1、 Born to win2002 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、填空题(本题共 5 小题，每小题 3 分，满分 15 分，把答案填在题中横线上)(1) 设函数 在 处连续，则 .tan21,0rcsi(),xxefxa(2) 位于曲线 下方， 轴上方的无界图形的面积是 _.(0)ye(3) 微分方程 满足初始条件 的特解是_.2001,2xxy(4) _ .1limcos1cs.1cosn nn (5) 矩阵 的非零特征值是_.02二、选择题(本题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)
2、设函数 可导， 当自变量 在 处取得增量 时，相应的()fu2()yfxx10.1x函数增量 的线性主部为 ，则 =( )0.1f(A)1 (B)0.1 (C)1 (D)0.5(2) 设函数 连续，则下列函数中，必为偶函数的是 ( )()fx(A) (B)20td 20)xftd(C) (D)()xft()ft(3) 设 是二阶常系数微分方程 满足初始条 的y3xypqe(0)y特解，则当 ，函数 的极限( )0x2ln1)x(A)不存在 (B)等于1 (C)等于2 (D)等于3(4) 设函数 在 内有界且可导，则( )()yf,)(A)当 时，必有 .lim0xlim()0xfBorn to
3、 win(B)当 存在时，必有 .lim()xflim()0xf(C)当 时，必有 .00(D)当 存在时，必有 .li()xfli()xf(5) 设向量组 线性无关，向量 可由 线性表示，而向量 不能由123,1123,2线性表示，则对于任意常数 ，必有( ), k(A) , 线性无关； (B) , 线性相关；12312k123,12k(C) , 线性无关； (D) , 线性相关,三、(本题满分 6 分)已知曲线的极坐标方程是 ，求该曲线上对应于 处的切线与法线的1cosr6直角坐标方程.四、(本题满分 7 分)设 求函数 的表达式.223,10(),)xxfe 1()()xFftd五、(本
4、题满分 7 分)已知函数 在 内可导 ， , 且满足(fx0,)()0fxlim()1xf,求 .10)lim(hxhfe(f六、(本题满分 8 分)求微分方程 的一个解 ,使得由曲线 ， 与直线(2)0xdyx()yx()yx以及 轴所围成的平面图形绕 轴旋转一周的旋转体体积最小.1,2xBorn to win七、(本题满分 7 分)某闸门的性状与大小如图所示，其中直线 为对l称轴，闸门的上部为矩形 ，下部由二次抛物线ABCD与线段 所围成，当水面与闸门的上端相平时，欲使AB闸门矩形部分承受的水压力与闸门下部承受的水压力之比为5：4，闸门矩形部分的高 应为多少 (米) ？hm八、(本题满分
5、8 分)设 ，证明数列 的极限存在，并求此极限.1103,()1,2)nnxx nx九、(本题满分 8 分)设 ，证明不等式0ab2ln1.aba十、(本题满分8分)设函数 在 的某邻域内具有二阶连续导数，且 ()fx0(0),ff(0).f证明:存在惟一的一组实数 ，使得当 时，123,h3()()()fhfff是比 高阶的无穷小.2h十一、(本题满分 6 分)已知 为3 阶矩阵，且满足 ,其中 是3阶单位矩阵.,AB124ABE(1) 证明：矩阵 可逆；E(2) 若 ,求矩阵102.十二、(本题满 6 分)已知 4 阶方阵 均为 4 维列向量，其中 线性1234(,)A123,234,无关
6、， .如果 ，求线性方程组 的通解.1234AxD 1m 1m C A B1ml hBorn to win2002 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、填空题(1)【答案】 -2 【详解】如果分段函数 连续，则 在 0 点处的左右极限相等，从而确定 的值()fx()fx a当 时， ； ，所以有0xtan1e:arcsin2:tan0000tlim()lilimli2rcs2xxx xf=；00li()li()xxxfaef如果 在 处连续，必有 即f0(),f2.a(2)【答案】 1 【详解】面积 00 0xxxSedeedlimx xbb lim1be其中 1limlili0bb
