1、高中数学.复数 Page 1 of 16复数一、复数的概念1 虚数单位 i:（1）它的平方等于 ，即 ；12i（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立（3）i 与1 的关系:i 就是 的一个平方根，即方程 的一个根，方程 的另一个根是-i 21x21x（4）i 的周期性：， ， ， 1ni421n43nii4n2 数系的扩充：复数(0)i i(0)iabba实 数 纯 虚 数虚 数 非 纯 虚 数3 复数的定义：形如 的数叫复数， 叫复数的实部， 叫复数的虚部全体复数所成的集合叫做i()abR， a复数集，用字母 表示C4 复数的代数形式: 通常用字母 表示，即
2、 ，把复数表示成 的形式，叫做复数的代数形式z()zabiR， abi5 复数与实数、虚数、纯虚数及 的关系：0对于复数 ，当且仅当 时，复数 是实数 ；当 时，复数()abiR， ()iR， a0b叫做虚数；当 且 时， 叫做纯虚数；当且仅当 时， 就是实数zabzbiz06 复数集与其它数集之间的关系： NZQRC7 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等这就是说，如果 ，a， ， ，那么 ， abd， ， cRiiabcdacbd高中数学.复数 Page 2 of 16二、复数的几何意义1 复平面、实轴、虚轴：复数 与有序实数对 是一一对应关系建
3、立一一对应的关系点 的横i()zabR， ab， Z坐标是 ，纵坐标是 ，复数 可用点 表示，这个建立了直角坐标系来i()zR， Zab，表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面， 轴叫做实轴， 轴叫做虚轴实轴上的点都表xy示实数2 对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为 ，它所确定的复数是0，表示是实数0iz除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数3复数 复平面内的点zabi 一 一 对 应 ()Zab，这就是复数的一种几何意义也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法三、复数的四则运算1 复数 与 的和的定义：1z2iiabcdiacbd2 复数 与 的差的定义：12ziii3 复数
4、的加法运算满足交换律: 121zz4 复数的加法运算满足结合律: 323()()z5 乘法运算规则：设 ， ( 、 、 、 )是任意两个复数，1izab2izcdabcdR那么它们的积 1i ibcad其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把 换成 ，并且把实部与2i1虚部分别合并两个复数的积仍然是一个复数6 乘法运算律：（1） 23123zz（2） 1()()（3） 23123zz7 复数除法定义：满足 的复数 ( 、 )叫复数 除以复数 的商，记为：iiicdxyabxyiRabicdi或者()abcdi高中数学.复数 Page 3 of 168 除法运算规则：设复数
5、( 、 )，除以 ( ， )，其商为 （ 、 )，iabRicdRixyR即 ()icdxycxdyc xyab由复数相等定义可知 解这个方程组，得cxdy， 2acbdxy，于是有: (i)iab22abcadi利用 于是将 的分母有理化得：iicdcdi原式 2()i()iiabacbdca222iicdc( i)iababda点评:是常规方法，是利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采用的分母有理化思想方法，而复数 与复数 ，相当于我们初中学习的 的对偶式 ，它们之积icdic3232为 是有理数，而 是正实数所以可以分母实数化 把这种方法叫做分12d母实数化法9 共轭复数：当两个复数的
