1、高等数学教案 第五章 定积分天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室1第五章 定积分教学目的：1、 理解定积分的概念。2、 掌握定积分的性质及定积分中值定理，掌握定积分的换元积分法与分部积分法。3、 理解变上限定积分定义的函数，及其求导数定理，掌握牛顿莱布尼茨公式。4、 了解广义积分的概念并会计算广义积分。教学重点：1、 定积分的性质及定积分中值定理2、 定积分的换元积分法与分部积分法。3、 牛顿莱布尼茨公式。教学难点：1、 定积分的概念2、 积分中值定理3、 定积分的换元积分法分部积分法。4、 变上限函数的导数。5 1 定积分概念与性质一、定积分问题举例1 曲边梯形的面积曲边梯形
2、 设函数 yf(x)在区间a b上非负、连续 由直线 xa、xb、y0 及曲线 yf (x)所围成高等数学教案 第五章 定积分天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室2的图形称为曲边梯形 其中曲线弧称为曲边 求曲边梯形的面积的近似值 将曲边梯形分割成一些小的曲边梯形 每个小曲边梯形都用一个等宽的小矩形代替 每个小曲边梯形的面积都近似地等于小矩形的面积 则所有小矩形面积的和就是曲边梯形面积的近似值 具体方法是 在区间a b中任意插入若干个分点ax0 x1 x2 xn1 xn b 把a b分成 n 个小区间x0 x1 x1 x2 x2 x3 xn1 xn 它们的长度依次为 x1 x1x
3、0 x2 x2x1 xn xn xn1 经过每一个分点作平行于 y 轴的直线段 把曲边梯形分成 n 个窄曲边梯形 在每个小区间xi1 xi 上任取一点 i 以x i1 xi 为底、f (i)为高的窄矩形近似替代第 i 个窄曲边梯形(i1 2 n) 把这样得到的 n 个窄矩阵形面积之和作为所求曲边梯形面积 A 的近似值 即Af (1)x1 f (2)x2 f (n )xn iixf1)(求曲边梯形的面积的精确值 显然 分点越多、每个小曲边梯形越窄 所求得的曲边梯形面积 A 的近似值就越接近曲边梯形面积 A 的精确值 因此 要求曲边梯形面积 A 的精确值 只需无限地增加分点 使每个小曲边梯形的宽度
4、趋于零 记maxx1 x2 xn 于是 上述增加分点 使每个小曲边梯形的宽度趋于零 相当于令0 所以曲边梯形的面积为 niixfA10)(lm2 变速直线运动的路程高等数学教案 第五章 定积分天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室3设物体作直线运动 已知速度 vv(t)是时间间隔 T 1 T 2上 t 的连续函数 且 v(t)0 计算在这段时间内物体所经过的路程 S 求近似路程 我们把时间间隔T 1 T 2分成 n 个小的时间间隔t i 在每个小的时间间隔t i 内 物体运动看成是均速的 其速度近似为物体在时间间隔t i 内某点 i 的速度 v(i) 物体在时间间隔 ti 内 运
5、动的距离近似为 Si v(i)ti 把物体在每一小的时间间隔 ti 内 运动的距离加起来作为物体在时间间隔T 1 T 2内所经过的路程 S 的近似值 具体做法是 在时间间隔T 1 T 2内任意插入若干个分点T 1t 0 t 1 t 2 t n1 t nT 2 把T 1 T 2分成 n 个小段t 0 t 1 t 1 t 2 t n1 t n 各小段时间的长依次为t 1t 1t 0 t 2t 2t 1 t n t n t n1 相应地 在各段时间内物体经过的路程依次为S 1 S 2 S n 在时间间隔t i1 t i上任取一个时刻 i (t i1 i t i) 以 i 时刻的速度 v( i)来代替
6、 t i1 t i上各个时刻的速度 得到部分路程S i 的近似值 即 S i v( i)t i (i1 2 n) 于是这 n 段部分路程的近似值之和就是所求变速直线运动路程 S 的近似值 即 niitvS1)(求精确值 记 max t 1 t 2 t n 当 0 时 取上述和式的极限 即得变速直线运动的路程高等数学教案 第五章 定积分天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室4 niitvS10)(lm设函数 yf(x)在区间 a b上非负、连续 求直线 xa、xb、y 0及曲线 yf (x)所围成的曲边梯形的面积 (1)用分点 ax0x1x2 xn1xn b 把区间 a b分成 n
7、 个小区间 x0 x1 x1 x2 x2 x3 xn1 xn 记x ixixi1 (i1 2 n)(2)任取 ixi1 xi 以 xi1 xi为底的小曲边梯形的面积可近似为(i1 2 n) 所求曲边梯形面积 A 的近似值为if) iixfA1)(3)记 maxx1 x2 xn 所以曲边梯形面积的精确值为 iifA10)(lm设物体作直线运动 已知速度 vv(t)是时间间隔T 1 T 2上 t 的连续函数 且 v(t)0 计算在这段时间内物体所经过的路程 S (1)用分点 T1t0t1t2 t n1tnT2 把时间间隔 T 1 T 2分成 n 个小时间段 t 0 t1 t1 t2 tn1 tn
