一次函数知识点总结与常见题型.doc

1、第 1 页（共 46 页）一次函数知识点总结与常见题型基本概念 1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。 常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。例题：在匀速运动公式 中, 表示速度, 表示时间, 表示在时间 内所走的路程,则变量是_,常量是vtstst_。在圆的周长公式 C=2r中，变量是_，常量是_.2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量 x 和 y，并且对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把 x 称为自变量，把 y 称为因变量，y 是 x 的函数。*判断 Y 是否为 X 的函数，只要看 X 取值确定的时候，Y 是否有唯一确定的值与之对应

2、例题：下列函数（1）y=x (2)y=2x1 (3)y= (4)y= 3x (5)y=x21 中，是一次函数的有（ ）1x 2（A）4 个 （B）3 个 （C ）2 个 （D）1 个3、定义域：一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。4、确定函数定义域的方法：（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；（3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。例题：下列函数中，自变量 x 的取值范围是 x2 的是（ ）Ay=

3、By = Cy= Dy= x12242x函数 中自变量 x 的取值范围是_.5已知函数 ，当 时，y 的取值范围是 （ ）2A. B. C. D.3y2253253y5、函数的图像一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象6、函数解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做解析式。7、描点法画函数图形的一般步骤第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值） ；第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点） ；第三步：连线（按照横坐标

4、由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来） 。8、函数的表示方法列表法：一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律。解析式法：简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示。图象法：形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。9、正比例函数及性质一般地，形如 y=kx(k 是常数，k0)的函数叫做正比例函数，其中 k 叫做比例系数.注：正比例函数一般形式 y=kx (k 不为零) k 不为零 x 指数为 1 b 取零当 k0 时，直线 y=kx 经过三、一象限，从左向右上升，即随

5、 x 的增大 y 也增大；当 k0 时，图像经过一、三象限；k0 ，y 随 x 的增大而增大；k0 时，向上平移；当 b0，图象经过第一、三象限；k0，图象经过第一、二象限；b0，y 随 x 的增大而增大； k0 时，将直线 y=kx 的图象向上平移 b 个单位；（上加下减，左加右减） 当 b0 b0图象从左到右上升， y 随 x 的增大而增大经过第一、二、四象限 经过第二、三、四象限 经过第二、四象限k0 时，向上平移；当 b0 或 ax+by2 （B）y 1 =y2 （C）y 1 1 （D）k1 或 k0），且所建的两种住房可全部售出，该公司又将如何建房获得利润最大？ 第 10 页（共 4

6、6 页）八 一次函数与方案设计问题一次函数是最基本的函数，它与一次方程、一次不等式有密切联系，在实际生活中有广泛的应用。例如，利用一次函数等有关知识可以在某些经济活动中作出具体的方案决策。近几年来一些省市的中考或竞赛试题中出现了这方面的应用题，这些试题新颖灵活，具有较强的时代气息和很强的选拔功能。1生产方案的设计例 1 某工厂现有甲种原料 360 千克，乙种原料 290 千克，计划利用这两种原料生产 A、B 两种产品，共 50 件。已知生产一件 A 种产品需用甲种原料 9 千克、乙种原料 3 千克，可获利润 700 元；生产一件 B 种产品，需用甲种原料 4 千克、乙种原料 10 千克，可获利

7、润 1200 元。(1)要求安排 A、B 两种产品的生产件数，有哪几种方案?请你设计出来；(2)生产 A、B 两种产品获总利润是 y(元)，其中一种的生产件数是 x，试写出 y 与 x 之间的函数关系式，并利用函数的性质说明(1)中的哪种生产方案获总利润最大?最大利润是多少? 2.调运方案设计例 2 北京某厂和上海某厂同时制成电子计算机若干台，北京厂可支援外地 10 台，上海厂可支援外地 4 台，现在决定给重庆 8 台，汉口 6 台。如果从北京运往汉口、重庆的运费分别是 4 百元/台、8 百元/台，从上海运往汉口、重庆的运费分别是 3 百元/台、5 百元/台。求：(1)若总运费为 8400 元

