1、2017年全国高中数学联合竞赛（四川初赛）（5 月 14 日下午 14:3016:30）三题目 一 二13 14 15 16总成绩得分评卷人复核人考生注意：1.本试卷共有三大题（16 个小题） ，全卷满分 140 分2.用黑（蓝）色圆珠笔或钢笔作答。3.计算器，通讯工具不准待入考场。4.解题书写不要超过封线一，单项选择题（本大题共 6个小题，每小题 5分，共 30分）1. 已知函数 处有极值，则实数 a 的值是（ ）1ln2xaxf在A. -2 B. -1 C. 1 D. 2 2.已知 的两个根，则 （ 03ta,02x是 方 程， 的 值 是cos）A. B. C. D. 313235253
2、.在 的展开式。所有形如 的项的系数之和是（ ）8zyxNbazyx.2A. 112 B. 448 C. 1792 D. 143364.已知 的左，右焦点，该椭圆上存在两点 A,B,使得01221 bayxF为 椭 圆，,则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）BA213A. （0. ） B.（0. ） C.（ ，1） D.（ ，1）3235.已知ABC 中， 的最大值时（ ）BCAACB 则，A. B. C.2 D.253 56.已知数列 满足： ，用 表示不超过实数 x 的最大整数，naNnn12x则 的个位数是（ ） 2017aA.2 B.4 C.6 D.8 二，填空题（本大题共 6个小题，每
3、条题 5分，共 30分）7. 已知函数 =_.20167,52kxff则8. 设 ，其中 是虚数单位，若 成iaziazizRa 43,21 复 数 i 321,zz等比数 列，则实数 a 的值是_.9.若 是双曲线 上的点，则 的最小值是_.yxP, 1482yxyx10. 如图，设正方体 的棱长为 1， 为过直线 的平面，1DCBA1BD则 截该正方体的截面面积的取值范围是_.11.已知实数 满足： 的最大值是_.321,x 23212321 ,xx则12.设集合 则339,0987654 zyxMzyAM 丨且丨，集合 A 中元素的个数是_三，解答题（本大题共 4个小题，每小题 20分，
4、共 80分）13.已知数列 满足：na*1185,Nnan（1）若 a=3,求证：数列 成等比数列，并求出数列 的通项公式；42n na（2）若对任意的正整数 n,都有 ，求实数 a 的取值范围。3a14.1993 年，美国数学家 F.Smarandache 提出许多数论问题，引起国内外相关学者的关注，其中之一便是著名的 Smarandache 函数。正整数 n 的 Smarandache 函数定义为，比如：!,min*mnNS丨丨 3632SS，（1）求数 S（16）和 S（2016）的值；（2）若 S（n）=7,求正整数 n 的最大值；（3）证明：存在无穷多个合数 n，使得 ,其中 的最大
5、质因数.pn为15. 如图， 轴上，且关于 y 轴对称，过点 垂直于 x 轴的直线与抛物线xA在与 点点 A交于xy2B,C,点 D 为线段 AB 上的动点，点 E 在线段 AC 上，满足 BDCE（1）求证：直线 DE 与此抛物线有且只有一个公共点；（2）设直线 DE 与此抛物线的公共点 F，记BCF 与ADE 的面积分别为 ,求 的值.1S， 2116.设 为实数，若对任意的实数 恒成立，其， 22, zyxMzxyzyx 有中 2222222 yxzyxM求 的最大值和 的最小值2017 年全国高中数学联赛（四川初赛）试题草考答案及评分标准一，选择题（本大题共 6 个小题，每小题 5 分
6、，共 30 分）1.A 2.B 3.C 4.C 5.B 6.A 二，填空题（本大题共 6 个小题，每小题 5 分，共 30 分）7.1008 8.0 9.2 10. 11.2 12.243 26，三，解答题（本大题共 4 个小题，每小题 20 分，共 80 分）13. 证明：（1）因为 423185421 nnnn aa所以，数列 成等比数列 5 分na于是 1324,34211 nn a解 得即数列 的通项公式 1n10 分na（2）法 1：因为 对任意的正整数 n 都成立，故3n 31a由（1）知 24,42111 nnn aa解 得当 31 B|k|1 C1 ；3命题乙：a、b、c 相交
