1、二次函数最全面的复习讲义学习目标1通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义；2会用描点法画出二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质；3会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴( 公式不要求记忆和推导)，并能解决简单的实际问题；4会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.知识网络要点一、二次函数的定义一般地，如果 是常数， ，那么 叫做 的二次函数.要点诠释：如果 y=ax2+bx+c(a,b,c 是常数，a0)，那么 y 叫做 x 的二次函数这里，当a=0 时就不是二次函数了，但 b、c 可分别为零，也可以同时都为零a 的绝对值越大，抛物线的开口越小.2、用
2、待定系数法求二次函数解析式1.二次函数解析式常见有以下几种形式 ：(1)一般式： (a，b，c 为常数，a0)；(2)顶点式： (a，h，k 为常数，a0)；(3)交点式： ( ， 为抛物线与 x 轴交点的横坐标，a0)3、2.确定二次函数解析式常用待定系数法，用待定系数法求二次函数解析式的步骤如下第一步，设：先设出二次函数的解析式，如 或 ，或 ，其中 a0；第二步，代：根据题中所给条件，代入二次函数的解析式中，得到关于解析式中待定系数的方程(组)；第三步，解：解此方程或方程组，求待定系数；第四步，还原：将求出的待定系数还原到解析式中类型一：二次函数的概念1、下列函数中，是关于 x 的二次函
3、数的是_(填序号)(1)y-3x 2；(2) ；(3)y3x 2-4-x3； (4) ；(5)yax 2+3x+6；(6) 【变式 1】下列函数中，是二次函数的是（ )A. B. C. D.【变式 2】如果函数 是二次函数，求 m 的值类型二、求二次函数的解析式1已知二次函数的图象经过原点及点 ，且图象与 x 轴的另一交点到原点的距离为 1，则该二次函数的解析式为_【答案】 或 【变式】已知：抛物线 y=x2+bx+c 的对称轴为 x=1，交 x 轴于点 A、B(A 在 B 的左侧)，且AB=4，交 y 轴于点 C.求此抛物线的函数解析式及其顶点 M 的坐标.【答案】对称轴 x=1，且 AB=
4、4抛物线与 x 轴的交点为：A(-1，0)，B(3，0)y=x 2-2x-3 为所求,x=1 时 y=-4，M(1，-4).课堂练习1 已知二次函数的图象过（1，9）、（1，3）和（3，5）三点，求此二次函数的解析式【答案与解析】本题已知三点求解析式，可用一般式.设此二次函数的解析式为 y=ax2+bx+c(a0)，由题意得：解得 所求的二次函数的解析式为 y=-x2+3x-5.2 在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为 ，且过点 .（1）求该二次函数的解析式；（2）将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与 轴的另一个交点的坐标.【答案】（1
5、） （2）令 ，得 ，解方程，得 ， 二次函数图象与 轴的两个交点坐标分别为 和 二次函数图象向右平移 1 个单位后经过坐标原点平移后所得图象与 轴的另一个交点坐标为3已知二次函数的图象如图所示，求此抛物线的解析式【答案与解析】解法一：设二次函数解析式为 (a0)，由图象知函数图象经过点(3，0)，(0，3)则有 解得 抛物线解析式为 解法二：设抛物线解析式为 (a0)由图象知，抛物线与 x 轴两交点为(-1，0)，(3，0) 则有 ，即 又 ， 抛抛物物解析式为 课后巩固练习一、选择题1. 二次函数的图象经过点 A(0，0)，B(-1，-11)，C(1，9)三点，则它的解析式为( )A B