6、实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。虚部不等于 的0两个共轭复数也叫做共轭虚数高中数学.复数 Page 4 of 16例题精讲1 复数的概念【例 1】 已知 为虚数单位） ，那么实数 a， b 的值分别为（ ）2(aibiA2，5 B-3，1 C-11 D 2， 3【答案】D【例 2】 计算： （ 表示虚数单位）0!12!10!i+ii i【答案】 95【解析】 ，而 （ ） ，故4i|!k40!12!10!i+iii(1)9752i【例 3】 设 ， ，则下列命题中一定正确的是（ ）22(53)()iztttRA 的对应点 在第一象限 B 的对应点 在第四象限ZzZC 不
7、是纯虚数 D 是虚数【答案】D【解析】 22(1)0tt【例 4】 在下列命题中，正确命题的个数为（ ）两个复数不能比较大小；若 是纯虚数，则实数 ；22(1)(3)ixx1x 是虚数的一个充要条件是 ；zzR若 是两个相等的实数，则 是纯虚数；ab， ()()iab 的一个充要条件是 zRz 的充要条件是 11A1 B2 C3 D4【答案】B【解析】 复数为实数时，可以比较大小，错； 时， ，错； 为实数1x22(1)(3)0xxiz时，也有 ，错； 时， ，错；正确zR0ab()0abi2 复数的几何意义【例 5】 复数 （ ， 为虚数单位）在复平面上对应的点不可能位于（ ）2i1mzi高
8、中数学.复数 Page 5 of 16A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【答案】A【解析】 由已知 在复平面对应点如果在第一象限，则2()12(4)2(1)15miiz mi，而此不等式组无解即在复平面上对应的点不可能位于第一象限40【例 6】 若 ，复数 在复平面内所对应的点在（ ）354， (cosin)(sico)iA第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【答案】B【解析】 结合正、余弦函数的图象知，当 时， 354， cosin0sico0，【例 7】 如果复数 满足 ，那么 的最小值是（ ）zii2zi1zA1 B C2 D 5【答案】A【解析】 设复数 在复平面的
9、对应点为 ，因为 ，zZiiz所以点 的集合是 轴上以 、 为端点的线段Zy1(0)， 2(1)，表示线段 上的点到点 的距离此距离的最小值为点 到点i1z12， 2(01)Z，的距离，其距离为 ()，【例 8】 满足 及 的复数 的集合是（ ）z32zzA B1ii， 1ii2，C D22ii， 3ii2，【答案】D【解析】 复数 表示的点在单位圆与直线 上（ 表示 到点 与点 的距离z 12x32zz102， 3，相等，故轨迹为直线 ） ，故选 Dx【例 9】 已知复数 的模为 ，则 的最大值为_(2)i()xyR， 3yx【答案】 3 COyx高中数学.复数 Page 6 of 16【解
10、析】 ，2i3xy，故 在以 为圆心， 为半径的圆上， 表示圆上的点 与() ()xy， (20)C， 3yx()xy，原点连线的斜率如图，由平面几何知识，易知 的最大值为 x【例 10】 复数 满足条件： ，那么 对应的点的轨迹是（ ）z21izzA圆 B椭圆 C双曲线 D抛物线【答案】A【解析】 A；设 ，则有 ， ，izxy(21)i(1)ixyx222(1)(1)xyx化简得： ，故为圆2539【点评】 的几何意义为点 到点 的距离；0zz0 中 所对应的点为以复数 所对应的点为圆心，半径为 的圆上的点()r0z r【例 11】 复数 ， 满足 ， ，证明： 1z2120z1212zz
11、210z【解析】 设复数 ， 在复平面上对应的点为 ， ，由 知，以 ， 为邻边的12 1Z212121OZ2平行四边形为矩形， ，故可设 ，所以 12O2(0)zkiR， 2i0zk也可设 ，则由向量 与向量 垂直知 ，12iizabzcd， ()ab， cd， acbd，故 222()()i0i cdcd2210z【例 12】 已知复数 ， 满足 ， ，且 ，求 与 的值1z217z27z124z12z2z【答案】 ；47i3【解析】 设复数 ， 在复平面上对应的点为 ， ，由于 ，1z2 1Z222(71)()4故 ，221z故以 ， 为邻边的平行四边形是矩形，从而 ，则 ；1OZ2 1