7、于一点则A甲是乙的充分条件但不必要 B甲是乙的必要条件但不充分C甲是乙的充分必要条件 DA、B、C 都不对 5在坐标平面上，纵横坐标都是整数的点叫做整点，我们用 I 表示所有直线的集合，M 表示恰好通过 1 个整点的集合，N 表示不通过任何整点的直线的集合，P 表示通过无穷多个整点的直线的集合那么表达式 MNP=I； N M P 中，正确的表达式的个数是A1 B2 C3 D4 二填空题(本大题共 4 小题，每小题 10 分) ：1设 xy，且两数列 x，a 1， a2，a 3，y 和 b1，x，b 2，b 3，y，b 4 均为等差数列，那么 = b4 b3a2 a12( +2)2n+1 的展开
8、式中，x 的整数次幂的各项系数之和为 x3在ABC 中，已知A=，CD、BE 分别是 AB、AC 上的高，则 = DEBC4甲乙两队各出 7 名队员，按事先排好顺序出场参加围棋擂台赛，双方先由 1 号队员比赛，负者被淘汰，胜者再与负方 2 号队员比赛，直至一方队员全部淘汰为止，另一方获得胜利，形成一种比赛过程那么所有可能出现的比赛过程的种数为 三(15 分) 长为 ，宽为 1 的矩形，以它的一条对角线所在的直线为轴旋转一周，求得到的旋转体的体2积四(15 分) 复平面上动点 Z1 的轨迹方程为|Z 1Z 0|=|Z1|，Z 0 为定点，Z 00，另一个动点 Z 满足 Z1Z=1，求点 Z 的轨
9、迹，指出它在复平面上的形状和位置五(15 分) 已知 a、b 为正实数，且 + =1，试证：对每一个 nN *，1a1b(a+b)na nb n2 2n2 n+11988年全国高中数学联赛二试题一已知数列a n，其中 a1=1，a 2=2，an+2=5an+1 3an(anan+1为 偶 数 )，an+1 an(anan+1为 奇 数 ) )试证：对一切 nN*，a n0 二如图，在ABC 中，P、Q、R 将其周长三等分，且 P、Q 在 AB 边上，求证： SPQRSABC29三在坐标平面上，是否存在一个含有无穷多直线 l1，l 2，l n，的直线族，它满足条件： 点(1，1)l n，( n=
10、1，2，3，) ； kn+1=anb n，其中 kn+1 是 ln+1 的斜率，a n 和 bn 分别是 ln 在 x 轴和 y 轴上的截距，(n=1，2，3，)； k nkn+10， (n=1，2，3，)并证明你的结论NACBPQ RH1988 年全国高中数学联赛解答一试题一选择题(本大题共 5 小题，每小题有一个正确答案，选对得 7 分，选错、不选或多选均得 0 分) ：1设有三个函数，第一个是 y=(x)，它的反函数是第二个函数，而第三个函数的图象与第二个函数的图象关于 x+y=0 对称，那么，第三个函数是( )Ay= ( x) By=(x) Cy= 1 (x) Dy= 1 (x ) 解
11、：第二个函数是 y=1 (x)第三个函数是x= 1 (y)，即 y=(x)选 B2已知原点在椭圆 k2x2+y2 4kx+2ky+k21= 0 的内部，那么参数 k 的取值范围是( )A|k|1 B|k|1 C1 ；3命题乙：a、b、c 相交于一点则A甲是乙的充分条件但不必要 B甲是乙的必要条件但不充分C甲是乙的充分必要条件 DA、B、C 都不对 解：a，b，c 或平行，或交于一点但当 abc 时，= 当它们交于一点时， SPQRSABC29证明：作ABC 及PQR 的高 CN、RH设ABC 的周长为 1则 PQ= 13则 = = ，但 AB ，SPQRSABCPQRHABCNPQABARAC
12、 12 PQAB23APABPQ ，AC ，从而 12 1316 13 16 12 ARAC13 SPQRSABC29三在坐标平面上，是否存在一个含有无穷多直线 l1，l 2，l n，的直线族，它满足条件： 点(1，1)l n，( n=1，2，3，) ； kn+1=anb n，其中 kn+1 是 ln+1 的斜率，a n 和 bn 分别是 ln 在 x 轴和 y 轴上的截距，(n=1，2，3，)； k nkn+10， (n=1，2，3，)并证明你的结论证明：设 an=bn0，即 kn1 =1，或 an=bn=0，即 kn=1，就有 kn+1=0，此时 an+1 不存在，故kn1现设 kn0，1
