1、一元二次方程经典题型汇总一、一元二次方程的概念 1、一元二次方程：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的整式方程叫做一元二次方程。2、一元二次方程的一般形式： ，它的特征是：等式左边十一个关于未知数 x 的)0(2acbxa二次多项式，等式右边是零，其中 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。一填空题：1关于 x 的方程 mx -3x= x -mx+2 是一元二次方程,则 m_222方程 4x(x-1)=2(x+2)+8 化成一般形式是_, 二次项系数是_,一次项系数是_,常数项是_.3关于 x 的一元二次方程(m+3) x +4x+ m
2、 - 9=0 有一个解为 0 , 则 m=_.224、.若一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)有一个根为-1,则 a、b、c 的关系是_5、当 时，方程 不是一元二次方程，当 时，上述方程是一元二m0512xm次方程。二选择题：6在下列各式中 x +3=x; 2 x - 3x=2x(x- 1) 1 ; 3 x - 4x 5 ; x =- +22 221是一元二次方程的共有( ) A 0 个 B 1 个 C 2 个 D 3 个7、下列方程中，一元二次方程是（ ）（A） （B ） （C） （D） 21xbxa22x 0532yx8一元二次方程的一般形式是( )A x +bx+c=0 B a
3、x +c=0 (a0 ) C a x +bx+c=0 D a x +bx+c=0 2 2 2 2(a 0)9方程 6 x - 5=0 的一次项系数是 ( ) A 6 B 5 C -5 D 010、关于 的一元二次方程 的一个根是 0，则 值为（ ）2211A、 B、 C、 或 D、112三、.将下列方程化为一般形式,并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项x(3x + 2)=6(3x + 2)(3 t) + t =92二、一元二次方程的解法 1、直接开平方法:利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形
4、如 的一元二次方程。根据平方根的定义可知， 是 b 的平方根，当 时，bax2)( ax0b， ，当 b0 时，一元二次方程有 2 个不相等的实数根；II 当=0 时，一元二次方程有 2 个相同的实数根；III 当-1 Cml Dm-13、一元二次方程 x2x20 的根的情况是（ ）A有两个不相等的正根 B有两个不相等的负根 C没有实数根 D有两个相等的实数根4、已知函数 的图象如图（7）所示，那么关于 的方程2yabcx的根的情况是（ ）20axbcA无实数根 B有两个相等实数根C有两个异号实数根 D有两个同号不等实数根5、下列关于 x 的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ）（
5、A）x 240 （B）4x 24x10 （C）x 2x30 （D）x 22x106、下列方程中有实数根的是（ ）（A）x 22x30 （B）x 210 （C）x 23x10 （D） x7、已知关于 x 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围是( )mA m1 B m2 Cm 0 Dm0图（7）xy38、如果 2 是一元二次方程 x2c 的一个根，那么常数 c 是（ ） 。A、2 B、2 C、4 D、4二、填空题1、方程 的解为 。2x2、阅读材料：设一元二次方程 的两根为 ， ，则两根与方程系数之间有如下关系：20axbc1x2， 12bxa12cxA根据该材料填空：已知 ，
6、 是方程 的两实数根，则 的值为_2630x21x3、关于 x 的一元二次方程 x2bxc0 的两个实数根分别为 1 和 2，则 b_；c_ 4、方程 的解是 25、已知方程 有两个相等的实数根，则3kk6、方程 x2+2x=0 的解为 9、已知 x 是一元二次方程 x23x10 的实数根，那么代数式 的值为235()62xx10、已知 是关于 的方程 的一个根，则 _120axa11、若关于 的一元二次方程 没有实数根，则 的取值范围是 2kk12、写出一个两实数根符号相反的一元二次方程：_。13、已知 是一元二次方程 的一个根，则方程的另一个根是 2524xc四、一元二次方程根与系数的关系