12、2OZ1277ii3z24zz【例 13】 已知 ， ， ，求 12， C12z123z12z高中数学.复数 Page 7 of 16【解析】 设复数 ， 在复平面上对应的点为 ，由 知，以 ， 为邻12z， 12z123Z， ， 12z1OZ2边的平行四边形是菱形，记 所对应的顶点为 ，OP由 知， （可由余弦定理得到） ，故 ，123z10PZ 1260Z从而 【例 14】 已知复数 满足 ，求 的最大值与最小值z(23i)(23i)4zdz【答案】 ，max213dmind【解析】设 ，则 满足方程 zy()xy， 2()14yx，2222841()3dx 又 ，故当 时， ；当 时，有
13、 13 0xy， min1d253xy， max213d3 复数的四则运算【例 15】 已知 ，若 ，则 等于（ ）mR6(i)4iA B C D4222【答案】B【解析】 6366(i)(i)8i4i8m【例 16】 计算： 12109()(3)3ii【答案】 51【解析】 原式 12 101269109999(i)(i2)(i)251(i)3【例 17】 已知复数 ， ，则 的最大值为（ ）1cosiz2sinz12zA B C D332 6【答案】A【解析】 12(cosi)(ni)(cosin1)(cosin)z22(cosin1)(cosin)，2214故当 时， 有最大值 sin1
14、2z 324高中数学.复数 Page 8 of 16【例 18】 对任意一个非零复数 ，定义集合 z|nzMwzN，（）设 是方程 的一个根，试用列举法表示集合 若在 中任取两个数，求其z10xzMz和为零的概率 ；P（2）若集合 中只有 个元素，试写出满足条件的一个 值，并说明理由zM3z【答案】 （1） ；（2） 31i2【解析】 （1） 是方程 的根，z0x 或 ，不论 或 ， ，iiizi234ii1izM， ， ， ， ， ，于是 241C3P（2）取 ，则 及 iz23iz1z于是 或取 （说明：只需写出一个正确答案） 23zM， ， i2【例 19】 解关于 的方程 x256()
15、i0x【答案】 123ix，【解析】 错解：由复数相等的定义得 22320xxx或分析：“ ，且 成立”的前提条件是 ，但本题并未告诉iiabcdacbdabcdR， ， ，是否为实数x法一：原方程变形为 ， 2(5i)62i0x2 2(5i)4(6i)(1i)由一元二次方程求根公式得 ， 1()3x25x原方程的解为 ， 13ix2法二：设 ，则有 ，i()xabR， 2(i)5(i)6()i0abab，2(56i0256由得： ，代入中解得： 或 ，21ba31ab故方程的根为 23ix，【例 20】 已知 ， ，对于任意 ，均有 成立，试求实数 的211zi2()izxaxR12za取值
16、范围高中数学.复数 Page 9 of 16【答案】 12a，【解析】 ， ，1z 4221()xxa对 恒成立()()0a R当 ，即 时，不等式恒成立；20当 时， 1a21124()0aa综上， 2，【例 21】 关于 的方程 有实根，求实数 的取值范围x2()i10axa【答案】 1a【解析】 误： 方程有实根， 22()4()50iai解得 或 52 5a析：判别式只能用来判定实系数一元二次方程 根的情况，而该方程中20()axbca与 并非实数ia1i正：设 是其实根，代入原方程变形为 ，由复数相等的定义，得0x 20001()ix，解得 20a1a【例 22】 设方程 的根分别为
17、 ， ，且 ，求实数 的值20xk2k【答案】 或 1k3【解析】 若 ， 为实数，则 且 ，4 222 2()()4()解得 若 ， 为虚数，则 且 ， 共轭，0k，解得 222 2()()4()k3k综上， 或 1k3【例 23】 用数学归纳法证明： (cosin)cos()in()N，并证明 ，从而 1(cosin)cos()in()【解析】 时，结论显然成立；1n若对 时，有结论成立，即 ，k(cosin)cos()in()kk则对 ，1(cosin)k由归纳假设知，上式 is()is()k高中数学.复数 Page 10 of 16(cossin)icosin()sicokkkk，1)