8、记 ti titi1 (i1 2 n)(2)任取 iti1 ti 在时间段 ti1 ti内物体所经过的路程可近似为 v(i)ti (i1 2 n) 所求路程 S 的近似值为高等数学教案 第五章 定积分天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室5 niitvS1)(3)记 maxt1 t2 tn 所求路程的精确值为 iitvS10)(lm二、定积分定义抛开上述问题的具体意义 抓住它们在数量关系上共同的本质与特性加以概括 就抽象出下述定积分的定义 定义 设函数 f(x)在a b 上有界 在a b 中任意插入若干个分点a x0 x1 x2 xn1 xnb 把区间a b 分成 n 个小区间x
9、0 x1 x1 x2 xn1 xn 各小段区间的长依次为x1x1x0 x2x2x1 xn xn xn1 在每个小区间x i1 xi上任取一个点 i (xi1 i xi) 作函数值 f ( i)与小区间长度 xi 的乘积f ( i)xi (i1 2 n) 并作出和 niixfS1)(高等数学教案 第五章 定积分天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室6记 maxx1 x2 xn 如果不论对 a b怎样分法 也不论在小区间x i1 xi上点 i 怎样取法 只要当0 时 和 S 总趋于确定的极限 I 这时我们称这个极限 I 为函数 f (x)在区间a b上的定积分 记作 badf)(即
10、niibaxfxf10)(lm)(其中 f (x)叫做被积函数 f (x)dx 叫做被积表达式 x 叫做积分变量 a 叫做积分下限 b 叫做积分上限 a b 叫做积分区间 定义 设函数 f(x)在 a b上有界 用分点 ax0x1x2 xn1xnb 把a b分成 n 个小区间 x 0 x1 x1 x2 xn1 xn 记x ixixi1(i1 2 n)任 ixi1 xi (i1 2 n) 作和 iixfS1记 maxx1 x2 xn 如果当 0 时 上述和式的极限存在 且极限值与区间a b的分法和 i 的取法无关 则称这个极限为函数 f(x)在区间a b上的定积分 记作 bdxf)(即 niib
11、afdxf10)(lm)(根据定积分的定义 曲边梯形的面积为 badxfA)(变速直线运动的路程为 dtvST)(21说明 高等数学教案 第五章 定积分天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室7(1)定积分的值只与被积函数及积分区间有关 而与积分变量的记法无关 即 bababaduftfdxf )()()(2)和 通常称为 f (x)的积分和 niixf1)(3)如果函数 f (x)在 a b上的定积分存在 我们就说 f (x)在区间a b 上可积 函数 f(x)在a b上满足什么条件时 f (x)在a b 上可积呢？定理 1 设 f (x)在区间a b 上连续 则 f (x) 在
12、a b 上可积 定理 2 设 f (x)在区间a b 上有界 且只有有限个间断点 则 f (x) 在a b上可积 定积分的几何意义 在区间a b上 当 f(x) 0 时 积分 在几何上表示由曲线 yf (x)、两条直线badxf)(xa、xb 与 x 轴所围成的曲边梯形的面积 当 f(x)0 时 由曲线 y f (x)、两条直线 xa、xb 与 x 轴所围成的曲边梯形位于 x 轴的下方 定义分在几何上表示上述曲边梯形面积的负值 baniiniiba dxfxffdxf )()(lm)(l)( 1010当 f (x)既取得正值又取得负值时 函数 f(x)的图形某些部分在 x 轴的上方 而其它部分
13、在 x轴的下方 如果我们对面积赋以正负号 在 x 轴上方的图形面积赋以正号 在 x 轴下方的图形面积赋以负号 则在一般情形下 定积分 的几何意义为 它是介于 x 轴、函数 f(x)的图形badf)(及两条直线 xa、x b 之间的各部分面积的代数和 用定积分的定义计算定积分 高等数学教案 第五章 定积分天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室8例 1. 利用定义计算定积分 dx210解 把区间0 1分成 n 等份分点为和小区间长度为(i1 2 n1) (i1 2 n) nxi xi取 (i1 2 n)作积分和iiiniixf1211)()( )12(63123nni )12(6n因
14、为 当 0 时 n 所以131)2(16lim)(li10210 nxfdxnni利定积分的几何意义求积分:例 2用定积分的几何意义求 10)(dx解: 函数 y1x 在区间0 1上的定积分是以 y1x 为曲边以区间0 1为底的曲边梯形的面积 因为以 y1x 为曲边以区间0 1为底的曲边梯形是一直角三角形 其底边长及高均为 1 所以2)(10dx三、定积分的性质高等数学教案 第五章 定积分天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室9两点规定 (1)当 ab 时 0)(adxf(2)当 ab 时 abaxff)()(性质 1 函数的和(差)的定积分等于它们的定积分的和 (差) 即 ba
