求以点 E、B、F 、D 为顶点的四边形的面积；在抛物线上是否存在一点 P，使EFP 是以 EF 为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点 P 的坐标；若不存在，说明理由范老师41在平面直角坐标系中，已知
2、抛物线经过 A（-4，0） ，B（0，-4） ，C（2，0）三点 （1）求抛物线的解析式；（2 ）若点 M 为第三象限内抛物线上一动点，点 M 的横坐标为 m，AMB 的面积为 S、求 S 关于 m 的函数关系式，并求出 S 的最大值（3 ）若点 P 是抛物线上的动点，点 Q 是直线 y=-x 上的动点，判断有几个位置能够使得点 P、Q、B、O 为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点 Q 的坐标(4)补充：在（3）的条件下，点 P、Q、B、O 为顶点的四边形能否成为梯形，若能，求出相应 Q 的坐标。范老师直角坐标系 XOY 中，将直线 y=kx 沿 y 轴下移 3 个单位长度后恰好经点
3、B（-3,0）及 y 轴上的 C 点。若抛物 y=-x2+bx+c 与 x 轴交于 A 点 B 点， （点 A 在点 B 的右侧） ，且过点 C 。（1 ）求直线 BC 及抛物线解析式（2 ）设抛物线的顶点为 D，点 P 在抛物线的对称轴上，且APD=ACB，求 p 点坐标范老师如图，已知抛物线 y=x2+bx+c 与 x 轴交于 A，B 两点（A 点在 B 点左侧） ，与 y 轴交于点 C（0 ， -3） ，对称轴是直线 x=1，直线 BC 交抛物线对称轴交于点 D.（1 ）求抛物线的函数表达式；（2 ）求直线 BC 的函数表达式； （3 ）点 E 为 y 轴上一动点， CE 的垂直平分线交
4、 CE 于点 F，交抛物线于 P，Q 两点，且点 P 在第三象限.当线段 PQ=3AB/4 时，求 tanCED 的值；当以点 C，D，E 为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点 P 的坐标.温馨提示：考生可以根据第（3）问的题意，在图中补出图形，以便作答 .第 25 题图 第 25 题备用图范老师直角坐标系 XOY 中，半径 25 的C 与 x 轴交于 A（-1，0） ，B（3 ，0）且点 C 在 X 轴上方。（1 ） 求圆心 C 的坐标。 （Xc=1, c(1,4)）（2） 已知一个二次函数的图像过 A、B、C 三点。求解析式. (y=-(x+1)(x-3)（3） 设点 P 在 y 轴
5、上，点 M 在（2 ）的二次函数图像上，如果以点 P、M 、A 、B 为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点 M 坐标。范老师26.如图，在平面直角坐标系中，ABC 是直角三角形，ACB=90，AC=BC，OA=1，OC=4，抛物线 y=x2+bx+c 经过 A，B 两点，抛物线的顶点为 D（1）求 b，c 的值；（2）点 E 是直角三角形 ABC 斜边 AB 上一动点（点 A、B 除外） ，过点 E 作 x 轴的垂线交抛物线于点 F，当线段 EF 的长度最大时，求点 E 的坐标；（3）在（2）的条件下：求以点 E、B、F、D 为顶点的四边形的面积；在抛物线上是否存在一点 P，使EFP 是以
6、EF 为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P 的坐标；若不存在，说明理由范老师分析：（1）由ACB=90，AC=BC，OA=1，OC=4 ，可得 A（1，0）B（4 ，5） ，然后利用待定系数法即可求得 b，c 的值；（2）由直线 AB 经过点 A（1，0 ） ，B （4，5） ，即可求得直线 AB 的解析式，又由二次函数 y=x22x3，设点 E（t ，t+1 ） ，则可得点 F 的坐标，则可求得 EF 的最大值，求得点 E 的坐标；（3 ） 顺次连接点 E、B 、F 、D 得四边形 EBFD，可求出点 F 的坐标（ ， ） ，点 D 的坐标为（1 ， 4）由 S 四边形 EBFD=SB
7、EF+SDEF 即可求得；过点 E 作 aEF 交抛物线于点 P，设点 P（m，m2 2m3） ，可得 m22m2=5/2，即可求得点 P 的坐标，又由过点 F 作 bEF 交抛物线于 P3，设 P3（n ，n2 2n3） ，可得 n22n2=15/4，求得点 P 的坐标，则可得使EFP 是以 EF 为直角边的直角三角形的 P 的坐标解答：解：（1）由已知得： A（ 1，0） ，B（4 ，5） ，二次函数 y=x2+bx+c 的图象经过点 A（1 ，0） ，B（4，5） ， ，解得：b=2 ，c= 3；（2 ）如图：直线 AB 经过点 A（ 1，0 ） ，B （4 ，5） ，直线 AB 的解析