8、，上海运往汉口应是多少台?(2)若要求总运费不超过 8200 元，共有几种调运方案?(3)求出总运费最低的调运方案，最低总运费是多少元?例 3 某新建商场设有百货部、服装部和家电部三个经营部，共有 190 名售货员，计划全商场日营业额(指每日卖出商品所收到的总金额)为 60 万元。由于营业性质不同，分配到三个部的售货员的人数也就不等，根据经验，各类商品每1 万元营业额所需售货员人数如表 1，每 1 万元营业额所得利润情况如表 2。表 1 表 2商品 每 1 万元营业额所需人数 商品 每 1 万元营业额所得利润百货类 5 百货类 0 3 万元第 11 页（共 46 页）服装类 4 服装类 0 5

9、 万元家电类 2 家电类 0 2 万元商场将计划日营业额分配给三个经营部，设分配给百货部、服装部和家电部的营业额分别为 x(万元)、y(万元)、z(万元)(x,y,z 都是整数)。(1) 请用含 x 的代数式分别表示 y 和 z；(2) 若商场预计每日的总利润为 C(万元)，且 C 满足 19C19.7，问这个商场应怎样分配日营业额给三个经营部?各部应分别安排多少名售货员?3优惠方案的设计例 4 某校校长暑假将带领该校市级“三好生”去北京旅游。甲旅行社说：“如果校长买全票一张，则其余学生可享受半价优待。 ”乙旅行社说：“包括校长在内，全部按全票价的 6 折(即按全票价的 60%收费)优惠。 ”

10、若全票价为 240元。(1)设学生数为 x，甲旅行社收费为 y 甲，乙旅行社收费为 y 乙，分别计算两家旅行社的收费(建立表达式)；(2)当学生数是多少时，两家旅行社的收费一样；(3)就学生数 x 讨论哪家旅行社更优惠。练习1某童装厂现有甲种布料 38 米，乙种布料 26 米，现计划用这两种布料生产 L、M 两种型号的童装共 50 套，已知做一套 L 型号的童装需用甲种布料 0.5 米，乙种布料 1 米，可获利 45 元；做一套 M 型号的童装需用甲种布料 0.9 米，乙种布料 0.2 米，可获利润 30 元。设生产 L 型号的童装套数为 x，用这批布料生产这两种型号的童装所获利润为 y(元)

11、。(1)写出 y(元)关于 x(套)的函数解析式；并求出自变量 x 的取值范围；(2)该厂在生产这批童装中，当 L 型号的童装为多少套时，能使该厂所获的利润最大?最大利润为多少?第 12 页（共 46 页）2A 城有化肥 200 吨，B 城有化肥 300 吨，现要把化肥运往 C、D 两农村，如果从 A 城运往 C、D 两地运费分别是 20元/吨与 25 元/吨，从 B 城运往 C、D 两地运费分别是 15 元/吨与 22 元/吨，现已知 C 地需要 220 吨，D 地需要 280 吨，如果个体户承包了这项运输任务，请帮他算一算，怎样调运花钱最小?3下表所示为装运甲、乙、丙三种蔬菜的重量及利润。

12、某汽车运输公司计划装运甲、乙、丙三种蔬菜到外地销售(每辆汽车按规定满载，并且每辆汽车只装一种蔬菜)甲 乙 丙每辆汽车能装的吨数 2 1 15每吨蔬菜可获利润（百元） 5 7 4(1)若用 8 辆汽车装运乙、丙两种蔬菜 11 吨到 A 地销售，问装运乙、丙两种蔬菜的汽车各多少辆?(2)公司计划用 20 辆汽车装运甲、乙、丙三种蔬菜 36 吨到 B 地销售(每种蔬菜不少于一车)，如何安排装运，可使公司获得最大利润?最大利润是多少?4有批货物，若年初出售可获利 2000 元，然后将本利一起存入银行。银行利息为 10%，若年末出售，可获利 2620元，但要支付 120 元仓库保管费，问这批货物是年初还

