1、1如何进行人员分配“A 公司”是一家从事建筑工程的公司，现有 41 个专业技术人员，其结构和相应的工资水平分布如表 1 所示：表 1 人员结构及工资情况目前，公司承接 4 个工程项目，其中 2 项是现场施工，分别在 A 地和 B 地，主要工作在现场完成；另外 2 项是工程设计，分别在 C 地和 D 地，主要工作在办公室完成。由于 4 个项目来源于不同客户，并且工作的难易程度不同，因此，各项目的合同对有关技术人员的收费标准不同，具体情况如表 2：表 2 不同项目和各种人员的收费标准人员项目 高级工程师 工程师 助理工程师 技术员A 1000 800 600 500B 1500 800 700 6
2、00C 1300 900 700 400收费（元/天）D 1000 800 700 500为了保证工程质量，各项目中必须保证专业人员结构符合客户的要求，具体情况如表 3 所示：表 3 各项目对专业技术人员结构的要求项目人员 A B C D高级工程师 13 25 2 12工程师 2228助理工程师 1技术员 31总计 068人员工资情况 高级工程师 工程师 助理工程师 技术员人数 9 17 10 5日工资（元） 250 200 170 1102说明：（1）项目 D，由于技术要求较高，人员配备必须是助理工程师以上，技术员不能参加；（2）高级工程师相对稀少，而且是保证质量的关键，因此，各项目客户对高
3、级工程师的配备要求不能少于一定数目的限制。各项目对其他专业人员也有不同的限制或要求；（3）各项目客户对总人数都有限制；（4）由于 C，D 两项目是在办公室完成，所以每人每天有 50 元的管理费开支；由于收费是按人工计算的，而且 4 个项目总共同时最多需要的人数是10+16+11+18=55，多于公司现有人数 41，应如何合理地分配现有的人员力量，使公司每天的直接受益最大？32011 年高教社杯全国大学生数学建模竞赛选拔赛题 目 如何进行人员分配 摘 要人力资源管理是一个公司进行人力资源分配的重要工作，合理地安排人力资源，能够为企业带来最大的经济效益。公司不只要对现有的人员进行任务分配，还要使公
4、司的人力资源结构保持一个科学的比例。本模型旨在为 A 建筑公司提供一个良好的人员分配方案，达到公司获利最大的目的，以及怎样在以后的人员招聘中使人力资源结构保持一个良好的比例。在公司现有的情况下，通过分析各种影响因素，排除掉一些不必要的干扰因素，运用整数线性规划和分支定界法的知识建立数学模型，并使用 LINGO 软件进行编程求解，得出公司人员分配的最佳方案。在对本模型优缺点评价之后，根据公司可能会采取临时招聘技术人员的情况，对模型进行了改进，通过模型计算，为公司提供了一个合理的人员招聘方案。关键字：线性规划，人员分配，最大收益，LINGO 软件目录一、问题重述二、问题分析三、问题假设四、模型建立
5、五、模型求解六、结果分析七、模型评价八、模型改进九、附录4一、问题重述企业的人力资源管理是一门科学，而人力资源管理最主要的任务是如何把企业现有的人力资源安排到合适的工作岗位，以使企业能够获得更高的经济效益。尤其是在人力资源稀缺的情况下，合理的安排各人员的任务更是显得至关重要。接下来我们将要解决的就是一个企业人员分配的问题。在这个问题中，A 建筑工程公司有高级工程师、工程师、助理工程师、技术员等四种不同级别的工作人员，并且公司同时承接了 A、B、C、D 四个不同的工程项目。公司不同级别的技术人员的工资是固定不变的，各级别技术人员的数量也是一定的，为了保证工程质量，各项目中必须保证专业人员结构符合
6、客户的要求，在各项目的收费标准也是一定的情况下，合理的安排现有的技术人员的任务，将使公司获得一个最大的利润。那么，为了获得最大收益，A 公司到底应该如何把这四种不同级别的技术人员安排到四个不同的项目中去呢？本文中，我们将重点对该问题进行分析。二、问题分析该问题的任务是，通过合理分配人员，使公司每天的直接收益最大。公司的主要收入来源是对各项目所收取的费用，支出主要有两项：四种不同级别的技术人员的工资和项目期间的办公费用。公司的直接收益是总收入减去总支出。A 公司对各个项目的不同技术人员的收费标准都高于对应技术人员的总支出费用。我们可以得出不同项目对应不同级别技术人员的利润表如下：人员项目 高级工