18、(1从而知对 ，命题成立综上知，对任意 ，有 nN(cosin)cos()in()N，易直接推导知：(cosi)(cosi)()i()is)cos0in1故有 1nisn(si)()(co)isn()coscsi【例 24】 若 是方程 （ ）的解，in1210nnnxaxax 12naR， ， ，求证： 12ssi0a【解析】 将解代入原方程得：，11(cosin)(cosin)na将此式两边同除以 ，则有：，1212(i)(is)(cosin)0naa 即 ，cosncoa，12 12( )i(isi)n na 由复数相等的定义得 12si s0na【例 25】 设 、 为实数，且 ，则
19、=_xy513xyiiixy【答案】4【解析】 由 知， ，51213iii()(2)()250xyiii即 ，(5)(40xyy故 ，解得 ，故 04115x4xy【例 26】 已知 是纯虚数，求 在复平面内对应点的轨迹1zz【答案】以 为圆心， 为半径的圆，并去掉点 和点 02， 2(0)， (10)，【解析】 法一：设 （ ） ，izxyR，则 是纯虚数，2(1)i1ixy高中数学.复数 Page 11 of 16故 ，20()xy即 的对应点的轨迹是以 为圆心， 为半径的圆，并去掉点 和点 z102， 12(0)， (10)，法二： 是纯虚数， （ 且 ）1z01zz1 ， ，得到 ，
20、0z()()z 2z设 （ ） ，则 （ ）xyiR2xy0 的对应点的轨迹以 为圆心， 为半径的圆，并去掉点 和点 z10， 1(0)， (10)，【例 27】 设复数 满足 ，求 的最值z224z【解析】 由题意， ，则 24 2(1)zz设 ，i()zabb ， 则 2i1i21a当 时， ，此时 ； 1a2min40z5i2z当 时， ，此时 i1【例 28】 若 ， ，试求 ()23ifz()63ifzi()fz【答案】 64i【解析】 ，()if i2()i32i3izzz2i.z又知 ， 6f 6设 （ ） ，则 ， ，即 ，izabR， izab(i)(i)6iab3i6ab由
21、复数相等定义得 ，解得 3121， 2z故 ()2i)(i)(i)364ifzf【点评】复数的共轭与模长的相关运算性质：设 （ ）的共轭复数为 ，则 ； ；izxyR， z2zxizy 为实数 ；220zz 为纯虚数 ；z ()高中数学.复数 Page 12 of 16对任意复数有 ； ； ，特别地有 ； ；z1212z12z2()z12z2z ， ， ， 2zz1212z12z2122zzz 以上性质都可以通过复数的代数形式的具体计算进行证明【例 29】 已知虚数 为 的一个立方根， 即满足 ，且 对应的点在第二象限，证明 ，131 2并求 与 的值2312【答案】0； i【解析】 法一：，
22、解得： 或 321()1)0xx1x3i2由题意知 ，证明与计算略；3i法二：由题意知 ，故有 3122(1)010又实系数方程虚根成对出现，故 的两根为 1x，由韦达定理有 32222331103i【点评】利用 的性质： ， 可以快速计算一1i233132()nnnZ， ， 210些 相关的复数的幂的问题【例 30】 若 （ ） ，23201 0naa 012213i2naa NR， ， ， ， ， ，求证： 36147258a 【解析】 23201 n36472581()()()aaa 0 47258)()0a 设 ，361ABC ， ，高中数学.复数 Page 13 of 16则有 ，即
