1、广义不变子空间的性质 李煜彦 陇南师范高等专科学校数信学院 摘 要： 给出了广义不变子空间的概念, 它是不变子空间的一个推广.文中讨论了广义不 变子空间的交与直和, 得到了判断广义不变子空间的一个方法, 进而讨论了广 义不变子空间与特征向量之间的关系. 关键词： 向量空间; 不变子空间; 广义不变子空间; 特征向量; 作者简介： 李煜彦, 甘肃西和人, 陇南师范高等专科学校数信学院讲师 (甘肃成 县742500) . 基金：陇南师范高等专科学校教学改革项目 (JXGG201714) ;陇南师范高等专科 学校校级科研项目 (2016LSZK02002) 不变子空间是线性变换中一个非常重要的概念,
2、 它在方程的求解、矩阵的特征 根、 矩阵的对角化、 向量空间的直和分解等方面都有非常广泛的应用1.近年来, 有许多学者研究了不变子空间及其方法的应用.2008年, 王波研究了不变子空 间的性质2;2014 年, 谭尚旺研究了线性变换不变子空间直和分解定理 3;2017 年, 张亚敏研究了广义的五阶 Kd V 方程的不变子空间4.这些结果都 是在单个线性变换下考虑问题的. 本文以不变子空间的概念为基础, 考虑在任意线性变换下研究相关问题, 给出 了广义不变子空间的定义, 得到了广义不变子空间的性质和判断方法, 讨论了 广义不变子空间与特征向量之间的关系.设 V是数域F上的向量空间, 我们可以 得
3、到两个重要结论: (1) 若W是V的子空间, 1, 2, , r是 W的基.则W 是V的广义不变子空间的充要条件是对任意 S, (1) , (2) , , (r) 在 W中; (2) 设dim V=n, 若W是V的广义不变子空间, 则对任意 S, W必包含的一个特征向量. 1 预备知识 定义11设是数域F上向量空间V的一个线性变换, W是V的一个子空间, 若 W中向量在下的像仍在 W中, 则称W是 的一个不变子空间. 定义21设V是数域 F上的向量空间, L (V) .若对F中的数, 存在V 的一个非零向量, 使得 () =, 则称是线性变换的特征值, 称为 的属于本征值 的特征向量. 定义3
4、 设 S是数域 F上的向量空间V的所有线性变换所成的集合, W 是V的一个 子空间, 称W是V的广义不变子空间, 如果对任意 S, 都有 (W) W. 显然, 若W是V的广义不变子空间, 则W是V的不变子空间, 向量空间V本身和 零子空间是V的广义不变子空间. 本文除特别说明外, FV均指的是数域F上的向量空间.S均指的是数域 F上的向 量空间V的所有线性变换所成的集合. 下面给出广义不变子空间若干性质和重要定理. 2 主要结果 性质1 设 W1和W2是 FV的广义不变子空间, 则以下结论成立. (1) 是V的广义不变子空间; (2) W1W2是V的广义不变子空间. 证明 (1) 对任意S,
5、因为 W1和W2都是 V的广义不变子空间, 故有 又因为 , 所以 从而 是V的广义不变子空间. (2) 容易得出 , 即W1W2是V 的广义不变子空间. 根据性质1, 我们容易得到下面的结论. 性质2 设 W1, W2, , Wn是 FV的广义不变子空间, 则以下结论成立. (1) 是 FV的广义不变子空间; (2) i=1Wi是 FV的广义不变子空间. 下面结论将说明广义不变子空间关于子集具有遗传性质. 性质3 设 V是数域 F上的向量空间, XYV.若X是Y的广义不变子空间, Y是V 的广义不变子空间, 则X是V的广义不变子空间. 证明对任意S, 有 (Y) Y.下证 (X) X. 令g
6、=|Y:YY.则易知g是Y上的线性变换, 且gS.由于X是Y上的广义不变 子空间, 因此g (X) X, 从而 (X) =|Y (X) = 下面给出一种判断广义不变子空间的方法. 定理1 设 V是数域 F上的向量空间, W是V 的子空间, 1, 2, , r是W 的基.则 W是V的广义不变子空间的充要条件是对任意 S, (1) , (2) , , (r) 在W中. 证明必要性.设W是 V的广义不变子空间, 则对任意 S, 都有 (W) W.而充分性.设是W中的任意向量, 则存在数域 F的数k1, k2, , kr使得 于是有 而由条件知 (1) , (2) , , (r) 都是W中的向量, 所
7、以 () W.因此, W是V的广义不变子空间. 引理15设1, 2, , r是n维向量空间 FV的一组线性无关的向量, 那 么总可以添加n+r个向量 r+1, , n, 使 1, 2, , r, r+1, , n 作成V 的一个基. 定理2 设 V是复数域 F上的向量空间, 且dim V=n.若W是V的广义不变子空间, 则任意S, W必包含 的一个特征向量. 证明令dim W=r.取 W的一个基 1, 2, , r, 由引理1知, 可以将 W的基 1, 2, , r扩充为 V的基1, 2, , r, r+1, , n.对任意 S, 由于有 (W) W.所以有 其中, , A1是 |W关于 W的
8、基1, 2, , r的矩阵.在复数域F上Ai (i=1, 2) 的特征根也是A的特征根, 取其中的一个为, 令X01是 (Ir-A1) X=0 一个非零解向量. 即X0是 (In-A) X=0 的非零解向量. 取= (1, 2, , r, r+1, , n) X0= (1, 2, , n) X01W, 则 即是 的属于特征根 的一个特征向量, 从而结论得证. 3 结论 本文以不变子空间的概念为基础, 给出了广义不变子空间的定义, 讨论了广义 不变子空间交、直和、遗传等性质和判断方法.得到了广义不变子空间关于交与 直和都是封闭的, 关于子集具有遗传性质, 同时提出了广义不变子空间的一个 充要条件
9、.另外, 文中还讨论了广义不变子空间与特征向量之间的关系, 得出了 对于数域F上n维向量空间 V, 若W是V的广义不变子空间, 则任意 S, W 必包含的一个特征向量. 不变子空间已经有很广泛的应用, 受到了许多作者的关注.关于本文定义的广义 不变子空间是否有类似很好的应用将是我们后续关注的问题. 参考文献 1北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数M.北京:高等教育出 版社, 2003. 2王波.不变子空间的一个性质J.大学数学, 2008, 22 (4) :182-183. 3谭尚旺.线性变换不变子空间直和分解定理注J.高等数学研究, 2014, 17 (4) :25-26. 4张亚敏.广义的五阶 KdV方程的不变子空间J.首都师范大学学报, 2017, 38 (3) :19-22. 5张禾瑞, 郝鈵新.高等代数M.北京:高等教育出版社, 1983.