7、程师 工程师 助理工程师 技术员A 750 600 430 390B 1250 600 530 490C 1000 650 480 240利润（元/天）D 700 550 480 340注：该表中的利润值是已经减去办公费用的值同时，技术人员的分配受到不同项目对技术人员结构要求的约束，由于公司人员有限，各项目的技术人员安排不可能同时达到所需的最大数量，我们要将现有的 41 名技术人员对最大 55 个可用岗位进行安排。5从以上分析结果，我们可以确定这是一个线性规划问题，对公司现有的各级别技术人员进行合理的任务安排，可以使公司获得一个最大利润。接下来，我们就将问题转化到如何将 A 公司各级别技术人员
8、安排到 55 个岗位上来，使公司获得最大利润。三、问题假设1、公司的现有技术人员数量和结构保持不变，即公司不会再临时招聘专业技术人员；2、一旦任务分配好之后，不会再出现人员变动的情况，并且不可能出现同一个技术人员同时担任两个项目的工作；3、对项目的收费标准和专业技术人员的工资水平保持不变；4、排除人员因生病、请假等不能正常工作的情况，排除天气对项目进行的影响；5、假设四个项目工期相同，即四个项目每天都在同时运行。四、模型建立1、决策变量：对各项目分配的技术人员数目设如下变量：项目人员数目A B C D高级工程师 x11 x12 x13 x14工程师 x21 x22 x23 x24助理工程师 x
9、31 x32 x33 x34技术员 x41 x42 x43 x442、目标函数：设公司每天的利润为M元，根据利润表和人员分配表，公司每天的总利润可以表示为：M=750*x11+1250*x12+1000*x13+700*x14+600*x21+600*x22+650*x23+550*x24+6430*x31+530*x32+480*x33+480*x34+390*x41+490*x42+240*x43+340*x443、约束条件：（1) 各项目的不同技术人员数量约束如下：1x1132x125x13=21x142x212x222x2322x248x312x322x332x341x411x423x
10、431x44=0（2）各项目安排的总人员约束如下：x11+x21+x31+x4110x12+x22+x32+x4216x13+x23+x33+x4311x14+x24+x34+x4418（3）各级别技术人员总数约束如下：x11+x12+x13+x149x21+x22+x23+x2417x31+x32+x33+x34107x41+x42+x43+x445五、模型求解对于这种整数规划类型的问题，可以用分支定界法来进行求解。但是由于该模型的变量比较多，用分支定界法进行手工求解是比较麻烦的，而 lingo 软件求解整数规划问题时，正是基于这种方法，所以我们可以借助 lingo 软件进行求解。编写 li
11、ngo 程序如下：model:max=750*x11+1250*x12+1000*x13+700*x14+600*x21+600*x22+650*x23+550*x24+430*x31+530*x32+480*x33+480*x34+390*x41+490*x42+240*x43+340*x44;x11+x12+x13+x14=1;x11=2;x12=1;x14=2;x22=2;x23=2;x24=2;x24=2;x32=2;x33=2;x34=1;x41=1;x42=3;x43=1;8x44=0;End运行程序（运行结果见附录一） ，求得最优解为 27150 元，即为公司每天最大直接收益。各