13、是年末出售为好?第 13 页（共 46 页）八 一次函数与方案设计问题答案 1 解 (1)设安排生产 A 种产品 x 件，则生产 B 种产品是(50-x)件。由题意得290)5(033649x )2(1解不等式组得 30x32。因为 x 是整数，所以 x 只取 30、31、32，相应的(50-x)的值是 20、19、18。所以，生产的方案有三种，即第一种生产方案：生产 A 种产品 30 件，B 种产品 20 件；第二种生产方案：生产 A 种产品 31 件，B 种产品 19 件；第三种生产方案：生产 A 种产品 32 件，B 种产品 18 件。(2)设生产 A 种产品的件数是 x，则生产 B 种

14、产品的件数是 50-x。由题意得y=700x+1200(50-x)=-500x+6000。(其中 x 只能取 30，31，32。)因为 -500y 乙，120x+240144x+144， 解得 x4。答：当学生人数少于 4 人时，乙旅行社更优惠；当学生人数多于 4 人时，甲旅行社更优惠；本题运用了一次函数、方程、不等式等知识，解决了优惠方案的设计问题。综上所述，利用一次函数的图象、性质及不等式的整数解与方程的有关知识解决了实际生活中许多的方案设计问题，如果学生能切实理解和掌握这方面的知识与应用，对解决方案问题的数学题是很有效的。练习答案：1. (1) y=15x+1500；自变量 x 的取值范

15、围是 18、19、20。(2) 当 x=20 时，y 的最大值是 1800 元。2. 设 A 城化肥运往 C 地 x 吨，总运费为 y 元，则 y=2x+10060 (0x200)，当 x=0 时，y 的最小值为 10060 元。3. (1) 应安排 2 辆汽车装运乙种蔬菜，6 辆汽车装运丙种蔬菜。(2) 设安排 y 辆汽车装运甲种蔬菜，z 辆汽车装运乙种蔬菜，则用20-(y+z)辆汽车装运丙种蔬菜。得 2y+z+1.520-(y+z)=36，化简，得 z=y-12，所以 y-12=32-2y。因为 y1， z1， 20-(y+z)1，所以 y1， y-121， 32-2y1，所以 13y15

16、.5。设获利润 S 百元，则 S=5y+108，当 y=15 时，S 的最大值是 183，z=y-12=3， 20-(y+z)=2。4. (1) 当成本大于 3000 元时，年初出售好；(2) 当成本等于 3000 元时，年初、年末出售都一样；(3) 当成本小于 3000 元时，年末出售好。第 15 页（共 46 页）一次函数专题训练一、选择题1已知一次函数 ykx,若 y随着 x的增大而减小,则该函数图象经过（ ）（A）第一、二、三象限 （B）第一、二、四象限（C）第二、三、四象限 （D）第一、三、四象限2若正比例函数 y=kx 的图象经过点（1，2），则 k 的值为A B2 C D23点

17、P1（ x1， 1），点 P2（ x2， y2）是一次函数 y4 x + 3 图象上的两个点，且 x1 2，则 y1 与 2 的大小关系是（ ）（A） y1 2 （B） 1 20 （C） 1 2 （D） y1 24下列图形中，表示一次函数 = m+ n与正比例函数 y = mn（ 、 为常数，且 mn0）的图象的是（ ）5某棵果树前 x 年的总产量 y 与 x 之间的关系如图所示，从目前记录的结果看，前 x 年的年平均产量最高，则 x 的值为( )A3 B5 C7 D96根据下表中一次函数的自变量 x 与函数 y 的 对应值，可得 p 的值为（ ）x 2 0 1y 3 p 0A1 B1 C3