15、baba dxgxfdgxf )()(证明: baf)(ni iif10)(lmniiniixgxf1010)(l)(l babadxxf)()(性质 2 被积函数的常数因子可以提到积分号外面 即babadxfkxf)()(这是因为 niibaff10)(lm)( baniidxfkxfk)()(l10性质如果将积分区间分成两部分则在整个区间上的定积分等于这两部分区间上定积分之和即 bccaba dxfxfdf )()()(这个性质表明定积分对于积分区间具有可加性 高等数学教案 第五章 定积分天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室10值得注意的是不论 a b c 的相对位置如何总
16、有等式ccaba dxfxfdf )()()(成立 例如 当 ab 积分中值公式都成立 高等数学教案 第五章 定积分天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室135 2 微积分基本公式一、变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系设物体从某定点开始作直线运动 在 t 时刻所经过的路程为 S(t) 速度为 vv(t) S(t)(v(t)0) 则在时间间隔T 1 T2内物体所经过的路程 S 可表示为高等数学教案 第五章 定积分天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室14及 )(12TSdtv)(21即 )()(221dtvT上式表明 速度函数 v(t)在区间 T1 T2上的定
17、积分等于 v(t)的原函数 S(t)在区间 T1 T2上的增量 这个特殊问题中得出的关系是否具有普遍意义呢？二、积分上限函数及其导数设函数 f(x)在区间a b上连续 并且设 x 为 a b上的一点 我们把函数 f(x)在部分区间a x上的定积分dxfa)(称为积分上限的函数 它是区间a b 上的函数 记为(x) 或(x ) dfadtfa(定理 1 如果函数 f(x)在区间a b 上连续 则函数(x) dfa在a b上具有导数 并且它的导数为(x) (ax0 则同理可证 (x) f(a) 若 xb 取x0 证明函数 xdtfF0)(在(0 )内为单调增加函数 证明 故)() 0xfdtfx
18、)(0xfdtfx200)()(xxdtftffF 20)(xdtf按假设 当 0tx 时 f (t)0 (xt)f (t) 0 所以 )(0dtfx)0dtf从而 F (x)0 (x0) 这就证明了 F (x) 在(0 )内为单调增加函数 例 7. 求 21cos0limxdte解 这是一个零比零型未定式 由罗必达法则 exxdtexdtex21sinlmlili22 cos0cos101cos0 高等数学教案 第五章 定积分天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室19提示 设 则 xtde12)( xtdecos12)( xuxt exud 222 coscos1 in)si(
19、)()(cos 高等数学教案 第五章 定积分天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室205 3 定积分的换元法和分部积分法一、换元积分法定理 假设函数 f(x)在区间a b 上连续 函数 x(t)满足条件 (1)()a ()b (2) (t)在 (或 )上具有连续导数 且其值域不越出a b 则有 dttfdxfba)()(这个公式叫做定积分的换元公式 证明 由假设知 f(x )在区间a b 上是连续 因而是可积的 f (t)(t)在区间 (或 )上也是连续的 因而是可积的 假设 F(x)是 f (x)的一个原函数 则F(b)F(a) dxfba高等数学教案 第五章 定积分天津工业大
20、学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室21另一方面 因为F (t)F (t)(t) f (t)(t) 所以 F(t)是 f (t)(t)的一个原函数 从而F( )F( )F(b)F(a) dttf)(因此 ttfdxfba)()(例 1 计算 (a0) 02解 20sin02cos tddxat令2020)1(costat 204in1tta提示 dxa cos t 当 x0 时 t0 当 xa 时 ttxcossi22 2t例 2 计算 xdinco520解 令 t cos x 则xddcossinco520520 61 0105cs tttx令提示 当 x0 时 t1 当 时 t0 2
21、或 xddxcossinco50520高等数学教案 第五章 定积分天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室22 610cos261cos6120x例 3 计算 053indx解 xx|cos|isin2300532320incoi dd23203siisiinxx 54)2(i5i202 提示 |cos|in)si1(insin2333 xxx在 上|cos x|cos x 在 上|cos x |cos x 2 ,0 ,例 4 计算 d401解 312312240 )( dttdtx令 3)(937(2312t提示 dxtdt 当 x0 时 t1 当 x4 时 t3 tx例 5 证