12、项目的专业技术人员最优分配表如下：项目人员 A B C D 总计高级工程师 1 5 2 1 9工程师 6 3 6 2 17助理工程师 2 5 2 1 10技术员 1 3 1 0 5总计 10 16 11 4 41六、结果分析从运行结果（详见附录一）可以看出，公司的 41 名技术人员都能分配到任务，且完全符合各项目对技术人员结构的要求。而且，从其“影子价格”一栏可得知，在其他条件不变的情况下，每增加一名高级工程师，公司的最大直接收益就增加 700 元；每增加一名工程师，公司的最大直接收益就增加 550 元；每增加一名助理工程师，公司的最大直接收益增加 480 元；每增加一名技术员，公司的最大直接
13、收益增加 440 元。因此，在不影响公司正常业务的情况下，应减少助理工程师和技术员的人数，增加高级工程师和工程师的人数，以使公司获得最大的直接收益。七、模型评价1模型优点：（1）该模型对问题用线性规划进行分析，而且列出了利润表对问题进行简化，使得问题变得简单，也减少了模型变量的数量，使得分析问题变得简单；（2）模型用 lingo 软件进行求解，通过影子价格来分析问题，简化了手工计算的工作量；（3）结果分析了各级别技术人员数量增加时对企业利润的影响，给人力资源结9构调整作了一个参照，以及今后公司扩展业务时应该招聘的人员比例。2模型缺点：（1）本模型忽略了实际作业时的多种因素，例如天气、人员缺勤等
14、不确定因素；（2）本模型未对公司实际作业时的其他支出进行考虑，如购买工具、设备折旧等；（3）当公司招聘临时技术人员时，会对公司利润造成影响，本模型未对其进行考虑。八、模型改进针对模型的以上缺点，我们对其进行了以下改进：四个项目同时要求的总人数为55人，而公司实际人口为41人，如果公司招聘更多的技术人员会使利润增加，但应该招多少高级工程师、工程师、助理工程师和技术员，才能使公司的直接收益最大呢？下面我们对此问题进行求解。假设其他条件不变，新招聘的技术人员的工资标准和现有人员的相同。我们编写如下lingo程序并进行求解：model:max=750*x11+1250*x12+1000*x13+700
15、*x14+600*x21+600*x22+650*x23+550*x24+430*x31+530*x32+480*x33+480*x34+390*x41+490*x42+240*x43+340*x44;x11+x21+x31+x41=1;x11=2;x12=1;x14=2;x22=2;x23=2;x24=2;x24=2;x32=2;x33=2;x34=1;x41=1;x42=3;x43=1;x44=0;End结果（详见附录二）显示：当招录高级工程师 3 人，工程师 7 人，助理工程师4 人时，公司的直接收益最大，且最大收益为 35020 元。各项目的专业技术人员最优分配表如下：项目人员 A B
16、 C D 总计高级工程师 3 5 2 2 12工程师 4 6 6 8 24助理工程师 2 2 2 8 14技术员 1 3 1 0 5总计 10 16 11 18 55表中的各级别的技术人员比例是最优的人员配置，当 A 公司保持这种人员比例时，会使公司的利润最大化。这就给今后公司的进行人员招聘提供了一个11比较科学的参照。九、附录附录一：原模型运行结果Global optimal solution found.Objective value: 27150.00Total solver iterations: 7Variable Value Reduced CostX11 1.000000 0.0
17、00000X12 5.000000 0.000000X13 2.000000 0.000000X14 1.000000 0.000000X21 6.000000 0.000000X22 3.000000 0.000000X23 6.000000 0.000000X24 2.000000 0.000000X31 2.000000 0.000000X32 5.000000 0.000000X33 2.000000 0.000000X34 1.000000 0.000000X41 1.000000 0.000000X42 3.000000 0.000000X43 1.000000 0.000000X