18、D 37如果一个正比例函数的图象经过不同象限的两点 A（2，m），B（n，），那么一定有（ ）Am0 ，n0 Bm0 ，n0 Dm 0 时，直接写出 时自变量 的取值范围；12（3）如果点 C 与点 A 关于 轴对称，求ABC 的面积48（2013 年四川攀枝花 12 分）如图，在平面直角坐标系中，四边形 ABCD 是梯形，ABCD，点 B（10，0），C（7，4）直线 l 经过 A，D 两点，且 sinDAB= 动点 P 在线段 AB 上从点 A 出发以每秒 2 个单位的速度向点 B2运动，同时动点 Q 从点 B 出发以每秒 5 个单位的速度沿 BCD 的方向向点 D 运动，过点 P 作 P

19、M 垂直于 x 轴，与折线 ADC 相交于点 M，当 P，Q 两点中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动设点 P，Q 运动的时间为 t 秒（t0），MPQ 的面积为 S（1）点 A 的坐标为 ，直线 l 的解析式为 ；（2）试求点 Q 与点 M 相遇前 S 与 t 的函数关系式，并写出相应的 t 的取值范围；（3）试求（2）中当 t 为何值时， S 的值最大，并求出 S 的最大值；（4）随着 P，Q 两点的运动，当点 M 在线段 DC 上运动时，设 PM 的延长线与直线 l 相交于点 N，试探究：当 t 为何值时，QMN 为等腰三角形？请直接写出 t 的值第 22 页（共 46 页）一次函数

20、竞赛专题专题一 一次函数探究题1.用 m 根火柴可以拼成如图 1 所示的 x 个正方形，还可以拼成如图 2 所示的 2y 个正方形，那么用含 x 的代数式表示 y，得_.2. 将长为 38cm、宽为 5cm 的长方形白纸按如图所示的方法黏合在一起，黏合部分的白纸宽为 2cm（1）求 5 张白纸黏合的长度；（2）设 x 张白纸黏合后的总长为 ycm，写出 y 与 x 的函数关系式（标明自变量 x 的取值范围）；（3）用这些白纸黏合的总长能否为 362cm？并说明理由3. 如图所示，结合表格中的数据回答问题：梯形个数 1 2 3 4 5 图形周长 5 8 11 14 17 （1）设图形的周长为 l

21、，梯形的个数为 n，试写出 l 与 n 的函数关系式；（2）求 n=11 时图形的周长专题二 根据 k、b 确定一次函数图象4. 如图，在同一直角坐标系内，直线 l1：y =（k 2）x+k，和 l2：y=kx 的位置可能是（ ）A B C D第 23 页（共 46 页）5. 下列函数图象不可能是一次函数 y=ax （a 2）图象的是（ ）A B C D6. 已知 a、b、c 为非零实数，且满足 ，则一次函数 y=kx+（1+k）的图象一定经过第bcabkc_象限专题三 一次函数图象的综合应用7春节期间，某批发商欲将一批海产品由 A 地运往 B 地，汽车货运公司和铁路货运公司均开展海产品的运输

22、业务，两货运公司的收费项目及收费标准如下表所示已知运输路程为 120 千米，汽车和火车的速度分别为 60 千米/小时，100千米/小时，以下说法正确的是（ ）A当运输货物重量为 60 吨，选择汽车 B当运输货物重量大于 50 吨，选择汽车C当运输货物重量小于 50 吨，选择火车 D当运输货物重量大于 50 吨，选择火车8.某种子商店销售”黄金一号”玉米种子,为惠民促销,推出两种销售方案供采购者选择.方案一:每千克种子价格为 4 元，无论购买多少均不打折；方案二: 购买 3 千克以内( 含 3 千克)的价格为每千克 5 元,若一次性购买超过 3 千克的,则超过 3 千克的部分的种子价格打 7 折

23、.(1)请分别求出方案一和方案二中购买的种子数量 (千克)和付款金额 (元) 之间的函数关系式;xy(2)若你去购买一定量的种子,你会怎样选择方案？说明理由 .运输工具运输费（元/吨千米）冷藏费（元/吨 小时）过路费（元）装卸及管理费（元）汽车 2 5 200 0火车 1.8 5 0 1600第 24 页（共 46 页）9.（2013 新疆）库尔勒某乡 A 、B 两村盛产香梨,A 村有香梨 200 吨, B 村有香梨 300 吨,现将这批香梨运到 C 、D 两个冷藏仓库,已知 C 仓库可储存 240 吨, D 仓库可储存 260 吨;从 A 村运往 C 、D 两处的费用分别为每吨 40 元和

