1、小升初几何问题总复习一、小升初考试热点及命题方向圆和立体几何近两年虽然不是考试热点，但在小升初考试中也会时常露面。因为立体图形考察学生的空间想象能力，可以反映学生的本身潜能；而另一方面，初中很多知识点都是建立在空间问题上，所以可以说学校考察立体也是为初中选拔知识链接性好的学生。二、2015 年考点预测2015 年的小升初考试如果考察圆与立体几何，不会难度太大，只需掌握我们本讲中所介绍的几类基本题型，就可成功在握。考试热点将会出现在诸如水位问题和三维视图问题等题型。三、典型例题解析1 与圆和扇形有关的题型【例 1】 （）如下图，等腰直角三角形 ABC 的腰为 10 厘米；以 A 为圆心，EF 为
2、圆弧，组成扇形 AEF；阴影部分甲与乙的面积相等。求扇形所在的圆面积。【解】：等腰三角形的角为 45 度，则扇形所在圆的面积为扇形面积的 8 倍。而扇形面积为等腰三角形面积：S1/2101050。则：圆的面积为 400。【例 2】 （）草场上有一个长 20 米、宽 10 米的关闭着的羊圈，在羊圈的一角用长 30 米的绳子拴着一只羊（见左下图） 。问：这只羊能够活动的范围有多大？【解】：（此题十分经典）如右上图所示，羊活动的范围可以分为 A，B，C 三部分，所以羊活动的范围是【例 3】 （）在右图中，两个四分之一圆弧的半径分别是 2 和 4，求两个阴影部分的面积差。【解】：我们只要看清楚阴影部分
3、如何构成则不难求解。左边的阴影是大扇形减 去小扇形，再扣除一个长方形中的不规则白色部分，而右边的阴影是长方形扣除这块不规则白色部分，那么它们的差应为大扇形减去小扇形，再减去长方形。则为：/444/4224233.1481.42。【例 4】 （）如图，ABCD 是正方形，且 FA=AD=DE=1，求阴影部分的面积。 （取 3）【解】：先看总的面积为 1/4 的圆，加上一个正方形，加上一个等腰直角三角形，然后扣除一个等腰直角三角形，一个 1/4 圆，一个 45 度的扇形。那么最终效果等于一个正方形扣除一个 45 度的扇形。为111/8315/8【例 5】（）如下图，AB 与 CD 是两条垂直的直径
4、，圆 O 的半径为 15 厘米，【解】：225 平方厘米225（平方厘米）与立体几何有关的题型 小学阶段，我们除了学习平面图形外，还认识了一些简单的立体图形，如长方体、正方体（立方体） 、直圆柱体，直圆锥体、球体等，并且知道了它们的体积、表面积的计算公式，归纳如下。见下图。在数学竞赛中，有许多几何趣题，解答这些趣题的关键在于精巧的构思和恰当的设计，把形象思维和抽象思维结合起来。2 求不规则立体图形的表面积与体积【例 6】 （）用棱长是 1 厘米的正方块拼成如下图所示的立体图形，问该图形的表面积是多少平方厘米？【解】：方法一：思 路：整体看待面积问题。解：不管叠多高，上下两面的表面积总是 33；
5、再看上下左右四个面，都是 23+1， 所以，总计 92+74=18+28=46。 方法二：思 路：所有正方体表面积减去粘合的表面积解：从图中我们可以发现，总共有 14 个正方体，这样我们知道总共的表面积是：614=64，但总共粘合了 18 个面，这样就减少了 181=18，所以剩下的表面积是 64-18=46。方法三：直接数数。思 路 ：通过图形，我们可以直接数出总共有 46 个面，每个面面积为 1，这样总共的表面积就是 46。【例 7】 （）在边长为 4 厘米的正方体木块的每个面中心打一个边与正方体的边平行的洞洞口是边长为 1 厘米的正方形，洞深 1 厘米（如下图） 求挖洞后木块的表面积和体