6、C D2二次函数 有( )A最小值-5 B最大值-5 C最小值-6 D最大值-63把抛物线 y=3x2先向上平移 2 个单位再向右平移 3 个单位，所得的抛物线是（ ）A. y=3(x3) 2+2 B.y=3(x+3)2+2 C.y=3(x3) 22 D. y=3(x+3)224如图所示，已知抛物线 y 的对称轴为 x2，点 A，B 均在抛物线上，且 AB 与 x 轴平行，其中点 A 的坐标为(0，3)，则点 B 的坐标为 ( )A.(2，3) B.(3，2) C.(3，3) D.(4，3)5将函数 的图象向右平移 a(a0)个单位，得到函数 的图象，则 a 的值为( )A1 B2 C3 D4
7、6若二次函数 的 x 与 y 的部分对应值如下表：x -7 -6 -5 -4 -3 -2Y -27 -13 -3 3 5 3则当 x1 时，y 的值为 ( )A5 B-3 C-13 D-27二、填空题7抛物线 的图象如图所示，则此抛物线的解析式为_第 7 题 第 10 题8已知二次函数的图象过坐标原点，它的顶点坐标是(1，-2)，则这个二次函数的关系式为_9已知抛物线 该抛物线的对称轴是_，顶点坐标_；10如图所示已知二次函数 的图象经过点（-1，0），（1，-2），当y 随 x 的增大而增大时，x 的取值范围是_11已知二次函数 (a0)中自变量 x 和函数值 y 的部分对应值如下表： -1
8、 0 1 -2 -2 0 则该二次函数的解析式为_12已知抛物线 的顶点坐标为(3，-2)，且与 x 轴两交点间的距离为4，则抛物线的解析式为_三、解答题13根据下列条件，分别求出对应的二次函数解析式(1)已知抛物线的顶点是(1，2)，且过点(2，3)；(2)已知二次函数的图象经过(1，-1)，(0，1)，(-1，13)三点；(3)已知抛物线与 x 轴交于点(1，0)，(3，0)，且图象过点(0，-3)14如图，已知直线 y-2x+2 分别与 x 轴、y 轴交于点 A，B，以线段 AB 为直角边在第一象限内作等腰直角三角形 ABC，BAC90，求过 A、B、C 三点的抛物线的解析式15在矩形
9、AOBC 中，OB6，OA4，分别以 OB，OA 所在的直线为 轴和 轴建立如图所示的平面直角坐标系，F 是边 BC 上的一个动点（不与 B、C 重合)，过 F 点的反比例函数(k0)的图象与 AC 边交于点 E(1)求证：AEAOBFBO；(2)若点 E 的坐标为(2，4)，求经过点 O，E，F 三点的抛物线的解析式一、选择题1.【答案】D；【解析】设抛物线的解析式为 (a0) ，将 A、B、C 三点代入解得， ，c 02.【答案】C；【解析】首先将一般式通过配方化成顶点式，即， a10， x-1 时， 3.【答案】A； 4.【答案】D；【解析】 点 A，B 均在抛物线上，且 AB 与 x
10、轴平行， 点 A 与点 B 关于对称轴 x2 对称， 又 A(0，3)， AB 4，y By A3， 点 B 的坐标为(4，3)5.【答案】B；【解析】抛物线的平移可看成顶点坐标的平移， 的顶点坐标是，的顶点坐标是 ， 移动的距离6.【答案】D；【解析】此题如果先用待定系数法求出二次函数解析式，再将 x1 代入求函数值，显然太繁，而由二次函数的对称性可迅速地解决此问题观察表格中的函数值，可发现，当 x-4 和 x-2 时，函数值均为 3，由此可知对称轴为 x-3，再由对称性可知 x1 的函数值必和 x-7 的函数值相等，而 x-7 时 y-27 x1 时，y-27二、填空题7.【答案】 ；【解
11、析】由图象知抛物线与 x 轴两交点为(3，0)，(-1，0)，则 8.【答案】 ；【解析】设顶点式，再把点（0,0）代入所设的顶点式里即可9.【答案】(1)x1；(1 ，3)；【解析】代入对称轴公式 和顶点公式 即可. 10.【答案】 ；【解析】将(-1，0)，(1，-2)代入 中得 b-1， 对称轴为 ，在对称轴的右侧，即 时，y 随 x 的增大而增大.11.【答案】 ；【解析】此题以表格的形式给出 x、y 的一些对应值要认真分析表格中的每一对x、y 值，从中选出较简单的三对 x、y 的值即为(-1，-2)，(0，-2)，(1 ，0)，再设一般式 ，用待定系数法求解设二次函数解析式为 (a0