24、45 元,从 B 村运往 C 、D 两处的费用分别为每吨 25 元和 32 元.设从 A 村运往 C 仓库的香梨为 x 吨，A 、B 两村运往两仓库的香梨运输费用分别为 yA 和 yB 元.(1)请填写下表,并求出 yA、y B 与 x 之间的函数关系式;(2)当 x 为何值时,A 村的运费较少?(3)请问怎样调运,才能使两村运费之和最小?求出最小值.专题四 利用数形求一次函数的表达式10. 如图，在ABC 中，ACB =90，AC = ，斜边 AB 在 x 轴上，点 C 在 y 轴的正半轴上，点 A 的坐标为25（2，0）求直角边 BC 所在直线的表达式收地运地C D 总计A x 吨 200

25、 吨B 300 吨总计 240 吨 260 吨 500 吨第 25 页（共 46 页）11. 如图，已知一条直线经过 A（0，4）、点 B（2，0），将这直线向左平移与 x 轴负半轴、y 轴负半轴分别交于点 C、点 D，使 DB=DC求直线 CD 的函数表达式12平面直角坐标系中，点 A 的坐标是（4，0），点 P 在直线 y= x+m 上，且 AP=OP=4求 m 的值专题五 二元一次方程组与一次函数关系的应用13. 甲、乙两车从 A 地将一批物品匀速运往 B 地，甲出发 0. 5 小时后乙开始出发，结果比甲早 1 小时到达 B 地如图，线段 OP、MN 分别表示甲、乙两车离 A 地的距离

26、s(千米 )与时间 t（小时）的关系，a 表示 A、B 两地间的距离请结合图象中的信息解决如下问题：(1)分别计算甲、乙两车的速度及 a 的值；(2)乙车到达 B 地后以原速立即返回，请问甲车到达 B 地后以多大的速度立即匀速返回，才能与乙车同时回到 A 地？并在图中画出甲、乙在返回过程中离 A 地的距离 s（千米）与时间 t（小时）的函数图象第 26 页（共 46 页）14 小华观察钟面（图 1），了解到钟面上的分针每小时旋转 360 度，时针每小时旋转 30 度.他为了进一步研究钟面上分针与时针的旋转规律，从下午 2:00 开始对钟面进行了一个小时的观察.为了研究方便，他将分针与原始位置

27、OP（图2）的夹角记为 y1 度，时针与原始位置 OP 的夹角记为 y2 度（夹角是指不大于平角的角），旋转时间记为 t 分钟，观察结束后，他利用所得的数据绘制成图象 （图 3），并求出了 y1 与 t 的函数关系式： .16(03)60tyt（ 请你完成：（1）求出图 3 中 y2 与 t 的函数关系式；（2）直接写出 A、 B 两点的坐标，并解释这两点的实际意义；（3）若小华继续观察一小时，请你在图 3 中补全图象.第 27 页（共 46 页）专题六、一次函数与不等式一、填空与选择1已知一次函数 2m-1xy,函数 y随着 x的增大而减小，且其图象不经过第一象限，则 m的取值范围是 （ ）

28、A. 2m B. C. 21m D. 21m2小高从家门口骑车去单位上班，先走平路到达点 A，再走上坡路到达点 B，最后走下坡路到达工作单位，所用的时间与路程的关系如图所示下班后，如果他沿原路返回，且走平路、上坡路、下坡路的速度分别保持和去上班时一致，那么他从单位到家门口需要的时间是 ( ) A12 分钟 B15 分钟 C25 分钟 D27 分钟3如图，点 A、B、C、D 在一次函数 2yxm的图象上，它们的横坐标依次为 1、1、2，分别过这些点作 x 轴与y 轴的垂线，则图中阴影部分的面积这和是 （ ） A B 3 C(1)mD 3()4函数 y1=x+1 与 y2=ax+b 的图象如图所示

