1、第一讲 定积分及其等式、不等式问题,1定积分的概念,(1) 定积分的定义:,(2) 定积分的几何意义:,曲边梯形的面积:,2定积分的性质,(1) 定积分存在定理:,(2) 线性运算性质:,(3) 分域性质:,(4) 保序性:,(5)估值定理:,(6)中值定理:,说明:,(7)定积分值与变量的名称无关:,若 y= f (x)在 a, b 上连续 , 则,(8)微积分第一基本定理:,说明: 上式可进一步推广为,(9)牛顿莱布尼兹公式 (微积分第二基本定理),3应用举例,(1) 变限积分函数问题,例1 设 , 求,解,例2 计算,解,原式,解,将方程两边对 x 求导得,解得,例4 求函数 的极值,解
2、, 驻点 x1= 0 , x2 = 1,当 x ( , 0) 时 ,当 x ( 0 , 1) 时 ,当 x ( 1 , +) 时 , x2 = 1 是极大值点,极大值,解,对于 x (a,b,由于 g(x) 0 , F(x) 在(a ,b 上单调增加,解,对于 x a,b ,有, f (x) 是 a , b 上的凸函数,解,非零常数, k = 4,此时,(2) 积分等式和方程根问题,解,由条件及积分估值定理有,即,据介值定理，存在a , b 使,即,解,设 ,则 F(x) 在 a , b上连续 ,且,若 ，则取 = a 或 b 即可,若 ，则 ，根据零值定理，,存在(a , b) 使,解,原等式,取辅助函数 ，,据罗尔定理,存在 (0 , 1) 使 ，即,(3) 积分不等式问题,解,原不等式,由于 f (x) 单调减，所以有,所以有,解,利用拉格朗日中值定理,其中介于 与 x 之间,例13 设函数 f (x) 在 a , b上连续且单调增 , 证明:,解,原不等式,因为f (x)在a,b上单调增，则有,
