1、【步步高】 （浙江专用）2017 年高考数学 专题三 三角函数 第 24 练 解三角形练习训练目标 正弦定理、余弦定理在解三角形中的综合应用.训练题型 (1)解三角形；(2)解三角形的实际应用.解题策略(1)解三角形的关键是关系式的选择，应根据已知边角或关系式特点灵活使用定理；(2)根据实际问题可画出示意图，整合边角关系在适当三角形中求解.1(2015温州十校期末联考)在 ABC 中，角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，且c asin C ccos A.3 3(1)求 A；(2)若 a2 ， ABC 的面积 S ，求 b， c.3 32设 ABC 的内角 A， B， C 所对的
2、边长分别为 a， b， c，且满足 a2 c2 b2 ac.3(1)求角 B 的大小；(2)若 2bcos A (ccos A acos C)， BC 边上的中线 AM 的长为 ，求 ABC 的面积3 73(2015杭州二中仿真考试)在 ABC 中，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，向量m( a b，sin Asin C)，向量 n( c，sin Asin B)，且 m n.(1)求角 B 的大小；(2)设 BC 的中点为 D，且 AD ，求 a2 c 的最大值及此时 ABC 的面积34.如图所示， A、 C 两岛之间有一片暗礁，一艘小船于某日上午 8时从 A 岛出发，以 10
3、 海里/小时的速度沿北偏东 75方向直线航行，下午 1 时到达 B 处然后以同样的速度沿北偏东 15方向直线航行，下午 4 时到达 C 岛(1)求 A、 C 两岛之间的距离；(2)求 BAC 的正弦值5(2015沈阳四校联考)已知 f(x) sin( x )sin( x )cos 2x ( 0)的最332小正周期为 T.(1)求 f( )的值；23(2)在 ABC 中，角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，若有(2 a c)cos B bcos C，求角 B的大小以及 f(A)的取值范围答案解析1解 (1)由条件 c asin C ccos A，3 3得 sin Csin Asi
4、n C sin Ccos A.3 3 C(0，)，sin C0， sin A cos A，3 3即 sin Acos cos Asin ， 3 3 32sin(A ) . 3 3200)，则 BC m，所以 CM m.12在 AMC 中，由余弦定理可知 AM2 CM2 AC22 CMACcos ，23即( )2 m2 m22 mm( )，714 12 12整理得 m24，解得 m2.所以 S ABC CACBsin 22 .12 23 12 32 33解 (1)因为 m n，所以( a b)(sin Asin B) c(sin Asin C)0.由正弦定理可得( a b)(a b) c(a c
5、)0，即 a2 c2 b2 ac.由余弦定理可知 cos B .a2 c2 b22ac ac2ac 12因为 B(0，)，所以 B . 3(2)设 BAD ，则在 BAD 中，由 B ，可知 (0， ) 3 23由正弦定理及 AD ，3有 2，BDsin ABsin(f(2 ,3) ) ADsin 3所以 BD2sin ， AB2sin( ) cos sin .23 3所以 a2 BD4sin ， c AB cos sin .3从而 a2 c2 cos 6sin 4 sin( )3 3 6由 (0， )，可知 ( ， )，23 6 6 56所以当 ，即 时， a2 c 取得最大值 4 . 6
6、2 3 3此时 a2 ， c ，3 3所以 S ABC acsin B .12 3324解 (1)在 ABC 中，由已知，得 AB10550(海里)，BC10330(海里)， ABC1807515120，由余弦定理，得 AC250 230 225030cos 1204 900，所以 AC70(海里)故 A、 C 两岛之间的距离是 70 海里(2)在 ABC 中，由正弦定理，得 ，BCsin BAC ACsin ABC所以 sin BAC .BCsin ABCAC 30sin 12070 3314故 BAC 的正弦值是 .33145解 (1) f(x) sin( x )sin( x )cos 2
7、x332 sin x cos x cos 2x3 sin 2 x cos 2 x32 12 12sin(2 x ) ， 6 12由函数 f(x)的最小正周期为 T，即 ，得 1，22 f(x)sin(2 x ) ， 6 12 f( )sin(2 )23 23 6 12sin 1.76 12(2)(2 a c)cos B bcos C，由正弦定理可得(2sin Asin C)cos Bsin Bcos C，2sin Acos Bsin Bcos Ccos Bsin Csin( B C)sin A.sin A0，cos B .12 B(0，)， B . 3 A C B ， A(0， )，23 232 A ( ， )， 6 6 76sin(2 A )( ，1， 6 12 f(A)sin(2 A ) (1， 6 12 12