12、) 由表知 解得 二次函数解析式为 12.【答案】 【解析】由题意知抛物线过点(1 ，0)和(5，0) 三、解答题13.【答案与解析】(1) 顶点是(1，2)， 设 (a0)又 过点(2，3) ， ， a1 ，即 (2)设二次函数解析式为 (a0)由函数图象过三点(1 ，-1)，(0，1)，(-1，13)得 解得 故所求的函数解析式为 (3)由抛物线与 x 轴交于点(1 ，0)，(3，0)， 设 ya(x-1)(x-3)(a0)，又 过点(0，-3)， a(0-1)(0-3)-3， a-1， y-(x-1)(x-3)，即 14.【答案与解析】过 C 点作 CDx 轴于 D在 y-2x+2 中，
13、分别令 y0 ，x0 ，得点 A 的坐标为 (1，0)，点 B 的坐标为(0，2) 由 ABAC，BAC 90，得BAOACD， AD OB2，CD AO1 ， C 点的坐标为(3，1) 设所求抛物线的解析式为 ，则有 ，解得 ， 所求抛物线的解析式为 15.【答案与解析】(1)证明：由题意知，点 E、F 均在反比例函数 图象上，且在第一象限，所以 AEAOk ，BFBOk，从而 AEAOBFBO(2)将点 E 的坐标为(2，4)代入反比例函数 得 k8，所以反比例函数的解析式为 OB6， 当 x6 时，点 F 的坐标为 设过点 O、E 、F 三点的二次函数表达式为 (a0)，将点 0(0，0
14、) ，E(2，4)， 三点的坐标代入表达式得：解得 经过 O、E 、F 三点的抛物线的解析式为： 要点二、二次函数的图象与性质1.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式： ； ； ； ，其中 ； .（以上式子 a0）几种特殊的二次函数的图象特征如下：函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标( 轴) (0，0)( 轴) (0， )当 时开口向上 当 时开口向下 ( ， 0)( ， )( )2.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.(1) 的符号决定抛物线的开口方向：当 时，开口向上；当 时，开口向下；相等，抛物线的开口大小、形状相同.(2)平行于 轴(或重合)的直线记作 .特别地， 轴记作直线
15、 .3.抛物线 中， 的作用：(1) 决定开口方向及开口大小，这与 中的 完全一样.(2) 和 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线 的对称轴是直线 ，故： 时，对称轴为 轴； (即 、 同号)时，对称轴在 轴左侧； (即 、 异号)时，对称轴在 轴右侧.(3) 的大小决定抛物线 与 轴交点的位置.当 时， ，抛物线 与 轴有且只有一个交点(0， )： ，抛物线经过原点； ，与 轴交于正半轴； ，与 轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在 轴右侧，则 .类型一、二次函数 y=ax2（a0）的图象与性质1二次函数 yx 2的图象对称轴左侧上有两点 A(a，15
16、)，B(b， )，则 a-b_0(填“”、“”或“”号)【解析】将 A(a，15)， 分别代入 yx 2 中得： ； ，又 A、B 在抛物线对称轴左侧， a0 ，b 0 ，即 ， 【变式 1】二次函数 与 的形状相同，开口大小一样，开口方向相反，则_【答案】2.【变式 2】不计算比较大小：函数 的图象右侧上有两点 A（a，15），B（b，0.5），则 a_b答案】.2 已知 y=(m+1)x 是二次函数且其图象开口向上 ,求 m 的值和函数解析式.【答案与解析】由题意， ，解得 m=1，二次函数的解析式为：y= .3求下列抛物线的解析式：（1）与抛物线 形状相同，开口方向相反，顶点坐标是（ 0
17、，-5 ）的抛物线；（2）顶点为（0，1 ） ，经过点（3 ，-2 ）并且关于 y 轴对称的抛物线【答案与解析】（1）由于待求抛物线 形状相同，开口方向相反，可知二次项系数为 ，又顶点坐标是（0，-5） ，故常数项 ，所以所求抛物线为 （2）因为抛物线的顶点为（ 0，1） ，所以其解析式可设为 ，又该抛物线过点（3，-2） ， ，解得 所求抛物线为 4在同一直角坐标系中，画出 和 的图象，并根据图象回答下列问题(1)抛物线 向_平移_个单位得到抛物线 ；(2)抛物线 开口方向是_，对称轴为_，顶点坐标为_；(3)抛物线 ，当 x_时，随 x 的增大而减小；当 x_时，函数 y 有最_值，其最_
