1、高等数学（一）教案 期末总复习- 0 -第八章 向量与解析几何向量代数定义 定义与运算的几何表达 在直角坐标系下的表示向量 有大小、有方向. 记作 或aABa(,)xyzxyzijak,prrprja模 向量 的模记作a 22xyz和差cabcabcab,xyzab单位向量 ，则0eae22(,)xyza方向余弦 设 与 轴的夹角分别为 ，a,xyz， ，则方向余弦分别为 cos， ， cosyx za， cos，ae(， ， )2221+点乘（数量积） ， 为向量 a 与 b 的夹b角 zyxbab叉乘（向量积）bacsinac为向量 a 与 b 的夹角向量 与 ， 都垂直 zyxbkjia
2、定理与公式垂直 0 0xyzaa平行 /ab/xyzbb交角余弦 两向量夹角余弦 bacos222cosxyzxyza投影向量 在非零向量 上的投影 as()bprj 22xyzbbaprj平面 直线法向量 点,nABC),(00zyxM方向向量 点,Tmnp),(00zyxM方程名称 方程形式及特征 方程名称 方程形式及特征一般式 Dx一般式 2211DCBxA高等数学（一）教案 期末总复习- 1 -点法式 0)()()(00 zCyBxA点向式 pznymx000三点式111222333yz参数式 tzt0截距式 xabc两点式 0111xyz面面垂直 02121CBA线线垂直 22pnm
3、面面平行 线线平行线面垂直 pnm线面平行 0CBA点面距离),(00zyxM0DCzByAx 面面距离 10AxByCzD2xyzD220d 2dAB面面夹角 线线夹角 线面夹角,11CBn,22n,11pnms ,22pns ,pnms,CBA21|cosA 21co 222i pn切“线”方程： )()()(000tztytx() xtyzt， )(切向量 )(,)(00tttT法平“面”方程： )()()( 0000 ztytxt切“线”方程： )()(100x空间曲线： ()yxz切向量 )(,1(xT法平“面”方程： )()()( 0000zyx0),(zyxF法向量 00(,),
4、xyznF切平“面”方程： 0000, ,()(x xFyzFy法“线“方程： ),(),(),( 000 zyxzyxzyxz空间曲面： ),(yxfz0(,)1xynf或切平“面”方程： , ffyx高等数学（一）教案 期末总复习- 2 -0(,)1xynf法“线“方程： 1),(),( 000zyxfyxf第九章 多元函数微分法及其应用（一） 基本概念1、 距离，邻域，内点，外点，边界点，聚点，开集，闭集，连通集，区域，闭区域，有界集，无界集。2、 多元函数： ，图形：),(yxfz3、 极限： Ayx lim),(),(04、 连续： ),(),0),(),(0 yxffy5、 偏导数
5、： xfxfyxfx ), (), li),( 0000 yyfffyy ,(lim, 00006、 方向导数： 其中 为 的方向角。coscosyfxflf,l7、 梯度： ，则 。),(fz jyxfiyxfyxgradf y),(),(),( 0008、 全微分：设 ，则,yxfdzz（二） 性质1、 函数可微，偏导连续，偏导存在，函数连续等概念之间的关系：偏导数存在函数可微函数连续偏导数连续充分条件 必要条件定义1 22342、 闭区域上连续函数的性质（有界性定理，最大最小值定理，介值定理）3、 微分法1） 定义： u2） 复合函数求导：链式法则 高等数学（一）教案 期末总复习- 3
6、-若 ，则 u (,)(,)(,)zfuvxyvxy x， zxxzuzvz3） 隐函数求导：两边求偏导，然后解方程（组） v y（三） 应用1、 极值1） 无条件极值：求函数 的极值),(yxfz解方程组 求出所有驻点，对于每一个驻点 ，令0yxff ),(0yx， ， ，),(xA),(0yxfB,fCy 若 ， ，函数有极小值，2CA若 ， ，函数有极大值；0 若 ，函数没有极值；2 若 ，不定。BA2） 条件极值：求函数 在条件 下的极值),(yxfz 0),(yx令： Lagrange 函数,),(fyxL解方程组 0),(yx2、 几何应用1） 曲线的切线与法平面曲线 ，则 上一点
