1、2.3 谓词逻辑归结法基础由于谓词逻辑与命题逻辑不同，有量词、变量和函数，所以在生成子句集之前要对逻辑公式做处理，具体的说就是要将其转化为 Skolem 标准形，然后在子句集的基础上再进行归结，虽然基本的归结的基本方法都相同，但是其过程较之命题公式的归结过程要复杂得多。本节针对谓词逻辑归结法介绍了 Skolem 标准形、子句集等一些必要的概念和定理。 231 Skolem 标准形Skolem 标准形的定义：前束范式中消去所有的存在量词，则称这种形式的谓词公式为 Skolem 标准形，任何一个谓词公式都可以化为与之对应的Skolem 标准形。但是， Skolem 标准形不唯一。 前束范式：A 是
2、一个前束范式，如果 A 中的一切量词都位于该公式的最左边（不含否定词） ，且这些量词的辖域都延伸到公式的末端。 Skolem 标准形的转化过程为，依据约束变量换名规则，首先把公式变型为前束范式，然后依照量词消去原则消去或者略去所有量词。具体步骤如下： 将谓词公式 G 转换成为前束范式前束范式的形式为：(Q 1x1)(Q2x2)(Qnxn)M(x1,x2,xn)即： 把所有的量词都提到前面去。注意：由于所有的量词的辖域都延伸到公式的末端，即，最左边量词将约束表达式中的所有同名变量。所以将量词提到公式最前端时存在约束变量换名问题。要严守规则。 约束变量换名规则：(Qx ) M（x） （Qy ） M
3、（y） (Qx ) M（x,z ） （Qy ） M（y,z）量词否定等值式：( x ) M（x） （ y ） M（y） ( x ) M（x） （ y ） M（y）量词分配等值式：( x )( P（x） Q（x）) ( x ) P（x） ( x ) Q（x）( x )( P（x） Q（x）) ( x ) P（x） ( x ) Q（x）消去量词等值式：设个体域为有穷集合（a1, a2, an）( x ) P（x） P（a1） P（a2） P（an）( x ) P（x） P（a1） P（a2） P（an）量词辖域收缩与扩张等值式：( x )( P（x） Q) ( x ) P（x） Q( x )( P
4、（x） Q) ( x ) P（x） Q ( x )( P（x） Q) ( x ) P（x） Q ( x )( Q P（x） ) Q ( x ) P（x） ( x )( P（x） Q) ( x ) P（x） Q( x )( P（x） Q) ( x ) P（x） Q ( x )( P（x） Q) ( x ) P（x） Q ( x )( Q P（x） ) Q ( x ) P（x）消去量词量词消去原则：1) 消去存在量词“ “，即，将该量词约束的变量用任意常量（a, b 等） 、或全称变量的函数(f(x), g(y)等) 代替。如果存在量词左边没有任何全称量词，则只将其改写成为常量；如果是左边有全程量
5、词的存在量词，消去时该变量改写成为全程量词的函数。 2) 略去全程量词“ “，简单地省略掉该量词。Skolem 定理：谓词逻辑的任意公式都可以化为与之等价的前束范式，但其前束范式不唯一。 注意：公式 G 的 SKOLEM 标准形同 G 并不等值。例题 2-2将下式化为 Skolem 标准形：( x)( y)P(a, x, y) ( x)( y)Q(y, b)R(x)解：第一步，消去号，得：( ( x)( y)P(a, x, y) ( x) ( y)Q(y, b)R(x)第二步，深入到量词内部，得：( x)( y)P(a, x, y)( x) ( y)Q(y, b)R(x) ( x)( y)P(
6、a, x, y) ( x) ( y)Q(y, b)R(x)第三步，全称量词左移， （利用分配律） ，得( x)( ( y)P(a, x, y) ( y)(Q(y, b)R(x)第四步，变元易名，存在量词左移，直至所有的量词移到前面，得：( x)( ( y)P(a, x, y) ( y)(Q(y, b)R(x) ( x) ( ( y)P(a, x, y) ( z)(Q(z, b)R(x)= ( x) ( y) ( z) (P(a, x, y) Q(z, b)R(x)由此得到前述范式第五步，消去“ “（存在量词） ，略去“ “全称量词消去( y)，因为它左边只有 (“x)，所以使用 x 的函数 f