18、值是_【答案与解析】函数 与 的图象如图所示：(1)下； l ； (2)向下； y 轴； (0，1)； (3)0； 0； 大； 大 ； 1.课堂练习一、选择题1. 关于函数 y= 的图象 ,则下列判断中正确的是( )A. 若 a、b 互为相反数, 则 x=a 与 x=b 的函数值相等；B. 对于同一个自变量 x,有两个函数值与它对应；C. 对任一个实数 y,有两个 x 和它对应；D. 对任意实数 x,都有 y0.2. 下列函数中，开口向上的是（ ）A. B. C. D. 3. 把抛物线 向上平移 1 个单位，所得到抛物线的函数表达式为 ( )A B C D4. 下列函数中，当 x0 时，y 值
19、随 x 值的增大而增大的是（ ）A. B. C. D. 5. 在同一坐标系中，作出 ， ， 的图象，它们的共同点是（ ） A关于 y 轴对称，抛物线的开口向上 B关于 y 轴对称，抛物线的开口向下C关于 y 轴对称，抛物线的顶点都是原点 D关于原点对称，抛物线的顶点都是原点6. 晴天时，汽车的刹车距离 s (m)与开始刹车时的速度 v(m/s)之间满足二次函数，若汽车某次的刹车距离为 2.25m，则开始刹车时的速度为( )A. 10m/s B. 15m/s C. 20m/s D. 25m/s二、填空题7. 已知抛物线的解析式为 y-3x 2，它的开口向_，对称轴为_ ，顶点坐标是_，当 x0
20、时，y 随 x 的增大而_8. 若函数 yax 2 过点(2 ，9)，则 a_9. 已知抛物线 yx 2 上有一点 A，A 点的横坐标是-1 ，过点 A 作 ABx 轴，交抛物线于另一点 B，则AOB 的面积为_10. 写出一个过点（1，2）的函数解析式_11. 函数 ， 、 的图象大致如图所示，则图中从里向外的三条抛物线对应的函数关系式是_12. 若对于任意实数 x，二次函数 的值总是非负数，则 a 的取值范围是_三、解答题13已知 是二次函数，且当 x0 时，y 随 x 的增大而增大（1）求 m 的值；（2）画出函数的图象14. 已知抛物线 经过 A（-2 ，-8）.（1）求此抛物线的函数
21、解析式；（2）判断 B（-1，-4）是否在此抛物线上？（3）求此抛物线上纵坐标为 -6 的点的坐标.15函数 y=ax2 (a0) 的图象与直线 y=2x-3 交于点(1 ，b) （1）求 a 和 b 的值；（2）求抛物线 y=ax2 的解析式，并求顶点坐标和对称轴；（3）x 取何值时， y 随 x 的增大而增大?（4）求抛物线与直线 y=-2 的两个交点及其顶点所构成的三角形的面积一、选择题1 【答案】A.2 【答案】D；【解析】开口方向由二次项系数 a 决定，a0 ，抛物线开口向上； a0，抛物线开口向下.3 【答案】A ；【解析】由抛物线 的图象知其顶点坐标为(0 ，0)，将它向上平移
22、1 个单位后，抛物线的顶点坐标为(0，1) ，因此所得抛物线的解析式为 4 【答案】B； 【解析】根据抛物线 的图象的性质，当 a0 时，在对称轴（x=0）的左侧，y值随 x 值的增大而增大，所以答案为 B.5. 【答案】C；【解析】y2x 2，y-2x 2， 的图象都是关于 y 轴对称的，其顶点坐标都是(0，0) 6. 【答案】B；【解析】当 s2.25 时， ，v15 二、填空题7 【答案】下 ； y 轴； (0，0)； 减小；8 【答案】 ；【解析】将点(2，9) 代入解析式中求 a.9 【答案】 1 ； 【解析】由抛物线的对称性可知 A(-1，1)，B(1 ，1) ，则.10 【答案】
23、【解析】答案不唯一.11 【答案】 ， ， 【解析】先比较 ，|1| ，|3|的大小关系，由|a|越大开口越小，可确定从里向外的三条抛物线所对应的函数依次是 y3x 2，yx 2， 12 【答案】a -1 ；【解析】二次函数 的值总是非负数，则抛物线必然开口向上，所以a+1 0.三、解答题13. 【解析】解：（1） 为二次函数，且当 x0 时， y 随 x 的增大而增大， ， ，m=1.（2）由（1）得这个二次函数解析式为 ，自变量 x 的取值范围是全体实数，可以用描点法画出这个函数的图象如图所示14. 【解析】解：（1）抛物线 经过 A（-2 ，-8） ，-8=4a，a=-2 ，抛物线的解析