7、 如果方程 的两个实数根是 ，那么 ， 。也就是说，对于)0(2acbxa 21x， abx21cx21任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。五、一元二次方程应用题学习了一元二次方程的解法以后，就会经常遇到解决与一元二次方程有关的生活中的应用问题，即列一元二次方程解应用题，不少同学遇到这类问题总是左右为难，难以下笔，事实上，同学们只要能认真地阅读题目，分析题意，并能学会分解题目，各个击破，从而找到已知的条件和未知问题，必要时可以通过画图、列表等方法来帮助我们理顺已知与未知之间的关系，找到一个或几个相
8、等的式子，从而列出方程求解，同时还要及时地检验答案的正确性并作答.现就列一元二次方程解应用题中遇到的常见的十大典型题目，举例说明.1、增长率问题恒利商厦九月份的销售额为 200 万元，十月份的销售额下降了 20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了 193.6 万元，求这两个月的平均增长率 .2、商品定价益群精品店以每件 21 元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品售价 a 元，则可卖出（35010a）件，但物价局限定每件商品的利润不得超过 20%，商店计划要盈利 400 元，需要进货多少件？每件商品应定价多少？3、储蓄问题王红梅同学将
9、1000 元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”，到期后将本金和利息取出，并将其中的500 元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%，这样到期后，可得本金和利息共 530 元，求第一次存款时的年利率.（假设不计利息税）4、趣味问题一个醉汉拿着一根竹竿进城，横着怎么也拿不进去，量竹竿长比城门宽 4 米，旁边一个醉汉嘲笑他，你没看城门高吗，竖着拿就可以进去啦，结果竖着比城门高 2 米，二人没办法，只好请教聪明人，聪明人教他们二人沿着门的对角斜着拿，二人一试，不多不少刚好进城，你知道竹竿有多长吗？5、古诗问题读诗词解题：（通过列方程式，
10、算出周瑜去世时的年龄）.大江东去浪淘尽，千古风流数人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿符；哪位学子算得快，多少年华属周瑜？6、象棋比赛象棋比赛中，每个选手都与其他选手恰好比赛一局，每局赢者记 2 分，输者记 0 分. 如果平局，两个选手各记 1分，领司有四个同学统计了中全部选 手的得分总数，分别是 1979，1980，1984 ，1985. 经核实，有一位同学统计无误.试计算这次比赛共有多少个选手参加.7、情景对话春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游，推出了如图 1 对话中收费标准.某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用 27000 元
11、. 请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游？8、等积变形将一块长 18 米，宽 15 米的矩形荒地修建成一个花园（阴影部分）所占的面积为原来荒地面积的三分之二. （精确到 0.1m）（1）设计方案 1（如图 2）花园中修两条互相垂直且宽度相等的小路.（2）设计方案 2（如图 3）花园中每个角的扇形都相同.以上两种方案是否都能符合条件?若能，请计算出图 2 中的小路的宽和图 3 中扇形的半径；若不能符合条件，请说明理由.图 1如果人数超过 25 人，每增加 1人，人均旅游费用降低 20 元，但人均旅游费用不得低于 700 元.如果人数不超过 25 人，人均旅游费用为 1000 元.图 2Q
12、P CBA图 图 39、动态几何问题如图 4 所示，在ABC 中，C90，AC6cm，BC8cm，点 P 从点 A 出发沿边 AC 向点 C 以 1cm/s 的速度移动，点 Q 从 C 点出发沿 CB 边向点 B 以 2cm/s 的速度移动.（1）如果 P、Q 同时出发，几秒钟后，可使PCQ 的面积为 8 平方厘米？（2）点 P、Q 在移动过程中，是否存在某一时刻，使得PCQ 的面积等于ABC 的面积的一半.若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由.10、梯子问题一个长为 10m 的梯子斜靠在墙上，梯子的底端距墙角 6m.（1）若梯子的顶端下滑 1m，求梯子的底端水平滑动多少米？（2）若梯子