6、积【解】：提示：大正方体的边长为 4 厘米，挖去的小正方体边长为 1 厘米，说明大正方体木块没被挖通，因此，每挖去一个小正方体木块，大正方体的表面积增加“小洞内”的 4 个侧面积。6 个小洞内新增加面积的总和： 114624（平方厘米），原正方体表面积：4 2696（平方厘米），挖洞后木块表面积：9624120（平方厘米），体积：431 3658（立方厘米）答：挖洞后的表面积是 120 平方厘米，体积是 58 立方厘米【例 8】 （）如图是一个边长为 2 厘米的正方体。在正方体的上面的正中向下挖一个边长为 1 厘米的正方体小洞；接着在小洞的底面正中再向下挖一个边长为 1/2 厘米的小洞；第三个
7、小洞的挖法与前两个相同，边长为 1/4 厘米。那么最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘米？ 【解】：方法一：思 路：立体图形的好处就是可以直观视觉，虽然图形被挖去，但 6 个面看过去是都还是面积不变的，特别是从上往下看是，3 个正方形的下底面正好和剩下的面积等于原来的面积，这样就只增加了 3 个小正方体的各自侧面。解：原正方体的表面积是 226=24 平方厘米，增加的面积 14+( )4+( )4，所以总2141共面积为 24+14+( )4+( )4=29214141方法二：思 路：原正方体的表面积是 226=24 平方厘米，在顶部挖掉一个边长为 1 厘米的正方体小洞后，原大正方体的顶部表
8、面被掉了一个 11 的小正方形，但是内部增加了 5 个 11 的面，所以总共增加了4 个 11 的面，即正方形小洞的 4 个侧面-同样，再往下挖掉一个边长为 的正方体后，大正方体的表面2积又增加 4 个 的小正方形的面积.最后挖掉一个边长为 厘米的正方体后，大正方体的表面积又21 41增加了 4 个 的小正方体的面积.所以最终大正方体的表面积=24+14+( )4+( )1414=29 总 结：立体图形中一定要学会想象，特别是这种面积分开时，我们仍可以看成相连的，这就要求学生必须学会如何看待面积的变化。3 水位问题【例 9】（）一个酒精瓶，它的瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈），如下图已知它的容积为
9、26.4 立方厘米当瓶子正放时，瓶内的酒精的液面高为 6 厘米瓶子倒放时，空余部分的高为 2 厘米问：瓶内酒精的体积是多少立方厘米？合多少升？分析 由题意，液体的体积是不变的，瓶内空余部分的体积也是不变的，因此可知液体体积是空余部分体积的 3 倍（62） 62.172 立方厘米62.172 毫升0.062172 升答：酒精的体积是 62172 立方厘米，合 0062172 升【例 10】（）一个高为 30 厘米，底面为边长是 10 厘米的正方形的长方体水桶，其中装有 容积的21水，现在向桶中投入边长为 2 厘米 2 厘米 3 厘米的长方体石块，问需要投入多少块这种石块才能使水面恰与桶高相齐？【
10、解】：所装入石块的体积应等于桶的容积的一半.投入石块：（101015）（223）=125（块）.4 计数问题【例 11】 （）右图是由 22 个小正方体组成的立体图形，其中共有多少个大大小小的正方体？由两个小正方体组成的长方体有多少个？【解】：正方体只可能有两种：由 1 个小正方体构成的正方体，有 22 个；由 8 个小正方体构成的 222 的正方体，有 4 个。所以共有正方体 224=26（个） 。由两个小正方体组成的长方体，根据摆放的方向可分为下 图所示的上下位、左右位、前后位三种，其中上下位有 13 个，左右位有 13 个，前后位有 14 个，共有 131314=40（个） 。【例 12