13、，则 y=kn(x1)+1 ，得 bn=1k n，a n=1 ， k n+1=kn 此时 knkn+1=kn211kn 1kn k n1 或 kn1 或 k11 时，由于 0k2=k1 0，若 k21，则又有 k1k2k30，依此类推，知当 km11k1 1k1时，有 k1k2k3kmkm+10，且 0k =k 0，此时 k k 1，1k1 1k2 1kmkm+1=km km =km1 km1 k1 1km 1k1 1km 1 1k1 2k1 mk1由于 k1 随 m 的增大而线性增大，故必存在一个 m 值，m=m 0，使 k1 1，从而必存在一个mkm m0k1m 值，m=m 1(m1m 0
14、)，使 k 1，而11)2.用数学归纳法证明：fn(x)= ),21,(,)1()1( 2221 为 奇 数为 偶 数 niCyCyCnininiin 1993 年全国高中数学联合竞赛试卷第 一 试一选择题(每小题 5 分，共 30 分)1 若 M( x， y)| |tgy|+sin2x0， N( x， y)| x2+y22，则 MN 的元素个数是（ ）(A)4 (B)5 (C)8 (D)92 已知 f (x) asinx+b+4(a， b 为实数)，且 f (lglog310)5，则 f(lglg3)的值是（ ）(A)5 (B)3 (C)3 (D)随 a， b 取不同值而取不同值3 集合 A
15、， B 的并集 AB a1， a2， a3，当 AB 时，( A， B)与( B， A)视为不同的对，则这样的( A， B)对的个数是（ ）（ A）8 （ B）9 （ C）26 （ D）274 若直线 x 4被曲线 C：( x arcsina)(x arccosa)( y arcsina)(y arccosa)0 所截的弦长为 d，当 a 变化时 d 的最小值是( )(A) (B) 3 (C) 2(D)5 在 ABC 中，角 A， B， C 的对边长分别为 a， b， c，若 ca 等于 AC 边上的高 h，则 2cossinAC的值是( )(A)1 (B) 21(C) 31(D)1- 21
16、-6 设 m， n 为非零复数， i 为虚数单位， zC，则方程| z ni| z mi| n 与| z ni| z mi| m 在同一复平面内的图形( F1， F2为焦点)是( )二填空题（每小题 5 分，共 30 分）1 二次方程(1 i)x2( i)x(1 i)0( i 为虚数单位， R)有两个虚根的充分必要条件是 的取值范围为_2 实数 x， y 满足 4x25 xy4 y25，设 S x2 y2，则minax1S_ _3 若 zC， arg(z24) 6， arg(z2+4) 3，则 z 的值是_ _4 整数 3109的末两位数是_5 设任意实数 x0 x1 x2 x30，要使193
17、logl193log2210 xxx193log0xk恒成立，则 k的最大值是_ _6 三位数(100，101，999)共 900 个，在卡片上打印这些三位数，每张卡片上打印一个三位数，有的卡片所印的，倒过来看仍为三位数，如 198 倒过来看是 861；有的卡片则不然，如 531 倒过来看是 ，因此，有些卡片可以一卡二用，于是至多可以少打印_ _张卡片三 （本题满分 20 分）三棱锥 S ABC 中，侧棱 SA、 SB、 SC 两两互相垂直， M 为三角形 ABC 的重心， D 为 AB 的中点，作与 SC 平行的直线DP证明：(1) DP 与 SM 相交；(2)设 DP 与 SM 的交点为
18、D，则 为三棱锥 S ABC 的外接球球心四 （本题满分 20 分）设 0 a b，过两定点 A(a，0)和 B(b，0)分别引直线 l 和 m，使与抛物线 y2 x 有四个不同的交点，当这四点共圆时，求这种直线 l 与 m 的交点 P 的轨迹五 （本题满分 20 分）设正数列 a0， a1， a2， an， 满足 1212nnnaa(n2)且 a0 a11求 an的通项公式xyF1F2 xyF1F2Oo F1F2 F1F2x x yo o y(A) (B) (C) (D)- 22 -1994 年全国高中数学联赛试题第 一 试一选择题(每小题 6 分，共 36 分)1设 a， b， c 是实数