7、bee洛(3)【答案】 1yx【详解】方法 1：这是属于缺 的 类型 命(,)yf,dpdpyxy原方程 化为 ，得2020y或pdpBorn to win，即 ，不满足初始条件 ，弃之；所以0pdyx102yx0p所以， ，分离变量得 ，解之得 即0pydp1.Cy1.dxy由初始条件 ，可将 先定出来： 于是得1,2yxx11,212dy解之得， 以 代入，得 ，所以应取“+”2,xCx01xy2C号且 于是特解是 211y方法 2：将 改写为 ，从而得 以初始条件20y()01y代入，有 ，所以得 即 ，改写为(0),()12C221y 解得 再以初值代入， 所以应取21y ,yxxC且
8、 于是特解 “2C(4)【答案】 【详解】利用定积分的概念将被积函数化为定积分求极限因为 12limcos1cs.1cosn nnn 1lini i:1lim()infx其中 ，所以根据定积分的定义，有()cos,(2,ifxxlim1cos.1cosn nn 0022csxxddBorn to win(5)【答案】4【详解】记 ，则02A(对应元素相减)022E两边取行列式， A2230行 行 201把 第 行 的 公因 子 提 出 来01212行 行 11()2按 第 行 展 开(其中 指数中的 1 和 1 分别是 所在的行数和列数)1)2()24令 ，解得 ，故 是矩阵的非零特征值(另一
9、个特0EA1230,4征值是 (二重)二、选择题(1)【答案】(D)【详解】在可导条件下， ，当 时 称为0()xdyox0xdy0xdy的线性主部y而 ，以 代入得 ，由题设2()dxfx1,.x(1).2yxfd它等于 01，于是 ，应选(D)0.5(2)【答案】(D)【详解】对与(D) ，令 ，则 ，令0()()xFtftd 0()()xFtftd，则 ，所以tudtu00()()()()x xtftuffud Born to win0()(),xuffduFx所以(D)为偶函数同理证得(A) 、(C) 为奇函数，而(B)不确定，如 故应选()1ft(D)(3)【答案】(C)【详解】由
10、，且 ，可知3xypqe(0)y(0)1y方法 1：因为当 时， ，所以20x2ln1:，20l()imxy0002lilimli()()()1xxxyy=故选(C)方法 2：由于 将函数 按麦克劳林公式展开(),()1()x，代入 ，有20xyo2ln)(xy222000ln(1) 1imlilim()()xxxoyo=(4) 【详解】方法 1：排斥法令 ，则 在 有界， ，2()sinfx()fx0,)221()sincosfxx，但 不存在，故(A)不成立；lm0xlix，但 ，(C)和(D)不成立，故选(B)0i()f0()1f方法 2：证明(B)正确 设 存在，记 ，证明 lixli
11、m()xfA0用反证法，若 ，则对于 ，存在 ，使当 时，A02XxX，即()2fx3()2fx由此可知， 有界且大于 在区间 上应用拉格朗日中值定理，有()fx ,()()AXffXx从而 ，与题设 有界矛盾类似可证当 时亦有矛盾 故lim()xfx0Born to win0A(5)【答案】A【详解】方法 1：对任意常数 ，向量组 ， 线性无关 用反证法，若k123,12k， 线性相关，因已知 线性无关，故 可由23,2,12k线性表出 即存在常数 ，使得 1 123,123又已知 可由 线性表出，即存在常数 ，使得123,3,l代入上式，得123ll11232123()kl213)()kk
12、lkl与 不能由 线性表出矛盾故向量组 ， 线性无关，选(A)213,12,12方法 2：用排除法B 选项：取 ，向量组 ， 即 ， 线性相关不成0k123,12k123,2立，否则因为 ， 线性相关，又 线性无关，故 可由123,23, 线性表出即存在常数 ，使得 与已知矛123,123,2123盾，排除(B)C 选项：取 ，向量组 ， ，即 ， 线性无关不0k123,12k123,1成立，因为 可由 线性表出， ， 线性相关，排除(C)123, 3,D 选项： 时， ， 线性相关不成立若 ，k1,12k123,线性相关，因已知 线性无关，故 可由 线性表122312k出即存在常数 ，使得
13、. 又已知 可由123,123k1线性表出，即存在常数 ，使得 代入上式，得123,23,l12ll12123()klk123)()llBorn to win因为 ，故 0k3122 lllkk与 不能由 线性表出矛盾故 , 线性相关不成立，排除213, 123,12(D)故选(A)三【详解】由极坐标到直角坐标的变换公式 ，化极坐标曲线 为直cosinxry1cosr角坐标的参数方程为， 即 (1cos)inxy2csioixy曲线上 的点对应的直角坐标为631(,)24226 66cosincos1.idyx 于是得切线的直角坐标方程为，即 133()()2424yx3504xy(这是由直线