29、，这两个函数图象如图所示，那么使 y1,y2 的值都大于零的 x 的取值范围是 5若直线 y=mx+4，x= l，x =4 和 x 轴围成的直角梯形的面积是 7，则 m 的值是（ ）A B C D212 23 326如图，在直角坐标系中，已知点 )0,(A， )4,(B，对 OAB连续作旋转变换，依次得到三角形、，则三角形的直角顶点的坐标为 yxOAB 4 8 12 1642（第 2 题图） （第 3 题图） （第 4 题图）第 28 页（共 46 页）yxOABxyBAPM07如图，将边长为 1 的正方形 OAPB 沿 x 轴正方向连续翻转 2 007 次，点 P 依次落在点 P1, P2,

30、 P3, P4, ，P 2 007 的位置，则 P2 007 的横坐标 x2 007_ 8已知直线 y1=ax+b 和 y2=mx+n 的图象如图所示，根据图象填空1 当 x_ _时，y 1y 2；当 x_ _时，y 1=y2；当 x_ _时，y 1y 2. 方程组 12=a+bmxn 是 .9如图，直线 yk经过 (21)A， ， (2)B， 两点，则不等式 12xb的解集为 .二、解答题10.如图，直线 y= 3x+1 分别与 X 轴，Y 轴交于 B，A.（1）求 B，A 的坐标；（2）把AOB 以直线 AB 为轴翻折，点 O 落在点 C，以 BC 为一边做等边三角形 BCD,求 D 点的

31、坐标.11.如图直线 y= 4-3x+8 与 x 轴、 y 轴分别交于点 A 和点 B，M 是 OB 上的一点，若将ABM 沿 AM 折叠，点 B 恰好落在x 轴上的点 P 处，求直线 AM 的解析式.（第 6 题图） （第 7 题图）（第 8 题图）（第 9 题图）第 29 页（共 46 页）专题七直线型几何综合题1如图，在矩形 ABCD 中，AB=2，BC=1 ，动点 P 从点 B 出发，沿路线 BCD 作匀速运动，那么ABP 的面积 S 与点 P 运动的路程 x之间的函数图象大致是（ ）2如图，在矩形 ABCD 中，BC=20 cm，P，Q ，M ，N 分别从 A， B，C，D 出发沿

32、AD，BC ，CB，DA 方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止已知在相同时间内，若 BQ=xcm( 0x)，则AP=2xcm，CM=3xcm ，DN=x 2cm（1）当 x 为何值时，以 PQ，MN 为两边,以矩形的边（AD 或 BC）的一部分为第三边构成一个三角形；（2）当 x 为何值时，以 P，Q ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形；（3）以 P，Q，M，N 为顶点的四边形能否为等腰梯形 ?如果能，求 x 的值；如果不能，请说明理由O xy3113O xy311O xy33O xy312 （例 1 图） （ 例 2图 ） （A） （B） （C）

33、 （D）ABDCPQ MN第 30 页（共 46 页）PD CM B（N（APND CM BA4如图，在等腰梯形 ABCD 中，ABDC，A=45，AB=10cm ，CD=4 cm，等腰直角三角形 PMN 的斜边 MN=10cm，A点与 N 点重合，MN 和 AB 在一条直线上，设等腰梯形 ABCD 不动，等腰直角三角形 PMN 沿 AB 所在直线以 1cm/s 的速度向右移动，直到点 N 与点 B 重合为止。 （1）等腰直角三角形 PMN 在整个移动过程中与等腰梯形 ABCD 重叠部分的形状由_形变化为_形；（2）设当等腰直角PMN 移动 x（s）时，等腰直角PMN 与等腰梯形 ABCD 重叠部分的面积为 y（cm 2）。 当 x=6 时，求 y 的值； 当 6x10 时，求 y 与 x 的函数关系。