19、，那么对任何实数 x， 不等式 0cossinxba都成立的充要条件是(A)a， b 同时为 0，且 c0 (B) 2(C) 2 (D) abc22给出下列两个命题：(1)设 a， b， c 都是复数，如果 c22，则 c20；(2)设 a， b， c 都是复数，如果 ab220，则 ab22那么下述说法正确的是(A)命题(1)正确，命题(2)也正确 (B)命题(1)正确，命题(2)错误(C)命题(1)错误，命题(2)也错误 (D)命题(1)错误，命题(2)正确3已知数列 an满足 3411ann()，且 a9，其前 n 项之和为 Sn，则满足不等式|Sn625的最小整数 n 是(A)5 (B
20、)6 (C)7 (D)84已知 40,1ab，则下列三数： xab(sin)logsi， yab(cos)lgcos， zab(in)logcs的大小关系是(A)x zy (B)y z x (C)z x y (D)x y z5在正 n 棱锥中，相邻两侧面所成的二面角的取值范围是(A)(,)2(B)(,)n1(C)(,)02(D)(,)n216在平面直角坐标系中，方程|xyab1(a， b 是不相等的两个正数 )所代表的曲线是(A)三角形 (B)正方形 - 23 -(C)非正方形的长方形 (D)非正方形的菱形二、填空题(每小题 9 分，共 54 分)1已知有向线段 PQ 的起点 P 和终点 Q
21、的坐标分别为(1，1)和(2，2)，若直线 l： x my m0 与 PQ 的延长线相交，则m 的取值范围是_ _2已知xyaR,4且 0cosin423ayyx，则 cos()xy2=_3已知点集)25()(|,2xyA，)25(4|),B，则点集B中的整点(即横、纵坐标均为整数的点 )的个数为_4设 0，则sin(cos)21的最大值是_5已知一平面与一正方体的 12 条棱的夹角都等于 ，则 sin=_6已知 95 个数 a12395, ， 每个都只能取1 或 1两个值之一，那么它们的两两之积的和1234的最小值是 _ _1995 年全国高中数学联赛第 一 试 一选择题(每小题 6 分，共
22、 36 分)1. 设等差数列 an满足 35813a且 0， Sn为其前项之和，则 Sn中最大的是( )(A) S10 (B) 1 (C) 20 (D) 212. 设复平面上单位圆内接正 20 边形的 20 个顶点所对应的复数依次为 Z120, ，则复数 Z11995， Z21995， ,Z20195所对应的不同的点的个数是( )(A)4 (B)5 (C)10 (D)203. 如果甲的身高数或体重数至少有一项比乙大，则称甲不亚于乙，在 100 个小伙子中，如果某人不亚于其他 99 人，就- 24 -称他为棒小伙子，那么，100 个小伙子中的棒小伙子最多可能有( )(A)1 个 (B)2 个 (
23、C)50 个 (D)100 个4. 已知方程 |()xnkxN2在区间(2 n-1，2 n+1上有两个不相等的实根，则 k 的取值范围是( )(A) k0 (B)01k(C)1212nn(D)以上都不是5. 1tglo,sinlg,tlo,cslgcs1co1sin1in 的大小关系是( )(A) tllill 1cos1sin1cos1sin t(B) tgllglilog 1sin1sin1cos1cst(C) coliltltl 1sin1cos1cos1sin (D) ilglgtltglo 1cos1sin1sin1cs6. 设 O 是正三棱锥 P-ABC 底面三角形 ABC 的中心
24、，过 O 的动平面与 PC 交于 S，与 PA， PB 的延长线分别交于 Q， R，则和式 QRS(A)有最大值而无最小值 ( B 有最小值而无最大值(C)既有最大值又有最小值，两者不等 (D)是一个与面 QPS 无关的常数二、填空题(每小题 9 分，共 54 分)1. 设 ,为一对共轭复数，若 |23，且2为实数，则 |_2. 一个球的内接圆锥的最大体积与这个球的体积之比为_3. 用 x表示不大于实数 x 的最大整数， 方程 lgl20x的实根个数是_4. 直角坐标平面上，满足不等式组yx310的整点个数是 _5. 将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，如果只有 5