14、的点斜式得到的，直线的点斜式方程为 ，由导数的几何意义00()kx知在 时斜率为 1，且该点的直角坐标为 )， 631(,24法线方程为即 3()(),241yx0xy(这是由直线的点斜式方程及在同一点切线斜率与法线斜率为负倒数的关系而得) 四【详解】当 时10x()()Fftd223131()()x xtdtt 321.当 时，0xBorn to win0110()()()()x xFftdftftd23201)(1)txetd02()xte02xttee0txxee1ln(1)0txx1lnl21xxe所以 32,10()lnln,12x xFe当 当五【详解】因为 ，1()lnh()fx
15、fxe又 ， 001()limnlim()ln()hhffxhfxx00l()ln)ihff(l)()ff从而得到 1()10()lixfhxhfxee由 题 设于是推得 ，即()ln()ffx 2(ln)f解此微分方程，得 ，改写成 1l()fCx1()xfCe再由条件 ，于是得lim()1xf().xfe六【详解】这是一阶线性微分方程 ，由通解公式(如果一个一阶线性方程为21yx那么通解为 )有()ypxq()()pdpxdeqeCBorn to win22dxdxyeC21dxC221(),1xC由曲线 与 及 轴围成的图形绕 轴旋转一周的旋转体的体积为21,213157()()3Vxd
16、(旋转体的体积公式：设有连续曲线 ， 与直线:(yfxab()0fx及 轴围成平面图形该图形绕 轴旋转一周产生旋转体的体积为,xabx)2(aVfd取 使 最小，由求最值的方法知先求函数的驻点，即 的点，C 0dVC615()02d解得 又 ，故 为 的惟一极小值点，也是最小值点，于是75.124V75124C所求曲线为 2.yx七【详解】方法1：建立坐标系如下图，由于底部是二次抛物线我们设此抛物线为，由坐标轴的建立知此抛物线过2ypxq点，把这两点代入抛物线的方程，(0,)1得 ，所以 2pq0,1p即底部的二次抛物线是 ， 2yx细横条为面积微元，按所建立的坐标系及抛物线的方程，得到面积微
17、元 ，2dAxy因此压力微元(这是由压力的公式得到的：压力=压强 面积)2(1)dpgxhyd 平板 上所受的总压力为 ABCD1()hP其中以 代入，计算得 x21PghyD 1m 1m C A B O x1ml hBorn to win抛物板 上所受的总压力为 AOB120(),Pgxhyd其中由抛物线方程知 ，代入计算得 ，2124()35Pgh由题意 ，即 12:5451()3h解之得 (米)( 舍去 )，即闸门矩形部分的高应为 h2m八【详解】由 知 及 均为正数，故103x11x（ ）( 为正数)2 3()().22= 2ab,假设 ，则再一次用不等式 ，得kxab11(3)(3)
18、.kkkxx由数学归纳法知，对任意正整数 有 2n0n另一方面， 1(3)nnnxx-=2()(32)0.3nnnxx所以 单调增加单调增加数列 有上界，所以 存在，记为n nlimn.a由 两边取极限，于是由极限的运算性质得 1(3)nxx即,a230,a解得 或 ，但因 且单调增，故 ，所以201xa3limnx九【详解】左、右两个不等式分别考虑. 先证左边不等式，方法 1：由所证的形式想到用拉格朗日中值定理 ln1(l),0.xbaab而 中第二个不等式来自不等式 (当 时)，这样212a0bBorn to win就证明了要证明的左边方法 2：用单调性证，将 改写为 并移项，命bx，有
19、2()()lnax()0a(当 )，2214()x224()0()xxax所以，当 时 单调递增. 所以 ，故 ，0xa()()x()b即 2()ln0abb2lnba再证右边不等式，用单调性证，将 改写为 并移项，命1()l(),xxa有 ，及()0a 2()()()0,2xaxx所以当 时， ，再以 代入，得x0b即 1ln(),babln1a右边证毕十【详解】从题目结论出发，要证存在唯一的一组 ，使得123,1230()()()0limhffhffL由极限的四则运算法则知，分子极限应为 0，即1230li()()()(hffff由于 在 连续，于是上式变形为 由 知()fx123)(0.