13、的底端水平向外滑动 1m，梯子的顶端滑动多少米？（3）如果梯子顶端向下滑动的距离等于底端向外滑动的距离，那么滑动的距离是多少米？11、航海问题如图 5 所示，我海军基地位于 A 处，在其正南方向 200 海里处有一重要目标 B，在B 的正东方向 200 海里处有一重要目标 C，小岛 D 恰好位于 AC 的中点，岛上有一补给码头；小岛 F 位于 BC 上且恰好处于小岛 D 的正南方向，一艘军舰从 A 出发，经B 到 C 匀速巡航一艘补给船同时从 D 出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送往军舰FEDCBA图 5（1）小岛 D 和小岛 F 相距多少海里？（2）已知军舰的速度是补给船的 2
14、倍，军舰在由 B 到 C 的途中与补给船相遇于 E 处，那么相遇时补给船航行了多少海里？（精确到 0.1 海里）12、图表信息如图 6 所示，正方形 ABCD 的边长为 12，划分成 1212 个小正方形格，将边长为 n（n 为整数，且 2n11）的黑白两色正方形纸片按图中的方式，黑白相间地摆放，第一张 nn 的纸片正好盖住正方形 ABCD 左上角的nn 个小正方形格，第二张纸片盖住第一张纸片的部分恰好为(n1)(n1) 个小正方形. 如此摆放下去，直到纸片盖住正方形 ABCD 的右下角为止.请你认真观察思考后回答下列问题：（1） 由于正方形纸片边长 n 的取值不同，（2） 完成摆放时所使用正
15、方形纸片的张数也不同，请填写下表：纸片的边长 n 2 3 4 5 6使用的纸片张数（2）设正方形 ABCD 被纸片盖住的面积（重合部分只计一次）为 S1，未被盖住的面积为 S2.当 n2 时，求 S1S 2 的值；是否存在使得 S1S 2 的 n 值？若存在，请求出来；若不存在，请说明理由 .13、探索存在性问题将一条长为 20cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形.（1）要使这两个正方形的面积之和等于 17cm2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少?（2）两个正方形的面积之和可能等于 12cm2 吗? 若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由.图 614、平分
16、几何图形的周长与面积问题如图 7，在等腰梯形 ABCD 中，ABDC5，AD4，BC10.点 E在下底边 BC 上，点 F 在腰 AB 上.（1）若 EF 平分等腰梯形 ABCD 的周长，设 BE 长为 x，试用含 x 的代数式表示BEF 的面积；（2）是否存在线段 EF 将等腰梯形 ABCD 的周长和面积同时平分？若存在，求出此时 BE 的长；若不存在，请说明理由；（3）是否存在线段 EF 将等腰梯形 ABCD 的周长和面积同时分成 12 的两部分？若存在，求此时 BE 的长；若不存在，请说明理由.15、利用图形探索规律如图，每个正方形有边长为 1 的小正方形组成：（1）观察图形，请填写下列
17、表格：正方形边长 1 3 5 7 n（奇数）黑色小正方形个数 正方形边长 2 4 6 8 n（偶数）FEDCBA图 7KG黑色小正方形个数 （2）在边长为 n（n1）的正方形中，设黑色小正方形的个数为 P1，白色小正方形的个数为 P2，问是否存在偶数 n，使 P25 P1？若存在，请写出 n 的值；若不存在，请说明理由.应用题答案 1 解 设这两个月的平均增长率是 x.，则根据题意，得 200(120%)(1+x) 2193.6，即(1+x) 21.21，解这个方程，得x10.1， x22.1 （舍去）.答 这两个月的平均增长率是 10%. 说明 这是一道正增长率问题，对于正的增长率问题，在弄
18、清楚增长的次数和问题中每一个数据的意义，即可利用公式 m(1+x)2n 求解，其中 mn.对于负的增长率问题，若经过两次相等下降后，则有公式 m(1 x)2n 即可求解，其中 mn.2 解 根据题意，得(a21)(35010 a)400，整理，得 a256a+7750，解这个方程，得 a125，a 231.因为 21(1+20%)25.2，所以 a2=31 不合题意，舍去 .所以 35010 a3501025 100（件）.答 需要进货 100 件，每件商品应定价 25 元.说明 商品的定价问题是商品交易中的重要问题，也是各种考试的热点.3 解 设第一次存款时的年利率为 x. 则根据题意，得(