25、种颜色可使用，那么不同的染色方- 25 -法的总数是_6. 设 M=1，2，3，1995， A 是 M 的子集且满足条件:当 xA时， 15x，则 A 中元素的个数最多是_一九九六年全国高中数学联合竞赛一、 选择题（本题满分 36 分，每小题 6 分）1. 把圆 x2+ (y 1 )2 =1 与椭圆 9x2 + (y + 1)2 = 9 的公共点, 用线段连接起来的图形是_.(A) 线段 (B) 不等边三角形 (C) 等边三角形 (D) 四边形2. 等比数列a n的首项 a11536, 公比是 q1 用 Tn表示它的前 n 项之积，则 Tn(nN)最大的是_(A) T9 (B) T11 (C)
26、 T12 (D) T133.存在在整数 n，使 np是整数的质数 p (A) 不存在 (B) 只有一个 (C) 多于一个，但为有限个 (D)有无穷多个4 设 x( 21，0)，以下三个数： 1=cos(sinx), 2=sin(cosx), 3=cos(x+1) 的大小关系是 _(A) 3 2 1 (B) 1 3 2 (C) 3 1 2 (D) 2 3 15.如果在区间1, 2 上, 函数 f(x) = x2 + px + q 与 g(x) = x + ()2在同一点取相同的最小值,那么 f (x)在该区间上的最大值是_.(A)344(B) 345(C) 34(D)以上答案都不对6.高为 8
27、的圆台内有一个半径为 2 的球 O1, 球心 O1在圆台的轴上. 球 O1与圆台上底面、侧面都相切. 圆台内可再放入一个半径为 3 的球 O2, 使得球 O2与球 O1、圆台的下底面及侧面都只有一个公共点 , 除球 O2, 圆台内最多还能放入半径为 3 的球的个数是_.(A)1 (B)2 (C)3 (D)4二、 填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分)1. 集合x| 1 log ()10 , xN的真子集的个数是_ 2. 复平面上非零复数 z1、 z2在以 i 为圆心 1 为半径的圆上， z1z1的实部为零，z 1的辐角主值为 61，则 z 2 = _3.曲线 C 的极坐标方程是 = 1
28、+ cos, 点 A 的极坐标是(2, 0) 曲线 C 在它所在的平面内绕 A 旋转一周, 则它扫过的图形的面积是_4.已知将给定的两个全等的三棱锥的底面粘在一起, 恰得到一个所有二面角都相等的六面体, 并且该六面体的最短棱的长为 2, 则最远的两个基本点顶点的距离是_5.从给定的六种不同颜色中选用若干种颜色.将一个正方体的六个面染色, 每面恰染一种颜色, 每两个具有公共棱的面染成不同颜色.则不同的染色方案共有_种.(注:如果我们对两个相同的正方体染色后,可以通过适当的翻转,使得两个正方体的上、下、左、右、前、后六个对应面的染色都相同,那么,我们就说这两个正方体的染色方案相同).6.在直角坐标
29、平面上，以（199，0）为圆心，以 199 为半径的圆周上，整点（即横、纵坐标皆为整数的点）的个数为_1997 年全国高中数学联合竞赛试卷(10 月 5 日上午 8:0010:00)- 26 -一、选择题(每小题 6 分，共 36 分)1已知数列 nx满足 11nx(n2)， x1a， x2 b， 记 Snx1 x2 xn，则下列结论正确的是(A)x100 a， S1002 b a (B)x100 b， S1002b a(C)x100 b， S100 b a (D)x100 a， S100 b a2如图，正四面体 ABCD 中， E 在棱 AB 上， F 在棱 CD 上，使得 )0(CBA，记
30、 )(f其中 表示 EF 与 AC 所成的角， 表示 EF 与 BD 所成的角，则(A) 在 ),单调增加(B) f在 0(单调减少(C) f在(0，1)单调增加，而在(1， 单调减少(D) 在(0， )为常数3.设等差数列的首项及公差均为非负整数，项数不少于 3，且各项的和为 972，则这样的数列共有(A)2 个 ( B)3 个 ( C)4 个 ( D)5 个4在平面直角坐标系中，若方程22)1yxyxm表示的曲线为椭圆，则 m 的取值范围为(A)(0，1) ( B)(1， ) (C)(0，5) ( D)(5， 5设 xf2)， arcsin 3，)45(arctg),31arcos,45a