24、式为： .（2）当 x=-1 时，y=-2 =-2-4，点 B（-1，-4 ）不在此抛物线上.（3）当 y=-6 时，即 ，得 ，此抛物线上纵坐标为-6 的点的坐标是（ ，-6）和（ ，-6）.15. 【解析】解：（1）将 x=1，y=b 代入 y=2x-3，得 b=-1，所以交点坐标是(1，-1)将 x=1，y=-1 代入 y=ax2，得 a=-1，所以 a=-1，b=-1（2）抛物线的解析式为 y=-x2，顶点坐标为(0，0) ，对称轴为直线 x=0(即 y 轴) （3）当 x0 时，y 随 x 的增大而增大（4）设直线 y=- 2 与抛物线 y=-x2 相交于 A、B 两点，抛物线顶点为
25、 O(0，0) 由 ,，得A( ，-2)，B( ，-2)AB=| -(- )|=2 ，高=|-2|=2 类型二、二次函数 y=a（x-h)2+k(a 0)的图象与性质1将抛物线 作下列移动，求得到的新抛物线的解析式(1)向左平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位；(2)顶点不动，将原抛物线开口方向反向；(3)以 x 轴为对称轴，将原抛物线开口方向反向【答案与解析】抛物线 的顶点为(1，3)(1)将抛物线向左平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位后，顶点为(-1，0) ，而开口方向和形状不变，所以 a2，得到抛物线解析式为 (2)顶点不动为 (1，3)，开口方向反向，则 ，所得抛物线解析式为
26、 (3)因为新顶点与原顶点 (1，3)关于 x 轴对称，故新顶点应为(1，-3)又 抛物线开口反向， 故所得抛物线解析式为 2把抛物线 向上平移 2 个单位，再向左平移 4 个单位，得到抛物线，求 b，c 的值.【答案与解析】根据题意得，y=(x-4) 2-2=x2-8x+14, 所以 【变式】二次函数 的图象可以看作是二次函数 的图象向 平移 4 个单位，再向 平移 3 个单位得到的【答案】上；右.3已知 与 的图象交于 A、B 两点，其中 A(0，-1)，B(1，0) (1)确定此二次函数和直线的解析式；(2)当 时，写出自变量 x 的取值范围【答案与解析】(1) ， 的图象交于 A、B
27、两点， 且解得 且 二次函数的解析式为，直线方程为 (2)画出它们的图象如图所示，由图象知当 x0 或 x1 时， 4如图，抛物线的顶点为 A（2 ，1） ，且经过原点 O，与 x 轴的另一个交点为 B（1）求抛物线的解析式；（2）求AOB 的面积；（3）若点 P（m，-m） （m0）为抛物线上一点，求与 P 关于抛物线对称轴对称的点Q 的坐标（注：抛物线 y=ax2+bx+c 的对称轴是 x=- ）.【答案与解析】解：（1）设二次函数的解析式为 y=a（x-2） 2+1， 将点 O（0，0 ）的坐标代入得：4a+1=0，解得 a=- 所以二次函数的解析式为 y=- （x-2） 2+1；（2）
28、抛物线 y=- （x-2） 2+1 的对称轴为直线 x=2，且经过原点 O（0，0） ，与 x 轴的另一个交点 B 的坐标为（4，0 ） ， S AOB = 41=2；（3）点 P（m，-m ） （m0）为抛物线 y=- （x-2 ） 2+1 上一点，-m=- （m-2） 2+1，解得 m1=0（舍去） ， m2=8， P 点坐标为（8 ，-8 ） ，抛物线对称轴为直线 x=2，P 关于抛物线对称轴对称的点 Q 的坐标为（-4， -8） 如下图.课堂巩固一、选择题1抛物线 的顶点坐标是（ ）A(2，-3) B(-2，3) C(2，3) D(-2，-3)2函数 y= x2+2x+1 写成 y=a
29、(xh) 2+k 的形式是（ ）Ay= (x1) 2+2 By= (x1) 2+ Cy= (x1) 23 Dy= (x+2)213抛物线 y= x2 向左平移 3 个单位，再向下平移 2 个单位后，所得的抛物线表达式是( )Ay= (x+3)22 By= (x3) 2+2 Cy= (x3) 22 Dy= (x+3)2+24把二次函数 配方成顶点式为（ ）A B C D 5由二次函数 ，可知（ ）A其图象的开口向下 B其图象的对称轴为直线C其最小值为 1 D当 时，y 随 x 的增大而增大 6在同一坐标系中，一次函数 与二次函数 的图象可能是（ ）二、填空题7. 抛物线 y=- （x+3 ） 2
