1、1整式的乘除与因式分解培优练习一、逆用幂的运算性质4已知： ，求 、 的值。2,3nmxnmx23n235已知： ， ，则 =_。ab10二、式子变形求值3已知 ，求 的值。0132x2x4已知： ，则 = .2yxy25 的结果为 .24(1)(1)7已知： ， ， ，078xa208xb209xc求 的值。accb228若 则1,n32_.n9已知： ，则 _， _。0162yxxy10已知 ，则代数式 的值是_。58baba三、式子变形判断三角形的形状1已知： 、 、 是三角形的三边，且满足 ，则该三角c 022 acbca形的形状是_.2若三角形的三边长分别为 、 、 ，满足 ，则这个
2、三角形abc322b是_。3已知 、 、 是ABC 的三边，且满足关系式 ，试判断abc 22baccaABC 的形状。四、简答题6为促进节约用水和保障城市供水行业健康发展，某市将实施阶梯式计量水价该市在五个区内选取了近 10 万户居民，进行阶梯式计量水价的“模拟操作” ，对自来水用户按如下标准收费：第一等级是每月每户用水不超过 a 吨，水价是每吨 m 元；第二等级是月用水量超过 a 吨，但不超过 30 吨的部分，水价每吨 2m 元；第三等级是月用水量超过 30 吨，超过 30 吨的部分水价为每吨 3m 元现有一居民本月用水 x 吨，则应交水费多少元?27利用我们学过的知识，可以导出下面这个形
3、式优美的等式：a2+b2+c2-ab-bc-ac= 1 (a-b) 2+(b-c) 2+(c-a) 2学科王该等式从左到右的变形，不仅保持了结构的对称性，还体现了数学的和谐、简洁美(1)请你检验这个等式的正确性；学科王(2)若 a=2006，b=2008，c=2010，你能很快求出 a2+b2+c2-ab-bc-ac 的值吗?8. （4 分） （1）阅读下列解答过程（1） 问：求 y2+4y+8 的最小值.（2）模仿（1）的解答过程，求 m2+m+4 的最小值(3)求 的最大值247x9、如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数” 。如 4=22-0，12=4 2
4、-22，20=6 2-42 ，因此 4，12，20 这三个数都是神秘数。（1）28 和 2012 这两个数是神秘数吗？为什么？（2）设两个连续偶数为 2k+2 和 2k（其中 k 取非负整数） ，由这两个连续偶数构造的神秘数是 4 的倍数吗？为什么？（3）两个连续奇数的平方差（取正数）是神秘数吗？为什么？（3）由（2）知，神秘数可表示成 4（2k+1） ，因为 2k+1 是奇数，因此神秘数是 4 的倍数，但一定不是 8 的倍数。另一方面，设两个连续奇数为 2n+1，2n-1 ，则即两个连续奇数的平方差是 8 的倍数，因此两个连续奇数的平方差不是神秘数。因式分解的方法一、用提公因式法把多项式进行
5、因式分解1. 在多项式恒等变形中的应用3例：不解方程组 ，求代数式 的值。235xy()()232xyxy2. 在代数证明题中的应用例：证明：对于任意自然数 n， 一定是 5 的倍数。32nn题型展示：例 1. 计算： 201020精析与解答：设 ，则aa201020aaa()()10说明：此题是一个有规律的大数字的运算，若直接计算，运算量必然很大。其中 2000、2001重复出现，又有 的特点，可通过设未知数，将复杂数字间的运算转化为代数式，210再利用多项式的因式分解化简求值，从而简化计算。例 3. 设 x 为整数，试判断 是质数还是合数，请说明理由。1052x()解： 1052()()x
6、都是大于 1 的自然数25，是合数()x说明：在大于 1 的正数中，除了 1 和这个数本身，还能被其它正整数整除的数叫合数。只能被41 和本身整除的数叫质数。【实战模拟】1. 证明： 能被 45 整除。81279132. 化简： ，且当 时，求原式的值。111295xxx()()()x0二、运用公式法进行因式分解1. 在几何题中的应用。例：已知 是 的三条边，且满足 ，试判断abc、 、 ABCabcabc220的形状。ABC2. 在代数证明题中应用例：两个连续奇数的平方差一定是 8 的倍数。题型展示：例 1. 已知： ，ambcm1212123， ，求 的值。bc2例 2. 已知 ，aabc