11、】有甲、乙、丙 3 种大小的正方体，棱长比是 1：2：3。如果用这三种正方体拼成尽量小的一个正方体，且每种都至少用一个，则最少需要这三种正方体共多少？【解】： 设甲的棱长是 1，则乙的棱长是 2，丙的棱长是 3。一个甲种木块的体积是 1*1*1=1；一个乙种木块的体积是 2*2*2=8；一个丙种木块的体积是 3*3*3=27。3+2=5。则这三种木块拼成的最小正方体的棱长是 5。体积是 5*5*5=125。需要丙种木块 1 块，乙种木块 1+1*2+2*2=7 块。甲种木块的体积是 27，乙种木块的体积是 8*7=56。125-27-56=42。需要甲种木块 42/1=42 块。1+7+42=
12、50 块。5 三维视图的问题【例 13】现有一个棱长为 1cm 的正方体，一个长宽为 1cm 高为 2cm 的长方体，三个长宽为 1cm 高为 3cm的长方体。下列图形是把这五个图形合并成某一立体图形时，从上面、前面、侧面所看到的图形。试利用下面三个图形把合并成的立体图形（如例）的样子画出来，并求出其表面积。例：【解】：立体图形的形状如下图所示。 （此题十分经典）从上面和下面看到的形状面积都为 9cm2，共 18cm2；从两个侧面看到的形状面积都为 7cm2，共 14cm2；从前面和后面看到的形状面积都为 6cm2，共 12cm2；隐藏着的面积有 2cm2。一共有 181612248（cm2）
13、 。6 其他常考题型【例 14】（）有两种不同形状的纸板，一种是正方形的，另一种是长方形的，正方形纸板的总数与长方形纸板的总数之比是 12.用这些纸板做成一些竖式和横式的无盖纸盒.正好将纸板用完.问在所做的纸盒中，竖式纸盒的总数与横式纸盒的总数之比是多少？【解】：由于纸盒无盖，所以一个竖式纸盒有一个正方形和 4 个长方形，一个横式纸盒有 2 个正方形和3 个长方形，那么一个竖式纸盒和两个横式纸盒共有 5 个正方形和 10 个长方形，这时所用的正方形纸板与长方形纸板的比恰是 12，也就是说按照每做一个竖式纸盒，再做两个横式纸盒的比例做纸盒，就可以把两种不同形状的纸板用完.因此，在所做的纸盒中，竖
14、式纸盒的总数与横式纸盒的总数之比是 12.【例 15】左下图是一个正方体，四边形 APQC 表示用平面截正方体的截面。请在右下方的展开图中画出四边形 APQC 的四条边。【解】：把空间图形表面的线条画在平面展开图上，只要抓住四边形 APQC 四个顶点所在的位置这个关键，再进一步确定四边形的四条边所在的平面就可容易地画出。（1）考虑到展开图上有六个顶点没有标出，可想象将展开图折成立体形，并在顶点上标出对应的符号，见左下图。（2）根据四边形所在立体图形上的位置，确定其顶点所在的点和棱，以及四条边所在的平面：顶点：AA，CC，P 在 EF 边上，Q 在 GF 边上。边 AC 在 ABCD 面上，AP
15、 在 ABFE 面上，QC 在 BCGF面上，PQ 在 EFGH 面上。（3）将上面确定的位置标在展开图上，并在对应平面上连线。需要注意的是，立体图上的 A，C 点在展开图上有三个，B，D 点在展开图上有二个，所以在标点连线时必须注意连线所在的平面。连好线的图形如右上图【课外知识】剪 正 方 体 此 题 旨 在 培 养 同 学 们 的 空 间 想 象 力 和 动 手 能 力 将 一 个 正 方 体 （ 图 1） 剪 开 可 以 展 成 一 些 不 同 的 平 面 图 形 （ 图 2） 。图 1 正 方 体（ 1） （ 2） （ 3） （ 4） 图 2 正方体的平面展开图 其中的图 2 的（1）