30、-5的开口向_， 对称轴是_， 顶点坐标是_8已知抛物线 y=2(x+1) 23，如果 y 随 x 的增大而减小，那么 x 的取值范围是_ _.9抛物线 y=3(2x 21)的开口方向是_，对称轴是_.10顶点为（2 ，5）且过点（1，14）的抛物线的解析式为 11将抛物线 向上平移 3 个单位，再向右平移 4 个单位得到的抛物线是_ _12抛物线 的顶点为 C，已知 的图象经过点 C，则这个一次函数的图象与两坐标轴所围成的三角形面积为_三、解答题13已知抛物线的顶点（-1，-2 ） ，且图象经过（1 ，10） ，求抛物线的解析式14. 已知抛物线 向上平移 2 个单位长度，再向右平移 1 个
31、单位长度得到抛物线 ；（1）求出 a，h ，k 的值；（2）在同一直角坐标系中，画出 与 的图象；（3）观察 的图象，当 _时，y 随 x 的增大而增大；当 _时，函数 y 有最_值，最_值是 _；（4）观察 的图象，你能说出对于一切 的值，函数 y 的取值范围吗？15已知抛物线 的顶点为 A，原点为 O，该抛物线交 y 轴正半轴于点B，且 ，求：(1)此抛物线所对应的函数关系式；(2)x 为何值时，y 随 x 增大而减小?一、选择题1.【答案】D；【解析】由顶点式可求顶点，由 得 ，此时， 2.【答案】D；【解析】通过配方即可得到结论. 3.【答案】A；【解析】抛物线 y= x2 向左平移
32、3 个单位得到 y= (x+3)2，再向下平移 2 个单位后，所得的抛物线表达式是 y= (x+3)22.4.【答案】B 【解析】通过配方即可得到结论. 5.【答案】C； 【解析】可画草图进行判断.6.【答案】C； 【解析】A 中 的符号不吻合，B 中抛物线开口不正确 D 中直线与y 轴交点不正确. 二、填空题7.【答案】下； 直线 x=-3 ；（-3，-5） ；【解析】由二次函数的图象性质可得结论.8.【答案】x1 ；【解析】由解析式可得抛物线的开口向下，对称轴是 x=-1，对称轴的右边是 y 随 x的增大而减小，故 x1.9.【答案】向下，y 轴；10.【答案】 ；【解析】设 过点（1，1
33、4）得 ，所以.11.【答案】 ； 【解析】先化一般式为顶点式，再根据平移规律求解.12.【答案】 1； 【解析】C(2，-6)，可求 与 x 轴交于 ，与 y 轴交于(0 ，3)， .三、解答题13.【答案与解析】 抛物线的顶点为（-1，-2 ） 设其解析式为 ，又图象经过点（1，10 ） ， ， ， 解析式为 14.【答案与解析】（1）由 向上平移 2 个单位，再向右平移 1 个单位所得到的抛物线是 ， ， （2）函数 与 的图象如图所示（3）观察 的图象，当 时， 随 x 的增大而增大；当 时，函数 有最大值，最大值是 （4）由图象知，对于一切 的值，总有函数值 15.【答案与解析】（1
34、）由题意知 A(2，1)，令 ，则 ，所以 由 得 ，所以 ，因此抛物线的解析式为（2）当 时，y 随 x 增大而减小类型三：二次函数 y=ax2+bx+c(a0)的图象与性质类型一、二次函数的图象与性质1求抛物线 的对称轴和顶点坐标【变式】把一般式 化为顶点式（1）写出其开口方向、对称轴和顶点 D 的坐标；（2）分别求出它与 y 轴的交点 C，与 x 轴的交点 A、B 的坐标.2如图所示，抛物线的对称轴是 x1，与 x 轴交于 A、B 两点，点 B 的坐标为( ，0) ，则点 A 的坐标是_类型二、二次函数的最值3求二次函数 的最小值.类型三、二次函数性质的综合应用4已知二次函数 的图象过点
35、 P(2，1)（1）求证： ； （2）求 bc 的最大值【答案与解析】（1） 的图象过点 P(2，1)， 1=4+2b+c+1， c=-2b-4（2） 当 时，bc 有最大值最大值为 2课堂巩固一、选择题1. 将二次函数 化为 的形式，结果为（ ） A B C D2已知二次函数 的图象，如图所示，则下列结论正确的是（ ） A B C D3若二次函数 配方后为 ，则 b、k 的值分别为（ ） A0，5 B0，1 C-4，5 D-4 ，14抛物线 的图象向右平移 2 个单位长度，再向下平移 3 个单位长度，所得图象的解析式为 ，则 b、c 的值为（ ） Ab=2， c=2 Bb=2，c=0 Cb=