31、rctg，则(A) )(ff (B) ()(ffff(C) )ff (D) )6如果空间三条直线 a， b， c 两两成异面直线，那么与 a， b， c 都相交的直线有(A) 0 条 ( B) 1 条 ( C)多于 1 的有限条 ( D) 无穷多条二、 填空题(每小题 9 分，共 54 分)设 x， y 为实数，且满足 1)(17)(3yyxx，则 x y .过双曲线12的右焦点作直线 l 交双曲线于 A、 B 两点，若实数 使得| AB| 的直线 l 恰有 3 条，则 .AB C DE F- 27 -已知复数 z 满足1|2|z，则 z 的幅角主值范围是 已知三棱锥 SABC 的底面是以 A
32、B 为斜边的等腰三角形， SA SB SC2， AB2，设 S、 A、 B、 C 四点均在以 O 为球心的某个球面上，则点 O 到平面 ABC 的距离为 设 ABCDEF 为正六边形，一只青蛙开始在顶点 A 处，它每次可随意地跳到相邻两顶点之一若在 5 次之内跳到 D 点，则停止跳动；若 5 次之内不能到达 D 点，则跳完 5 次也停止跳动，那么这只青蛙从开始到停止，可能出现的不同跳法共 种设 a lgzlg x(yz)11， b lgx1lg( xyz1)， c lgylg( xyz)11，记 a， b， c 中最大数为 M，则 M 的最小值为 一九九八年全国高中数学联合竞赛试卷（10 月
33、11 日上午 8 0010 00）一、 选择题（本题满分 36 分，每小题 6 分）1 若 a1, b1 且 lg(a+b)=lga+lgb，则 lg(a1)+lg(b1)的值(A) 等于 lg2 (B)等于 1 (C)等于 0 (D)不是与 a,b 无关的常数2 若非空集合 A=x|2a+1 x3 a5,B=x|3 x22，则能使 AAB 成立的所有 a 的集合是( )(A)a|1 a9 (B) a|6 a9 (C) a|a9 (D) 3 各项均为实数的等比数列 an前 n 项和记为 Sn，若 S10=10,S30=70，则 S40等于( )(A) 150 (B) 200 (C) 150 或
34、 200 (D)400 或504 设命题 P：关于 x 的不等式 a1x2+b1x+c10 与 a2x2+b2x+c20 的解集相同；命题 Q： 2121cba。则命题 Q(A)是命题 P 的充分必要条件 (B)是命题 P 的充分条件但不是必要条件(C)是命题 P 的必要条件但不是充分条件(D)既不是命题 P 的充分条件也不是命题 P 的必要条件5 设 E ,F,G 分别是正四面体 ABCD 的棱 AB,BC,CD 的中点，则二面角 CFGE 的大小是( )(A) 36arcsin(B) 3arcos2(C)tg2(D)tg6 在正方体的 8 个顶点，12 条棱的中点，6 个面的中心及正方体的
35、中心共 27 个点中，共线的三点组的个数是( )(A) 57 (B) 49 (C) 43 (D) 37二、 填空题（本题满分 54 分，每小题 9 分）1 若 )(Rxf是以 2 为周期的偶函数，当 1,0x时， 18)(xf，则)(f,)170f, 54(f由小到大的排列是_.2 设复数 z= sinco( 0 18 )，复数 z,(1+i)z,2 在复平面上对应的三个点分别是 P,Q,R，当 P,Q,R 不共线时，以线段 PQ,PR 为两边的平行四边形的第四个顶点为 S，则点 S 到原点距离的最大值是_.3 从 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 这 10 个数中取出 3 个数，使其和
36、为不小于 10 的偶数，不同的取法有_种.4 各项为实数的等差数列的公差为 4，其首项的平方与其余各项之和不超过 100，这样的数列至多有_项.5 若椭圆 )(422ayx与抛物线 yx2有公共点，则实数 a 的取值范围是_.6 ABC 中， C=90, B=30,AC=2， M 是 AB 的中点，将 ACM 沿 CM 折起，使 A,B 两点间的距离为 2，此时三棱锥 ABCM 的体积等于_.三、 （本题满分 20 分）已知复数 z=1sin+icos ()，求 z 的共轭复数 z的辐角ABC DEF GABC M- 28 -主值。四、 （本题满分 20 分）设函数 38)(2xaxf(a0)
37、，对于给定的负数 a，有一个最大的正数 l(a)，使得在整个区间0, l(a)上，不等式| f (x)|5 都成立。问： a 为何值时 l(a)最大？求出这个最大的 l(a)，证明你的结论。五、 （本题满分 20 分）已知抛物线 pxy2及定点 ),(bA,B(a,0), )2,0pab， M 是抛物线上的点，设直线 AM,BM 与抛物线的另一交点分别为 M1,M2.求证：当 M 点在抛物线上变动时（只要 M1,M2存在且 M1 M2） ，直线 M1M2恒过一个定点，并求出这个定点的坐标。1999 年全国高中数学联合竞赛一 选择题（满分 36 分，每小题 6 分）1 给定公比为 q(q1)的等