16、，（2）都是“带状图”，好像是一条完整的削下来的苹果皮。仔细观察（1），（2）两个图可以发现，图中的每个小正方形都有两个边与其它的正方形“共用”，除了两头的两个正方形以外。再观察图（3）和图（4），由于这两个图中每个都有一个正方形（粉色）有两条以上的边（图（3）有 3 条，图（4）有 4 条）与周围的正方形“共用”。所以图（3）和图（4）都不是“带状图”。 问题 1：运用你的空间想象力或者动手将图 2 的四个图折成正方体。 问题 2：除了图（1）和图（2）以外还有两个正方体的平面展开图也是“带状图”，你能找出来吗？答案：作业题 （注：作业题-例题类型对照表，供参考）题 1，2，3，4类型 1；
17、题 5类型 4；题 6，7类型 2；题 8类型 61、（）如下图，求阴影部分的面积，其中 OABC 是正方形.解：10.26 9 3.14-1810.26。2、 （）如下图所示，求阴影面积，图中是一个正六边形，面积为 1040 平方厘米，空白部分是 6 个半径为 10 厘米的小扇形。解：412 平方厘米所要求的阴影面积是用正六边形的面积减去六个小扇形面积正六边可求得，需要知道半径和扇形弧的度数，由已知正六边形每边所对圆心角为 60，那么AOC120，又知四边形 ABCD 是平行四边形，所以ABC120，这样就得求出扇形的面积。104062842（平方厘米）3、（）如右图，将直径 AB 为 3
18、的半圆绕 A 逆时针旋转 60，此时 AB 到达 AC 的位置，求阴影部分的面积（取 =3）.解：整个阴影部分被线段 CD 分为和两部分，以 AB 为直径的半圆被弦 AD 分成两部分，设其中 AD 右侧的部分面积为 S，由于弓形 AD 是两个半圆的公共部分，去掉 AD 弓形后，两个半圆的剩余部分面积相等.即=S，由于：+S=60圆心角扇形 ABC 面积4、 （）如下图，两个半径相等的圆相交，两圆的圆心相距正好等于半径，AB 弦约等于 17 厘米，半径为 10 厘米，求阴影部分的面积。解：阴影部分由两个相等的弓形组成，我们只需要求出一个弓形面积，然后二倍就是要求的阴影面积了.由已知若分别连结 A
19、O1，AO 2，BO 1，BO 2，O 1O2，如图所示，就可以得到两个等边三角形（各边长等于半径），则AO 2O1BO 2O160，即AO 2B120。这样就可以求出以 O2为圆心的扇形 AO1BO2的面积，然后再减去三角形 AO2B 的面积，就得到弓形面积，三角形 AO2B 的面积就是二分之一底乘高，底是弦 AB，高是 O1O2的一半。5、（）2100 个边长为 1 米的正方体堆成一个实心的长方体.它的高是 10 米，长、宽都是大于10（米）的整数，问长方体长宽之和是几米？解：长方体体积是 2100 立方米，高为 10 米，所以底面积为 210 平方米.210=1210=2105=3705
20、42=635730=1021=1415.可见，长为 15 米，宽为 14 米，长宽之和是 15+14=29 米.6、（）有一个正方体，边长是 5.如果它的左上方截去一个边长分别是 5、3、2 的长方体（如下图），求它的表面积减少的百分比是多少？解：原立方体的表面积=556=150.减少的表面积是两块 32 长方形7、（）如下图，在棱长为 3 的正方体中由上到下，由左到右，由前到后，有三个底面积是 1 的正方形高为 3 的长方体的洞，求所得形体的表面积是多少？解：没打洞之前正方体表面积共 6 3 3= 54，打洞后，表面积减少 6 又增加 64（洞的表面积）.即所得形体的表面积是 54-624=72.8、（）现有一张长 40 厘米、宽 20 厘米的长方形铁皮，请你用它做一只深是 5 厘米的长方体无盖铁皮盒（焊接处及铁皮厚度不计，容积越大越好），你做出铁皮盒容积是多少立方厘米？解：如图，可有如下三种情况比较后可知：（1）30105=1500 立方厘米（2）35105=1750 立方厘米（3）20205=2000 立方厘米最后一个容积最大。焊上