36、 -2，c= -1 Db= -3，c=25已知抛物线 y=ax2+bx+c 的对称轴为 x=2，且经过点(3，0) ，则 a+b+c 的值( )A. 等于 0 B.等于 1 C. 等于-1 D. 不能确定6二次函数 y=ax2+bx+c 与一次函数 y=ax+c，它们在同一直角坐标系中的图象大致是( )二、填空题7二次函数 的最小值是_8已知二次函数 ，当 x-1 时，函数 y 的值为 4，那么当 x3 时，函数 y 的值为_9二次函数 的图象经过 A(-1，0)、B(3，0) 两点，其顶点坐标是_ 10二次函数 的图象与 x 轴的交点如图所示根据图中信息可得到 m的值是_第 10 题 第 1
37、1 题11如图二次函数 y=ax2+bx+c 的图象开口向上，图象经过点(-1，2)和(1，0) 且与 y 轴交于负半轴第问：给出四个结论：a0；b0 ；c0；a+b+c=0 其中正确的结论的序号是_ ；第问：给出四个结论：abc0；a+c=1；a1，其中正确的结论的序号是_ _.12已知二次函数 y=x2-2x-3 的图象与 x 轴交于点 A、B 两点，在 x 轴上方的抛物线上有一点 C，且ABC 的面积等于 10，则 C 点的坐标为_ _.三、解答题13 （1）用配方法把二次函数 变成 的形式；（2）在直角坐标系中画出 的图象；（3）若 ， 是函数 图象上的两点，且，请比较 、 的大小关系
38、14如图所示，抛物线 与 x 轴相交于点 A、B，且过点 C（5，4 ） （1）求 a 的值和该抛物线顶点 P 的坐标；（2）请你设计一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在第二象限，并写出平移后抛物线的解析式15已知抛物线 ：(1)求抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；(2)画函数图象，并根据图象说出 x 取何值时，y 随 x 的增大而增大？x 取何值时，y 随x 的增大而减小？函数 y 有最大值还是最小值？最值为多少？一、选择题1.【答案】D； 【解析】根据配方法的方法及步骤，将 化成含 的完全平方式为 ，所以 2.【答案】D；【解析】由图象的开口方向向下知 ；图象与 y 轴交于正半轴，所
39、以 ；又抛物线与 x 轴有两个交点，所以 ；当 时，所对应的值大于零，所以 3.【答案】D； 【解析】因为 ，所以 ， 4.【答案】B；【解析】 ，把抛物线 向左平移 2 个单位长度，再向上平移 3 个单位长度后得抛物线 ， ， ， 5.【答案】A； 【解析】因为抛物线 y=ax2+bx+c 的对称轴为 x=2，且经过点(3 ，0)，所以过点（1,0）代入解析式得 a+b+c=0.6.【答案】A； 【解析】分类讨论，当 a0，a0 时分别进行分析. 二、填空题7.【答案】-3； 【解析】 ， 函数有最小值当 时， 8.【答案】4 【解析】由对称轴 ， x3 与 x-1 关于 x1 对称， x3
40、 时， y4.9.【答案】(1，-4) ； 【解析】求出解析式 .10.【答案】4； 【解析】由图象发现抛物线经过点（1，0 ） ，把 ， 代入，得 ，解得 11.【答案】，；12.【答案】(-2，5)或(4 ，5)； 【解析】先通过且ABC 的面积等于 10，求出 C 点的纵坐标为 5，点 C 在抛物线y=x2-2x-3 上，所以x2-2x-3=5，解得 x=-2 或 x=5，则 C 点的坐标为(-2 ，5)或(4，5).三、解答题13.【答案与解析】（1） （2）略（3） ， 当 时，y 随 x 增大而减小，又 ， 14.【答案与解析】（1）把点 C(5，4)代入抛物线 得， ，解得 该二次函数的解析式为 ， 顶点坐标为 （2） （答案不唯一，合理即正确）如先向左平移 3 个单位，再向上平移 4 个单位，得到二次函数解析式为 ，即