38、比数列 an，设 b1 a1 a2 a3， b2 a4 a5 a6， bn a3n2 a3n1 a3n,，则数列bn( )(A)是等差数列 ( B)是公比为 q 的等比数列(C)是公比为 q3的等比数列 ( D)既非等差数列也非等比数列2 平面直角坐标系中，纵、横坐标都是整数的点叫做整点，那么，满足不等式 (| x |1) 2(| y |1)22 的整点(x， y)的个数是( )(A)16 (B)17 (C)18 (D)253 若( log23)x(log53)x( log23) y(log53) y，则( )(A)xy0 (B)x y0 ( C)xy0 ( D)x y04 给定下列两个关于异
39、面直线的命题：命题：若平面 上的直线 a 与平面 上的直线 b 为异面直线，直线 c 是 与 的交线，那么， c 至多与 a,b 中的一条相交；命题：不存在这样的无穷多条直线，它们中的任意两条都是异面直线。那么，( )(A)命题正确，命题不正确 ( B)命题正确，命题不正确(C)两个命题都正确 ( D)两个命题都不正确5 在某次乒乓球单打比赛中，原计划每两名选手恰比赛一场，但有 3 名选手各比赛了 2 场之后就退出了，这样，全部比赛只进行了 50 场。那么，在上述 3 名选手之间比赛的场数是( )- 29 -(A)0 (B)1 (C)2 (D)36 已知点 A(1,2)，过点(5,2)的直线与
40、抛物线 y24 x 交于另外两点 B,C，那么， ABC 是( )(A)锐角三角形 ( B)钝角三角形 ( C)直角三角形 ( D)答案不确定二 填空题（满分 54 分，每小题 9 分）1 已知正整数 n 不超过 2000，并且能表示成不少于 60 个连续正整数之和，那么，这样的 n 的个数是_2 已知 arctg 125，那么，复数 iz239snco的辐角主值是_ _3 在 ABC 中，记 BC a， CA b， AB c，若 9a29 b219c20，则 BACctg_4 已知点 P 在双曲线1962yx上，并且 P 到这条双曲线的右准线的距离恰是 P 到这条双曲线的两个焦点的距离的等差
41、中项，那么， P 的横坐标是_5 已知直线 ax by c0 中的 a， b， c 是取自集合3， 2， 1，0，1，2，,3中的 3 个不同的元素，并且该直线的倾斜角为锐角，那么，这样的直线的条数是_ _6 已知三棱锥 SABC 的底面是正三角形， A 点在侧面 SBC 上的射影 H 是 SBC 的垂心，二面角 HABC 的平面角等于30, SA2 3。那么三棱锥 SABC 的体积为_三、(满分 20 分)已知当 x0,1时，不等式 0sin)1(cos22 xx恒成立，试求的取值范围四、(满分 20 分)给定 A(2,2)，已知 B 是椭圆 625y上的动点， F 是左焦点，当| AB|
42、35|BF|取最小值时，求B 的坐标五、(满分 20 分)给定正整数 n 和正数 M，对于满足条件21na M 的所有等差数列 a1,a2,a3,.，试求S an1 an2 a2n1 的最大值2000 年全国高中数学联合竞赛试卷（10 月 15 日上午 8:00-9:40）一、选择题（本题满分 36 分，每小题 6 分） 1设全集是实数，若 A=x| 0，B=x| = ,则 是( ) - 30 -(A)2 (B)-1 (C)x|x2 (D) 2设 sina0,cosa0,且 sin cos ,则 的取值范围是( ) (A)(2kp+ ,2kp+ ),k?Z (B)( + , + ),k?Z (C)(2kp+ ,2kp+p),k?Z (D)(2kp+ ,2kp+ ) (2kp+ ,2kp+p),k?Z 3已知点 A 为双曲线 x2-y2=1 的左顶点，点 B 和点 C 在双曲线的右分支上，ABC 是等边三角形，则ABC 的面积是( ) (A) (B) (C)3 (D)6 4给定正数 p,q,a,b,c，其中 p1q，若 p,a,q 是等比数列，p,b,c,q 是等差数列，则一元二次方程