18、44 0.000000 0.000000Row Slack or Surplus Dual Price1 27150.00 1.0000002 0.000000 700.00003 0.000000 550.00004 0.000000 480.00005 0.000000 440.00006 0.000000 50.000007 0.000000 50.000008 0.000000 100.00009 14.00000 0.00000010 0.000000 0.00000011 2.000000 0.00000012 3.000000 0.00000013 0.000000 500.00
19、0014 0.000000 200.000015 0.000000 0.00000016 1.000000 0.0000001217 4.000000 0.00000018 1.000000 0.00000019 4.000000 0.00000020 0.000000 0.00000021 6.000000 0.00000022 0.000000 -100.000023 3.000000 0.00000024 0.000000 -100.000025 0.000000 0.00000026 0.000000 -100.000027 0.000000 0.00000028 0.000000 -
20、300.000029 0.000000 -100.0000附录二：改进后模型运行结果：Global optimal solution found.Objective value: 35020.00Total solver iterations: 0Variable Value Reduced CostX11 3.000000 0.000000X12 5.000000 0.000000X13 2.000000 0.000000X14 2.000000 0.000000X21 4.000000 0.000000X22 6.000000 0.000000X23 6.000000 0.000000X2
21、4 8.000000 0.000000X31 2.000000 0.000000X32 2.000000 0.000000X33 2.000000 0.000000X34 8.000000 0.000000X41 1.000000 0.000000X42 3.000000 0.000000X43 1.000000 0.000000X44 0.000000 0.000000Row Slack or Surplus Dual Price1 35020.00 1.0000002 0.000000 600.00003 0.000000 600.00004 0.000000 650.0000135 0.
22、000000 480.00006 2.000000 0.0000007 0.000000 150.00008 3.000000 0.0000009 0.000000 650.000010 0.000000 350.000011 1.000000 0.00000012 0.000000 220.000013 2.000000 0.00000014 4.000000 0.00000015 4.000000 0.00000016 6.000000 0.00000017 0.000000 70.0000018 0.000000 -170.000019 0.000000 -70.0000020 0.00
23、0000 -170.000021 7.000000 0.00000022 0.000000 -210.000023 0.000000 -110.000024 0.000000 -410.000025 0.000000 -140.000014151617181920212223网络营销策划机构 -简介首席网络营销策划机构前身是服务于大型上市公司的专业网络营销机构，为了能让更好的推广我们新营销理念，分享我们的成功网络营销经验，于是首席网络营销策划机构就此诞生，首席网络营销策划机构由国内众多著名网络营销专家联合创办，致力于全国中小企业的网络营销建设服务，为全国的中小企业提供整套的网络营销策划与实施。