7、 （对应参数为 ）处的)()(:tzyt),(0zyxM0t切线方程为： )()()( 000 tztytx法平面方程为： 0)()00 ztzyyx2） 曲面的切平面与法线曲面 ，则 上一点 处的切平面方程为：),(:zyxF,(0xM)(,(),(,( 00000000 zyxFyzyxFzyx高等数学（一）教案 期末总复习- 4 -法线方程为： ),(),(),( 000000 zyxFzyxFzyxFzy第十章 重积分重积分积分类型 计算方法 典型例题（1） 利用直角坐标系X型 Dbaxdyfdxyf )(21,),(Y型 cy)(21P141例 1、例 3（2） 利用极坐标系 使用原
8、则(1) 积分区域的边界曲线易于用极坐标方程表示( 含圆弧,直线段 )；(2) 被积函数用极坐标变量表示较简单( 含 , 为实数 )2(xy21()cos,ins,i)Dfddf0202P147例 5（3） 利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性当 D 关于 y 轴对称时， （关于 x 轴对称时，有类似结论）1 1(,)(,)2(,),()(,)DfyfxyIfxydfxyfD对 于 是 奇 函 数 ，即 对 于 是 偶 函 数 ，即 是 的 右 半 部 分P141例 2应用该性质更方便二重积分 d,DyxfI平面薄片的质量质量=面密度面积计算步骤及注意事项1 画出积分区域2 选择坐标系 标准
9、：域边界应尽量多为坐标轴，被积函数 关于坐标变量易分离3 确定积分次序 原则：积分区域分块少，累次积分好算为妙高等数学（一）教案 期末总复习- 5 -4 确定积分限 方法：图示法 先积一条线，后扫积分域5 计算要简便 注意：充分利用对称性，奇偶性(1) 利用直角坐标 不投影 bayxzxy zfVzyxf ),()(2121 d),dd),( P159例 1 P160例 2（ 2） 利用柱面坐标 cosinryz相当于在投影法的基础上直角坐标转换成极坐标 适用范围:积分区域表面用柱面坐标表示时方程简单；如 旋转体 1被积函数用柱面坐标表示时变量易分离.如 2 22()()fxyfz21()(,
10、)dcos,in,dbrafxyzVzf P161例 3（ 3）利用球面坐标 inicosxyrzdvd2适用范围:积分域表面用球面坐标表示时方程简单;如，球体，锥体. 1被积函数用球面坐标表示时变量易分离. 如， 2 22()fxyz211(,)dsinco,sin,cosindIf P16510-(1)三重积分dvzyxfI),(空间立体物的质量质量=密度 面积（ 4）利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性高等数学（一）教案 期末总复习- 6 -第十一章曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分积分类型 计算方法 典型例题第一类曲线积分 LdsyxfI),(曲形构件的质量质量=线密度弧长参数法（
11、转化为定积分）（1） :()Lyx dtttfI)()(,22（2） )tt xyxfba1（3） ()r()cos:inxrLy drfI)(si)(,co22 P189-例 1P1903（ 1） 参数法（转化为定积分） (): )xtLy单 调 地 从 到 ttQttPQd)(),(,d P196-例 1、例2、例 3、例 4（2）利用格林公式（转化为二重积分）条件：L 封闭，分段光滑，有向（左手法则围成平面区域 D）P，Q 具有一阶连续偏导数结论： dyxdyxDL)(应用： 不不不 P205例 4P214-5(1)(4)（3）利用路径无关定理（特殊路径法）等价条件： yPxQ0LQdy