7、0033，求证： bc55例 3. 若 ，求 的值。xyxy32279， xy2解： 7()5且 xy229)1(32yx，又 xy22两式相减得 0所以 xy29说明：按常规需求出 的值，此路行不通。用因式分解变形已知条件，简化计算过程。xy，【实战模拟】 3. 若 是三角形的三条边，求证：abc， ， abc2204. 已知： ，求 的值。2102015. 已知 是不全相等的实数，且 ，试求abc， ， abcbca033，（1） 的值；（2） 的值。()()()11三、用分组分解法进行因式分解例 1. 分解因式 xx54321分析：这是一个六项式，很显然要先进行分组，此题可把 分别看成x
8、x54321和一组，此时六项式变成二项式，提取公因式后，再进一步分解；此题也可把 ，54分别看作一组，此时的六项式变成三项式，提取公因式后再进行分解。x321和例 2. 在几何学中的应用6已知三条线段长分别为 a、b、c，且满足 abcbac， 22例 3. 在方程中的应用求方程 的整数解xy题型展示：例 1. 已知： ，求 ab+cd 的值。abcdacbd22110， ， 且解：ab+cd= aabcdcdbaac()()()()2222acbd0原 式说明：首先要充分利用已知条件 中的 1（任何数乘以 1，其值不变） ，abcd221，其次利用分解因式将式子变形成含有 ac+bd 因式乘
9、积的形式，由 ac+bd=0 可算出结果。例 2. 分解因式： x32分析：此题无法用常规思路分解，需拆添项。观察多项式发现当 x=1 时，它的值为 0，这就意味着 的一个因式，因此变形的目的是凑 这个因式。x13是 x1解一（拆项）：xx33322112()()解二（添项）：xxx3322231()()说明：拆添项法也是分解因式的一种常见方法，请同学们试拆一次项和常数项，看看是否可解？7【实战模拟】1. 已知： ，试求 AxyzAxyzxyzxyz22 330 ， 是 一 个 关 于 的 一 次 多 项 式 ， 且, ()的表达式。2. 证明： ()()()()abaabb21122四、用十
10、字相乘法把二次三项式分解因式例. 证明：若 是 7 的倍数，其中 x，y 都是整数，则 是 49 的倍数。4xy810322xy中考点拨例 1.把 分解因式的结果是_。22495yxy题型展示例 1. 若 能分解为两个一次因式的积，则 m 的值为（ ）xym26A. 1 B. -1 C. D. 21解： xyxy2556-6 可分解成 或 ，因此，存在两种情况：3（ 1） x+y -2 （ 2） x+y -3 x-y 3 x-y 2 由（1）可得： ，由（1）可得：mm1故选择 C。说明：对二元二次多项式分解因式时，要先观察其二次项能否分解成两个一次式乘积，再通过待定系数法确定其系数，这是一种
11、常用的方法。8例 2. 已知：a、b、c 为互不相等的数，且满足 。acbac24求证： bc证明： ab24accbca22 2220440说明：抓住已知条件，应用因式分解使命题得证。例 3. 若 有一因式 。求 a，并将原式因式分解。xxa3257x1解： 有一因式当 ，即 时，1032570axxxx3222574131说明：由条件知， 时多项式的值为零，代入求得 a，再利用原式有一个因式是 ，x1 x1分解时尽量出现 ，从而分解彻底。【实战模拟】1. 分解因式：（1） （2）ab26391574212xynnn（3） xx223792. 在多项式 ，哪些是多项式xxxxx1232321
12、23， ， ， ， ，的因式？x242093. 已知多项式 有一个因式，求 k 的值，并把原式分解因式。2133xxk4. 分解因式： 352942xyxy5. 已知： ，求 的值。xyxy05312， 1292xy分式提高测试一 判断下列各分式中 x 取什么值时，分式的值为 0？x 取什么值时，分式无意义（本题 15 分，每小题 5 分）： ； 2 ； 3 )1(32521x二 化简(本题 40 分，每小题 8 分)：1 ； xx36(46222 ；)(1)(3432abba103 ；321yx；4 ；)5(5 .)1)(12xx三 解下列分式方程（本题 20 分，每小题 10 分）：1 ；2223yyy2 .143)(1x四 (本题 10 分)1.车间有甲、乙两个小组，甲组的工作率比乙组的高 25%，因此甲组加工 2000 个零件所用的时间比乙组加工 1800个零件所用的时间还少 30 分钟，问两组每小时各加工多少零件？2.甲、乙两人各走 14 千米，甲比乙早半小时走完全程已知甲与乙速度的比为 87，求两人的速度各是多少？