22、明 若 f (x)在a a上连续且为偶函数 则 adff02高等数学教案 第五章 定积分天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室23证明 因为 dxfxfdxfaaa )()()(00而 aatxa ftftff 0000 )()()( )(令所以 a dxffdf00)()()( aaxffxff 00 )(2)()(讨论 若 f(x)在a a上连续且为奇函数 问 ？ adxf)(提示 若 f (x)为奇函数 则 f (x)f (x) 0 从而 )(0aadffdf例 6 若 f (x)在0 1上连续 证明(1) 2020)(cossindxfdf(2) 00)(in )(ifx
23、f证明 (1)令 则tx2dtfdf )2sin()(sin020020 )(co)i(xftf高等数学教案 第五章 定积分天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室24(2)令 x t 则 00 )sin()()(sindtftdf00 )(si)i()( tfttft00)(sin)(sidttftf 00)(i)(ixfxf所以 00)(sin2 )(sindfdxf例 7 设函数 计算 01 cos)(2xxef 41)2(dxf解 设 x2 t 则 20012141 cos)()( dtetdtff tantan42001et提示 设 x2t 则 dxdt 当 x1 时 t
24、1 当 x4 时 t2 二、分部积分法设函数 u(x)、v (x)在区间a b 上具有连续导数 u(x)、 v(x) 由(uv)uv u v得 u vu vuv 式两端在区间 a b上积分得 或 dxdxbaba vduabba高等数学教案 第五章 定积分天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室25这就是定积分的分部积分公式分部积分过程 vdxuvdudxvubababa例 1 计算 darcsin210解 xri20 xdxarcsinri2102106)(120xd 013例 2 计算 10dxe解 令 则t10102tdex10t10 2dtet 1 0t高等数学教案 第五章
25、 定积分天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室26例 3 设 证明20sinxdI(1)当 n 为正偶数时 2143nI(2)当 n 为大于 1 的正奇数时 5I证明 20sixdIn201cossixdn201 1iiconn202si)(xdn20)sin(i)dx2020si)1(i)1(xnnn(n1)I n 2(n1)I n 由此得 21nI 02 21435ImIm 112 II 而 0dxIsin201xdI因此 21435212 mIm高等数学教案 第五章 定积分天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室2732541212 mIm例 3 设 (n 为正
26、整数) 证明20sixdIn2143512 mIm212 I证明 0sinxdI201cossinxd2022 01in)(icoxdn20)si(i)dxnn2020i)1(i)1(nn(n1)I n 2(n1)I n 由此得 1I02 21435ImIm112 II 特别地 0dxIsin201xdI高等数学教案 第五章 定积分天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室28因此 21435212 mIm12 I高等数学教案 第五章 定积分天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室295 4 反常积分一、无穷限的反常积分定义 1 设函数 f(x)在区间a ) 上连续 取
27、ba 如果极限 dxfab)(lim存在 则称此极限为函数 f(x)在无穷区间a ) 上的反常积分 记作 即dxfa)( dxfdxfbaa)(li)(高等数学教案 第五章 定积分天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室30这时也称反常积分 收敛dxfa)(如果上述极限不存在 函数 f(x)在无穷区间a )上的反常积分 就没有意义 此时dxfa)(称反常积分 发散 dxfa)(类似地 设函数 f(x)在区间( b 上连续 如果极限(ab)dxfbalim存在 则称此极限为函数 f(x)在无穷区间( b 上的反常积分 记作 即dxfb)( dxfdxfba)(li)(这时也称反常积分 收敛如果上述极限不存在 则称反常积分 发散 dxfb)( dxfb)(设函数 f(x)在区间( ) 上连续 如果反常积分和dxf)(0dxf)(0都收敛 则称上述两个反常积分的和为函数 f(x)在无穷区间 ( )上的反常积分 记作 即dxf)( dxfxfdf )()()(00 ffba)(lim)(li0