23、 ，20ABC1313ii022ABC，解得 ，即 23()0B 036147258aaa 【例 31】 设 是虚数， 是实数，且 z1wz12w（1）求 的值及 的实部的取值范围；（2）设 ，求证： 为纯虚数；zuu（3）求 的最小值2w【答案】 （1） ； 的实部的取值范围是 ；（3）1z 2，【解析】 （1）设 ， ，iabR， 0b则 ，221iiabw因为 是实数， ，所以 ，即 0b1z于是 ， ， ，2a12aa所以 的实部的取值范围是 z1，（2） 221iii()1abbuzaa因为 ， ，所以 为纯虚数2， 0u（3） 22112()() 1bawua a1()3a因为 ，
24、所以 ，12， 0故 1()341wua当 ，即 时， 取得最小值 1a02wu【例 32】 对任意一个非零复数 ，定义集合 z21| nzMzN，（1）设 是方程 的一个根，试用列举法表示集合 ；12xM高中数学.复数 Page 14 of 16（2）设复数 ，求证： zMz【答案】 （1） ；（2）略22(1i)(i)(1i)(i) ， ， ，【解析】 （1） 是方程 的根，x 或 ，12(i)2(1i)当 时， ， 1i1i2211()inn ，111iiM， ， ， 2(i)(i)(i)(1i) ， ， ，当 时， ，2(i)2i 2 2(1i)(i)(1i)(i) ， ， ， ；2(
25、i)(i)(i)(i)2M ， ， ，（2） ，存在 ，使得 zmN1mz于是对任意 ， n21(1)2nnz由于 是正奇数， ， (1)zMz【例 33】 已知复数 ， 和 ，其中 均为实数， 为虚数0i(0)zmizxyiwxyxy， ， ， i单位，且对于任意复数 ，有 ， 2z（1）试求 的值，并分别写出 和 用 表示的关系式；xy，（2）将 作为点 的坐标， 作为点 的坐标，上述关系式可以看作是坐标平面上点()xy， P()， Q的一个变换：它将平面上的点 变到这一平面上的点 当点 在直线 上移动时，P1yx试求点 经该变换后得到的点 的轨迹方程；（3）是否存在这样的直线：它上面的任
26、一点经上述变换后得到的点仍在该直线上?若存在，试求出所有这些直线；若不存在，则说明理由【答案】 （1） ；（2） ；3xy(23)2x（3）这样的直线存在，其方程为 或y3yx【解析】 （1）由题设， ， ，002wzz 02z高中数学.复数 Page 15 of 16于是由 ，且 ，得 ，214m03m因此由 ，得关系式 (3i)(i()ixyixyyx3xy（2）设点 在直线 上，则其经变换后的点 满足 ，()P， 1()Qy， (1)3x消去 ，得 ，故点 的轨迹方程为 x23)2yx2)2（3）假设存在这样的直线，平行坐标轴的直线显然不满足条件，所求直线可设为 (0)ykxb该直线上的
27、任一点 ，其经变换后得到的点 仍在该直线上，()Pxy， (3Qy， ，即 ，3(3xykb(31)()kyx当 时，方程组 无解，故这样的直线不存在0b()当 ，由 ，得 ，解得 或 (31)3k230k3k故这样的直线存在，其方程为 或 yxyx【习题 1】 已知 ，复数 的实部为 ，虚部为 1，则 的取值范围是（ ）02azazA B C D15， 13， 5， 13，【答案】C【解析】 ，而 ，2za02az【习题 2】 设 为锐角三角形的两个内角，则复数 对应的点位于复AB， (cotan)(tcot)zBABAi平面的（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【答案】B【
28、解析】 ， sincoscos()tancot 0inABAcos()cotan0iABB课后检测高中数学.复数 Page 16 of 16【习题 3】 复数 等于（ ）45(2i)13A B C Di13i13i13i【解析】原式 ，选 B425 256(i)(i) i2 【习题 4】 已知复数 满足 ，且 ，求证： 12z， 12z12z12z【解析】 设复数 在复平面上对应的点为 ， ，由条件知 ，以 ， Z2z1OZ为邻边的平行四边形为正方形，而 在复平面上对应的向量为正方形的一条对角线，2OZ 12z所以 1z【习题 5】 设复数 ， 满足 ，其中 ，求 的值1z212120zAz5A12zA【答案】5【解析】 121212A，()zzz把 代入上式，得 12120 2125zAA