24、自从首席网络营销策划机构成立以来与现有客户的长期合作中积累了大量的中小企业网络营销成功案例和宝贵经验，强大的执行力来源拥于大家的认可并支持，首席网络营销策划机构已经与众多中小企业建立长期的密切合作关系。我们现在更加坚定地致力于中国中小企业的网络营销建设。目前我们的策划团队还在日益的壮大，我们的宗旨是持续的帮助中小企业，让中24小企业在互联网上也能拥有自己独立的网络营销渠道，目前我们机构服务过的中小企业行业已经涉及电子产品、书籍、食品、保健品、网络游戏、酒水、服装、影视、娱乐等等。 首席网络营销策划机构 -专业流程体系一、网络营销战略制定 1.品牌与产品分析(分析产品与品牌特征进行营销战略分析)
25、 2网络品牌构建战略制定 3.产品的网络营销策划制定 二、网络营销渠道的建立 1.网络营销网站的策划与制定 2.网络营销体系的用户体验设计 3.搜索引擎营销(SEM) 4.网络广告投放 三、网络整合营销 1.网络产品软推广(利用软文、软视频、图片营销等建立的病毒式营销) 2.网络品牌、网络口碑的构建(知识问答、百科、论坛、博客等构建的网络品牌与口碑) 3.网络知名度提升(事件营销) 企业网络营销服务参考流程： 一、网络调研 第一步是项目的引入，前期的市场调研分析至关重要，直接影响后面的所有流程。网络调研包括：用户分析、竞争对手分析、行业环境分析、自身定位、项目可行性分析。分析后会对此目的发展有
26、一个具体的预测和了解，并制定一份详细的项目网络调研分析报告二、网站建设 我们拥有资深建站专家，会依据前面的调研数据结果，建设网站会更有目的性和依据性，并制定出一套网站建设策划方案。方案内容包括：网站主题策划、网站域名筛选、网站软硬件设施选择、网站名称制定、网站 UI 风格设计、网站栏目规划、网站内容策划、网站功能确定、网站语言技术、网站更新维护、网站建设完成计划时间表。在制定网站建设策划方案的同时还会考虑用户体验、搜索引擎优化、网站用转化率、网站安全稳定性。根据网站建设策划方案对每一个细节强有力的执行下去。 三、搜索引擎营销(SEM) 方案完成之后，我们会针对网站为贵公司网站提出一份 SEM
27、方案，同时对贵公司网站运营团队进行一次 SEM 培训，然后指导他们提高网络营销的第一入口，并且为贵公司提供长期的相关咨询服务。 四、推广策划 根据贵方资源、团队执行力、推广预算，并且拆分推广内容为：产品推广与品牌推广。我们为贵方策划一套投入产出比最高的网站推广执行方案。推广方法从搜索引擎优化、关键词广告投放、联盟推广、软文推广、博客推广、论坛推广、E-Mail 推广，数据库营销、口碑推广等等上百种推广方法中选择出最适合贵方的几种。 五、营销培训 再次对贵方团队进行网络营销培训，然后根据推广计划时间安排，双方相互配合，讲网站推广方案强有力的执行下去。 六、营销管理 25为贵网站安装网络营销分析系
28、统，然后对营销效果进行准确的检测。 七、运营咨询 我们在互联网圈拥有大量的人脉和各种各样的资源(包括新浪、网易、搜狐、中华网、人民网、新华网、腾讯网等 150 家网络媒体)，可以利用这些资源进行网络新闻发布、人物专访、观点评论、盘点评选从而近一步扩大企业的影响力，让你的企业在业内达到明星级的地位。在后续贵方的网站运营过程有什么问题和需求，我们都讲及时为贵方提供咨询服务。 八、赢利策划 做网站，目的在赚钱，在赢利模式策划上，我们将为你提供专业的咨询和策划服务，让你的站快速的实在的赚到钱。 九、网络口碑 我们有用多年的网络口碑、网络品牌成功经验，也是我们的网络营销的最重要的核心所在，一款在网络里拥
29、有口碑的产品是我们的最终目标，我们会为贵公司提供整套的网络品牌构建体系，以完整网络口碑的建立与品牌的形成。 十、知名度提升 网络事件营销是中小企业低成本迅速提高知名度的最佳选择，我们团队拥有最富经验的网络事件营销团队，可以让贵公司知名度迅速提升，在行业中脱颖而出。 126网络营销策划机构 -简介首席网络营销策划机构前身是服务于大型上市公司的专业网络营销机构，为了能让更好的推广我们新营销理念，分享我们的成功网络营销经验，于是首席网络营销策划机构就此诞生，首席网络营销策划机构由国内众多著名网络营销专家联合创办，致力于全国中小企业的网络营销建设服务，为全国的中小企业提供整套的网络营销策划与实施。自从