19、1+0.9x)530. 整理，得 90x2+145x30. 解这个方程，得x10.02042.04%，x 21.63.由于存款利率不能为负数，所以将 x21.63 舍去.答 第一次存款的年利率约是 2.04%.说明 这里是按教育储蓄求解的，应注意不计利息税.4 解 设渠道的深度为 xm，那么渠底宽为(x+0.1)m，上口宽为(x +0.1+1.4)m.则根据题意，得 (x+0.1+x+1.4+0.1)x1.8，整理，得12x2+0.8x 1.80.解这个方程，得 x11.8（舍去），x 21. 所以 x+1.4+0.11+1.4+0.1 2.5. 答 渠道的上口宽 2.5m，渠深 1m.说明
20、求解本题开始时好象无从下笔，但只要能仔细地阅读和口味，就能从中找到等量关系，列出方程求解.5 解 设周瑜逝世时的年龄的个位数字为 x，则十位数字为 x3.则根据题意，得 x210( x3)+x，即 x2-11x+300 ，解这个方程，得x5 或 x6.当 x5 时，周瑜的年龄 25 岁，非而立之年，不合题意，舍去；当 x6 时，周瑜年龄为 36 岁，完全符合题意.答 周瑜去世的年龄为 36 岁. 说明 本题虽然是一道古诗问题，但它涉及到数字和年龄问题，通过求解同学们应从中认真口味.6 解 设共有 n 个选手参加比赛，每个选手都要与(n 1)个选手比赛一局，共计 n(n1)局，但两个选手的对局从
21、每个选手的角度各自统计了一次，因此实际比赛总局数应为 n(n1)局.由于每局共计 2 分，所以全部选手得分总共为 n(n1) 分.显然(n 1)与 n 为相邻的自然12数，容易验证，相邻两自然数乘积的末位数字只能是 0，2，6，故总分不可能是 1979，1984，1985 ，因此总分只能是 1980，于是由n(n1)1980 ，得 n2n19800，解得 n145，n 244（舍去）.答 参加比赛的选手共有 45 人.说明 类似于本题中的象棋比赛的其它体育比赛或互赠贺年片等问题，都可以仿照些方法求解7 解 设该单位这次共有 x 名员工去天水湾风景区旅游.因为 1000252500027000，
22、所以员工人数一定超过 25 人.则根据题意，得 x27000.整理，得 x275x+1350 0 ，解这个方程，得 x145 ，x 230.当 x45 时，100020(x25)600700，故舍去 x1；当 x230 时，100020(x25) 900 700，符合题意.答：该单位这次共有 30 名员工去天水湾风景区旅游 .说明 求解本题要时刻注意对话框中的数量关系，求得的解还要注意分类讨论，从中找出符合题意的结论.8 解 都能. （1 ）设小路宽为 x，则 18x+16xx 2 1815，即 x234x+1800，解这个方程，得 x ，即 x6.6.3 3462（2）设扇形半径为 r，则
23、3.14r2 1815，即 r257.32，所以 r7.6.说明 等积变形一般都是涉及的是常见图形的体积，面积公式；其原则是形变积不变；或形变积也变，但重量不变，等等.9 解 因为C 90，所以 AB 10（cm）. （1）设 xs 后，可使PCQ 的面积为 8cm2，所以 2ACB268APxcm，PC(6x)cm，CQ2 xcm.则根据题意，得 (6x)2x8.整理，得 x26x+80，解这个方程，得 x12，x 24.1所以 P、Q 同时出发，2s 或 4s 后可使PCQ 的面积为 8cm2.（2 ）设点 P 出发 x 秒后，PCQ 的面积等于ABC 面积的一半.则根据题意，得 (6x)
24、2x 68.整理，得 x26x+120.由于此方程没有实数根，所以不存在使PCQ 的面积等于 ABC 面积一1212半的时刻.说明 本题虽然是一道动态型应用题，但它又要运用到行程的知识，求解时必须依据路程速度时间.10 解 依题意，梯子的顶端距墙角 8 （m）.（1）若梯子顶端下滑 1m，则顶端距地面 7m.设梯子底端滑动 xm.2106则根据勾股定理，列方程 72+(6+x)210 2，整理，得 x2+12x150，解这个方程，得 x11.14 ，x 213.14（舍去），所以梯子顶端下滑 1m，底端水平滑动约 1.14m.（2）当梯子底端水平向外滑动 1m 时，设梯子顶端向下滑动 xm.则
25、根据勾股定理，列方程(8x) 2+(6+1)2100.整理，得 x216x+130.解这个方程，得 x10.86 ，x 215.14（舍去）. 所以若梯子底端水平向外滑动 1m，则顶端下滑约 0.86m.（3）设梯子顶端向下滑动 xm 时，底端向外也滑动 xm.则根据勾股定理，列方程 (8x) 2+(6+x)210 2，整理，得 2x24x0，解这个方程，得 x10（舍去）， x22. 所以梯子顶端向下滑动 2m 时，底端向外也滑动 2m.说明 求解时应注意无论梯子沿墙如何上下滑动，梯子始终与墙上、地面构成直角三角形.11 解（1 ）F 位于 D 的正南方向，则 DFBC.因为 ABBC，D