12、x 与路径无关，与起点、终点有关Ld 具有原函数 ),(u（特殊路径法，偏积分法，凑微分法） P211-例 5、例6、例 7平面第二类曲线积分 LdyPxI变力沿曲线所做的功（4）两类曲线积分的联系 LL dsQPdyxI )cos(空间第二类曲线积分 LIPdxQyRz（1）参数法（转化为定积分） dtttRttzd)(),( )(),( （2）利用斯托克斯公式（转化第二类曲面积分）条件：L 封闭，分段光滑，有向P，Q，R 具有一阶连续偏导数P240-例 1高等数学（一）教案 期末总复习- 7 -变力沿曲线所做的功 结论： dxypQdzxRPdyzQRPdxL )()()( 应用： 不不第
13、一类曲面积分 dvzyxfI),(曲面薄片的质量质量=面密度面积投影法： 投影到 面),(yxzxoydxyzzfdvfIxyD 21),(类似的还有投影到 面和 面的公式P217-例 1、例2（1）投影法 1 dyzpPdzyzD),(： ， 为 的法向量与 轴的夹角),(xx前侧取“+” ， ；后侧取“ ”，cos0cos0 2 dzxpQdzyzD),(,： ， 为 的法向量与 轴的夹角),(y右侧取“+” ， ；左侧取“ ”，cos0cos0 3 dxzdxyzD),(： ， 为 的法向量与 轴的夹角),(上侧取“+” ， ；下侧取 “ ”，cos0cos0P226-例 2（2）高斯公
14、式 右手法则取定 的侧条件： 封闭，分片光滑，是所围空间闭区域 的外侧P，Q，R 具有一阶连续偏导数结论： )(zRyQxPRdxyzPdy应用： 不不P231-例 1、例2第二类曲面积分 IPdyzxRy流体流向曲面一侧的流量（3）两类曲面积分之间的联系 (coscos)PdyzQxRdyPRdS转换投影法： )(zzxdxyP228-例 3所有类型的积分：定义：四步法分割、代替、求和、取极限； 1性质：对积分的范围具有可加性，具有线性性； 2对坐标的积分，积分区域对称与被积函数的奇偶性。 3高等数学（一）教案 期末总复习- 8 -第十二章 级数无穷级数常数项级数傅立叶级数幂级数一般项级数正
15、项级数用收敛定义， 存nslim在常数项级数的基本性质常数项级数的基本性质若级数收敛,各项同乘同一常数仍收敛 1两个收敛级数的和差仍收敛2注：一敛、一散之和必发散；两散和、差必发散.去掉、加上或改变级数有限项 不改变其收敛性 3若级数收敛 则对这级数的项任意加括号后所成 4的级数仍收敛，且其和不变。 推论 如果加括号后所成的级数发散 则原来级数也发散 注：收敛级数去括号后未必收敛.（必要条件） 如果级数收敛 则 50limnu莱布尼茨判别法 若 且 ，则 收敛1nu0limn11)(nn则级数收敛.和 都是正项级数，且 .若 收敛，则nvvu也收敛；若 发散，则 也发散.nn比较判别法比较判别
16、法的极限形式和 都是正项级数，且 ，则 若nulli 1, 与 同敛或同散; 若 , 收l0nv 20nv敛, 也收敛； 如果 ， 发散， 也发散。n 3lnu比值判别法根值判别法是正项级数， , ,则 时unu1imli1收敛； ( )时发散； 时可能收敛也可能发散.收敛性和函数展成幂级数, ,nxa0n1lim,0;,0;,.RR缺项级数用比值审敛法求收敛半径的性质 在收敛域 上连续; 在收敛域 内可导，且可逐项求导 ;)(s1I 2),(和函数 在收敛域 上可积分，且可逐项积分.( 不变,收敛域可能变化 ).3x直接展开:泰勒级数 间接展开:六个常用展开式1()nx1 ()!xnex2Tl10 )sico(2)(nnbaf dxfa)(0收敛定理 xdfan)nxfsi)(是连续点,收敛于 ; 是间断点,收敛于x(f )()(21xff周期延拓 为奇函数，正弦级数，奇延拓； 为偶函数，余弦级数、偶延拓.)(f )(xf交错级数