30、首席网络营销策划机构成立以来与现有客户的长期合作中积累了大量的中小企业网络营销成功案例和宝贵经验，强大的执行力来源拥于大家的认可并支持，首席网络营销策划机构已经与众多中小企业建立长期的密切合作关系。我们现在更加坚定地致力于中国中小企业的网络营销建设。目前我们的策划团队还在日益的壮大，我们的宗旨是持续的帮助中小企业，让中小企业在互联网上也能拥有自己独立的网络营销渠道，目前我们机构服务过的中小企业行业已经涉及电子产品、书籍、食品、保健品、网络游戏、酒水、服装、影视、娱乐等等。 首席网络营销策划机构 -专业流程体系一、网络营销战略制定 1.品牌与产品分析(分析产品与品牌特征进行营销战略分析) 2网络
31、品牌构建战略制定 3.产品的网络营销策划制定 二、网络营销渠道的建立 1.网络营销网站的策划与制定 2.网络营销体系的用户体验设计 3.搜索引擎营销(SEM) 4.网络广告投放 三、网络整合营销 1.网络产品软推广(利用软文、软视频、图片营销等建立的病毒式营销) 2.网络品牌、网络口碑的构建(知识问答、百科、论坛、博客等构建的网络品牌与口碑) 3.网络知名度提升(事件营销) 企业网络营销服务参考流程： 一、网络调研 第一步是项目的引入，前期的市场调研分析至关重要，直接影响后面的所有流程。网络调研包括：用户分析、竞争对手分析、行业环境分析、自身定位、项目可行性分析。分析后会对此目的发展有一个具体
32、的预测和了解，并制定一份详细的项目网络调研分析报告二、网站建设 我们拥有资深建站专家，会依据前面的调研数据结果，建设网站会更有目的性和依据性，并制定出一套网站建设策划方案。方案内容包括：网站主题策划、网站域名筛选、网站软硬件设施选择、网站名称制定、网站 UI 风格设计、网站栏目规划、网站内容策划、网站功能确定、网站语言技术、网站更新维护、网站建设完成计划时间表。在制定网站建设策划方案的同时还会考虑用户体验、搜索引擎优化、网站用转化率、网站安全稳定性。根据网站建设策划方案对每一个细节强有力的执行下去。 三、搜索引擎营销(SEM) 27方案完成之后，我们会针对网站为贵公司网站提出一份 SEM 方案
33、，同时对贵公司网站运营团队进行一次 SEM 培训，然后指导他们提高网络营销的第一入口，并且为贵公司提供长期的相关咨询服务。 四、推广策划 根据贵方资源、团队执行力、推广预算，并且拆分推广内容为：产品推广与品牌推广。我们为贵方策划一套投入产出比最高的网站推广执行方案。推广方法从搜索引擎优化、关键词广告投放、联盟推广、软文推广、博客推广、论坛推广、E-Mail 推广，数据库营销、口碑推广等等上百种推广方法中选择出最适合贵方的几种。 五、营销培训 再次对贵方团队进行网络营销培训，然后根据推广计划时间安排，双方相互配合，讲网站推广方案强有力的执行下去。 六、营销管理 为贵网站安装网络营销分析系统，然后
34、对营销效果进行准确的检测。 七、运营咨询 我们在互联网圈拥有大量的人脉和各种各样的资源(包括新浪、网易、搜狐、中华网、人民网、新华网、腾讯网等 150 家网络媒体)，可以利用这些资源进行网络新闻发布、人物专访、观点评论、盘点评选从而近一步扩大企业的影响力，让你的企业在业内达到明星级的地位。在后续贵方的网站运营过程有什么问题和需求，我们都讲及时为贵方提供咨询服务。 八、赢利策划 做网站，目的在赚钱，在赢利模式策划上，我们将为你提供专业的咨询和策划服务，让你的站快速的实在的赚到钱。 九、网络口碑 我们有用多年的网络口碑、网络品牌成功经验，也是我们的网络营销的最重要的核心所在，一款在网络里拥有口碑的产品是我们的最终目标，我们会为贵公司提供整套的网络品牌构建体系，以完整网络口碑的建立与品牌的形成。 十、知名度提升 网络事件营销是中小企业低成本迅速提高知名度的最佳选择，我们团队拥有最富经验的网络事件营销团队，可以让贵公司知名度迅速提升，在行业中脱颖而出。 128