26、为 AC 的中点，所以 DF AB100 海里，所以，小岛 D 与小岛 F 相距12100 海里.（2）设相遇时补给船航行了 x 海里，那么 DEx 海里，AB +BE2x 海里，EFAB +BC( AB+BE)CF(300 2x) 海里.在 RtDEF 中，根据勾股定理可得方程 x2100 2+(3002 x)2，整理，得 3x21200x+1000000.解这个方程，得x1200 118.4，x 2200+ （不合题意，舍去）.所以，相遇时补给船大约航行了 118.4 海里.0631063说明 求解本题时，一定要认真地分析题意，及时发现题目中的等量关系，并能从图形中寻找直角三角形，以便正确
27、运用勾股定理布列一元二次方程.12 解（1 ）依题意可依次填表为：11 、10、9、8、7.（2）S 1n 2+(12n )n 2+25n12.当 n2 时，S12 2+2521234 ，S 2121234 110. 所以 S1S 234 110 1755.若 S1S 2，则有n 2+25n12 122，即1n225n+840 ，解这个方程，得 n14，n 221 （舍去）. 所以当 n4 时，S 1S 2.所以这样的 n 值是存在的.说明 求解本题时要通过阅读题设条件及提供的图表，及时挖掘其中的隐含条件，对于求解第（3）小题，可以先假定问题的存在，进而构造一元二次方程，看得到的一元二次方程是
28、否有实数根来加以判断.13 解（1 ）设剪成两段后其中一段为 xcm，则另一段为（20 x）cm.则根据题意，得 + 17，解得 x116 ，x 2 4，24x20当 x16 时，20x4，当 x4 时，20x16，答 这段铁丝剪成两段后的长度分别是 4cm 和 16cm.（2）不能. 理由是：不妨设剪成两段后其中一段为 ycm，则另一段为（20y ）cm.则由题意得 + 12，整理，得24y20y220y+1040，移项并配方，得( y10) 240，所以此方程无解，即不能剪成两段使得面积和为 12cm2.说明 本题的第（2）小问也可以运用求根公式中的 b24ac 来判定.若 b24ac0，
29、方程有两个实数根，若 b24ac0，方程没有实数根，本题中的 b24ac160 即无解.14 解（1 ）由已知条件得，梯形周长为 12，高 4，面积为 28.过点 F 作 FGBC 于 G，过点 A 作 AKBC 于 K.则可得，FG 4，所以 SBEF BEFG x2+ x（7x10）.125x1254（2）存在. 由（1）得 x2+ x14，解这个方程，得 x17，x 25（不合题意，舍去），4所以存在线段 EF 将等腰梯形 ABCD 的周长与面积同时平分，此时 BE7.（3）不存在. 假设存在，显然有 SBEFS 多边形 AFECD 12，即(BE+BF)(AF+AD+DC )12.则有
30、 x2+ x ，5683整理，得 3x224x+700，此时的求根公式中的 b24ac5768400，所以不存在这样的实数 x.即不存在线段 EF 将等腰梯形 ABCD 的周长和面积同时分成 12 的两部分.说明 求解本题时应注意：一是要能正确确定 x 的取值范围；二是在求得 x25 时，并不属于 7x10，应及时地舍去；三是处理第（3）个问题时的实质是利用一元二次方程来探索问题的存在性.15 解（1 ）观察分析图案可知正方形的边长为 1、3、5、7、n 时，黑色正方形的个数为 1、5、9、13、2 n1（奇数）；正方形的边长为 2、4、6 、8、n 时，黑色正方形的个数为 4、8、 12、1
31、6、2n （偶数）.（2）由（1 ）可知 n 为偶数时 P12n，所以 P2n 22n .根据题意，得 n22 n52n，即 n212 n0，解得 n112，n 20（不合题意，舍去）.所以存在偶数 n12 ，使得 P25P 1.说明 本题的第（2）小问是属于存在性问题，求解时，可以先假设结论存在，进而从中找到数量关系，使问题获解.综上所言，列一元二次方程解应用题是列一元一次方程、二元一次方程组解应用题的延续和发展，列方程解应用题就是先把实际问题抽象为方程模型，然后通过解方程获得对实际问题的解决.列一元二次方程解应用题的关键是：找出未知量与已知量之间的联系，从而将实际问题转化为方程模型，要善于将普通语言转化为代数式，在审题时，要特别注意关键词语，如“多少、快、慢、和、差、倍、分、超过、剩余、增加、减少”等等，此外，还要掌握一些常用的公式或特殊的等量关系，如特殊图形的面积公式、行程问题、工程问题、增长率问题中的一些特殊关系等等.