7、(x)代替之，这样得到：( x)( z)( P(a, x, f(x) Q(z, b)R(x)消去( z)，同理使用 g(x)代替之，这样得到：( x) ( P(a, x, f(x) Q(g(x), b)R(x)则，略去全称变量，原式的 Skolem 标准形为：P(a, x, f(x) Q(g(x), b)R(x)2.3.2 子句集文字：不含任何连接词的谓词公式。子句：一些文字的析取（谓词的和） 。子句集：所有子句的集合对于任一个公式 G，都可以通过 Skolem 标准形，标准化建立起一个子句集与之相对应。因为子句不过是一些文字的析取，是一种比较简单的形式，所以对 G 的讨论就用对子句集 S 的
8、讨论来代替，以便容易处理。 子句集 S 可由下面的步骤求取：1. 谓词公式 G 转换成前束范式2. 消去前束范式中的存在变量，略去其中的任意变量，生成 SKOLEM 标准形3. 将 SKOLEM 标准形中的各个子句提出，表示为集合形式 教师提示：为了简单起见，子句集生成可以理解为是用“， “取代 SKOLEM 标准形中的“，并表示为集合形式 。注意：SKOLEM 标准形必须满足合取范式的条件。即，在生成子句集之前逻辑表达式必须是各“谓词表达式“ 或“谓词或表达式“的与。定理谓词表达式 G 是不可满足的当且仅当 其子句集 S 是不可满足的公式 G 与其子句集 S 并不等值，但它们在不可满足的意义
9、下是一致的。因此如果要证明 A1A2 A3B，只需证明 G A1A2A3B 的子句集是不可满足的，这也正是引入子句集的目的。 注意：公式 G 和子句集 S 虽然不等值，但是它们的之间一般逻辑关系可以简单的说明为：G 真不一定 S 真，而 S 真必有G 真，即，S G。在生成 SKOLEM 标准形时将存在量词用常量或其他变量的函数代替，使得变量讨论的论域发生了变化，即论域变小了。所以 G 不能保证 S 真。定理的推广对于形如 G = G1 G2 G3 Gn 的谓词公式，G 的子句集的求取过程可以分解成几个部分单独处理。如果 Gi 的子句集为 Si，则有 S = S1 S2 S3 Sn，虽然 G
10、的子句集不为S，但是可以证明：S G 与 S1 S2 S3 S n 在不可满足的意义上是一致的。即 SG 不可满足 S1 S 2 S 3 S n 不可满足由上面的定理，我们对 SG 的讨论，可以用较为简单的 S1 S2 S3 Sn 来代替。为方便起见，也称 S1 S2 S3 S n 为 G 的子句形，即：S GS 1 S2 S3 Sn。根据以上定理可对一个谓词表达式分而治之，化整为零，大大减少了计算复杂度。 例 23对所有的 x,y,z 来说，如果 y 是 x 的父亲， z 又是 y 的父亲，则 z 是 x 的祖父。又知每个人都有父亲，试问对某个人来说谁是它的祖父？用一阶逻辑表示这个问题，并建
11、立子句集。解：这里我们首先引入谓词：P(x, y) 表示 x 是 y 的父亲Q(x, y) 表示 x 是 y 的祖父ANS(x) 表示问题的解答于是有：对于第一个条件，“如果 y 是 x 的父亲，z 又是 y 的父亲，则 z 是 x 的祖父 “，一阶逻辑表达式如下：A 1：( x)( y)( z)(P(x, y)P(y, z)Q(x, z)则把 A1 化为合取范式，进而化为 Skolem 标准形，表示如下：S A1：P(x ,y)P(y, z)Q(x, z)对于第二个条件：“每个人都有父亲“ ，一阶逻辑表达式如下：A 2：( y)( x)P(x, y)化为 Skolem 标准形，表示如下：S A2：P(f(y), x)结论：某个人是它的祖父B：( x)( y)Q(x, y)否定后得到子句：S B ：Q(x, y)ANS(x)则得到的相应的子句集为： S A1，S A2，S B 解毕。
