1、埃伦费斯特定理编辑量子力学里，埃伦费斯特定理（Ehrenfest theorem）表明，量子算符的期望值对于时间的导数，跟这量子算符与哈密顿算符的对易算符，两者之间的关系，以方程表达为 1；其中， 是某个量子算符， 是它的期望值， 是哈密顿算符， 是时间， 是约化普朗克常数。埃伦费斯特定理是因物理学家 保罗埃伦费斯特命名。在量子力学的海森堡绘景里，埃伦费斯特定理非常显而易见；取海森堡方程的期望值，就可以得到埃伦费斯特定理。埃伦费斯特定理与哈密顿力学的刘维尔定理密切相关；刘维尔定理使用的泊松括号，对应于埃伦费斯特定理的对易算符。实际上，从根据经验法则，将对易算符换为泊松括号乘以 ，再取 趋向于
2、0 的极限，含有对易算符的量子定理就可以改变为含有泊松括号的经典定理。导引编辑假设，一个物理系统的量子态为 ，则算符 的期望值对于时间的导数为薛定谔方程表明哈密顿算符 与时间 的关系为。其共轭复数为。因为哈密顿算符是厄米算符， 。所以，。将这三个方程代入 的方程，则可得到。所以，埃伦费斯特定理成立：。实例编辑使用埃伦费斯特定理，可以简易地证明，假若一个物理系统的哈密顿量显性地不含时间，则这系统是保守系统。从埃伦费斯特定理，可以计算任何算符的期望值对于时间的导数。特别而言，速度的期望值和加速度的期望值。知道这些资料，就可以分析量子系统的运动行为。保守的哈密顿量编辑思考哈密顿算符 ：。假若，哈密顿
3、量显性地不含时间， ，则，哈密顿量是个常数 。位置的期望值对于时间的导数编辑试想一个质量为 的粒子，移动于一维空间其哈密顿量 是;其中， 为位置， 是动量， 是位势。应用埃伦费斯特定理，。由于 ，位置的期望值对于时间的导数等于速度的期望值：。这样，可以得到动量 的期望值。动量的期望值对于时间的导数编辑应用埃伦费斯特定理，。由于 与自己互相交换，所以， 。又在坐标空间里，动量算符 不含时间： 。所以，。将泊松括号展开，。使用乘法定则，。在量子力学里，动量的期望值对于时间的导数，等于作用力 的期望值。经典极限编辑取经典极限 2， ，则可得到一组完全的量子运动方程：，。这组量子运动方程，精确地对应于经典力学的运动方程：，。取“经典极限” ，量子力学的定律约化为经典力学的定律。这结果也时常被称为 埃伦费斯特定理。这经典极限是什么呢？标记 为 。设定 。泰勒展开 于 ：。由于 ， ，。这近似方程右手边的第二项目就是误差项目。只要这误差项目是可忽略的，就可以取经典极限。而这误差项目的大小跟以下两个因素有关：一个是量子态对于位置的不可确定性。另一个则是位势随着位置而变化的快缓。