8、式为：y=x+1 ， 二次函数 y=x22x3，设点 E（t， t+1） ，则 F（t，t2 2t3） ，EF=（t+1）（t2 2t3）= （t3/2）2+25/4 ，当 t=3/2 时，EF 的最大值为 25/4，点 E 坐标（3/2，5/2） ；（3 ） 如图：顺次连接点 E、B、F 、D 得四边形 EBFD可求出点 F 的坐标（ 3/2，-15/4） ，点 D 的坐标为（1 ，4）S 四边形 EBFD=SBEF+SDEF= （4 ）+ （ 1）= ；如图：）过点 E 作 aEF 交抛物线于点 P，设点 P（m，m2 2m3）则有：m22m2= ，解得： m1= ，m2= ，范老师41P
9、1 （ ， ） ，P2 （ ， ） ，）过点 F 作 bEF 交抛物线于 P3，设 P3（n ，n2 2n3）则有：n2 2n2=15/4，解得：n1=1/2，n2=3/2（与点 F 重合，舍去） ，P 3（ ， ） ，综上所述：所有点 P的坐标：P1 （ ， ） ，P2（ ， ） ，P3（ ， ）能使EFP 组成以 EF 为直角边的直角三角形点评：此题考查了待定系数法求二次函数的解析式，四边形与三角形面积问题以及直角三角形的性质等知识此题综合性很强，解题的关键是注意方程思想与数形结合思想的应用23、 （ 2010 河南）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过 A（-4 ，0 ） ，B（0，-4）
10、 ，C（2，0）三点 （1）求抛物线的解析式；（2 ）若点 M 为第三象限内抛物线上一动点，点 M 的横坐标为 m，AMB 的面积为 S、求 S 关于 m 的函数关系式，并求出 S 的最大值（3 ）若点 P 是抛物线上的动点，点 Q 是直线 y=-x 上的动点，判断有几个位置能够使得点 P、Q、B、O 为顶 点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点 Q 的坐标(4)补充： 在（3）的条件下，点 P、Q、B、O 为顶点的四边形能否成为梯形， 若能，求出相应 Q 的坐标。范老师-(2011 上海奉贤区 P34)直角坐标系 XOY 中，将直线 y=kx 沿 y 轴下移 3 个单位长度后恰好经点 B（
11、-3,0）及 y 轴上的 C 点。若抛物 y=-x2+bx+c 与 x 轴交于 A 点 B 点， （点 A 在点 B 的右侧） ，且过点 C 。（1）求直线 BC 及抛物线解析式（2）设抛物线的顶点为 D，点 P 在抛物线的对称轴上，且APD=ACB，求 p 点坐标范老师BA OCD11x=1xyEFP QG-25. （沈阳市 2011 年 p36）如图，已知抛物线 y=x2+bx+c 与 x 轴交于 A，B 两点（A 点在 B 点左侧） ，与 y轴交于点 C（0， -3） ，对称轴是直线 x=1，直线 BC 交抛物线对称轴交于点 D.（1 ）求抛物线的函数表达式；（2 ）求直线 BC 的函数
12、表达式； （3 ）点 E 为 y 轴上一动点， CE 的垂直平分线交 CE 于点 F，交抛物线于 P，Q 两点，且点 P 在第三象限. 当线段 PQ=3AB/4 时，求 tanCED 的值；当以点 C，D，E 为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点 P 的坐标.-25 抛物线的对称轴为直线 x=1， 12ba b=2抛物线与 y 轴交于点 C（0，3） ， c=3，抛物线的函数表达式为 y=x22 x3抛物线与 x 轴交于 A、 B 两点，当 y=0 时， x22 x3=0 x1=1, x2=3. A 点在 B 点左侧， A（1，0） ， B（3，0）设过点 B（3，0） 、 C（0，3）
13、的直线的函数表达式为 y=kx m，则 ， 直线 BC 函数表达式为 y=x3kmk范老师 AB=4， PO= AB， PO=334 PO y 轴 PO x 轴，则由抛物线的对称性可得点 P 的横坐标为 ，12 P（ ， ） F（0， ） ， FC=3 OF=3 = PO 垂直平分 CE 于点 F，127474745 CE=2 FC= 点 D在直线 BC 上，当 x=1 时， y=2，则 D（1，2） 5过点 D 作 DG CE 于点 G， DG=1， CG=1， GE=CE CG= 1= 3在 Rt EGD 中， tan CED= 23E P1（1 ，2） ， P2（1 ， ） 65直角坐标系 XOY 中，半径 25 的C 与 x 轴交于 A（-1，0） ，B（ 3，0 ）且点 C 在 X 轴上方。求圆心 C 的坐标。 （Xc=1, c(1,4)）（1 ）已知一个二次函数的图像过 A、B、C 三点。求解析式. (y=-(x+1)(x-3)（2 ）设点 P 在 y 轴上，点 M 在（2）的二次函数图像上，如果以点P、M 、A、B 为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点 M 坐标。