20、f()0,f(1)123.由洛必达法则， 1230()()()0limhffhffL(2)h由极限的四则运算法则知分子的极限应是 ，即Born to win1230lim()()()0hffhf由于 在 连续，于是上式变形为 ，由 知)fx123)(0f()0,f(3)1230对(2)再用洛必达法则，和 在 连续()fx123123049()lim49)(0hhfL f 由 ，故应有 ()f(4)12349将(1)、(3)、(4) 联立解之，由于系数行列式 0,149由克莱姆法则知，存在唯一的一组解满足题设要求，证毕十一【详解】(1) 由题设条件 ，两边左乘 ，得 ，即 124ABEA124B
21、A24BA所以 ，(2)E84()8E4(2)(2)()ABE18AB根据可逆矩阵的定义知 可逆，且 ()(4)E(2) 由(1)结果知 ，根据逆矩阵的性质 ，其中1(2)4811kA为不等于零的常数，有k11(4)()8AEBE故 12又 (对应元素相减)0432041BEBorn to win因为若 ，对 进行初等行变换，1AEA初 等 行 变 换 4BE32041B 3201、 行 互 换21308132行 行 12()801382行1210403812行 行故 ，代入 中，则1043()8102BE18(4)2ABE18(4)2ABE0423810(常数与矩阵相乘，矩阵的每一个元素都需
22、要乘以该常数)(对应元素相加)221304201十二【详解】方法 1：记 ，由 线性无关，及1234,A234,即 可以由 线性表出，故 线性相关，及12340,1234,Born to win即 可由 线性表出，知12341234,12341234123, ,(),rArrA系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相等，故 有解Ax对应齐次方程组 ，其系数矩阵的秩为 3，故其基础解系中含有 4-3(未知量0x的个数- 系数矩阵的秩)个线性无关的解向量，故其通解可以写成 ， 是 的kAx一个特解，根据非齐次线性方程组的解的结构定理，知 的通解为 ，其Ax中 是对应齐次方程组 的通解， 是 的一个特解，因k0
23、Ax故 ，1234,123412340,0故 是 的一个非零解向量，因为 的基础解系中只含有一,0TAxAx个解向量，故 是 的基础解系1,2T0又，即12341234,1A故 是 的一个特解，根据非齐次线性方程组的解的结构定理，方,TAx程组的通解为 ( 其中 是任意常数 )1,20,1TTkk方法 2：令 ，则线性非齐次方程为34xx1234,A1212343,x1234xx已知 ，故12344xx1234Born to win将 代入上式，得123123423234()()xx23 241213424() 0xxx()(1)由已知 线性无关，根据线性无关的定义，不存在不全为零的常数使得234,，上式成立当且仅当230kk12340x其系数矩阵为 ，因为 3 阶子式 ，其秩为 3，故其齐110次线性方程组的基础解系中存在 1 个(4-3)线性无关的解向量，取自由未知量 ，3xk则方程组有解 43132,3xkxk故方程组 有通解A(其中 是任意常数)1234 0231xk k
