1、第 1 页 共 10 页知识网络1 绝对值型不等式典例精析题型一 解绝对值不等式 【例 1】设函数 f(x)|x 1|x2|.(1)解不等式 f(x)3；(2)若 f(x)a 对 xR 恒成立，求实数 a 的取值范围.【解析】(1)因为 f(x)|x 1| |x2| .23,-1,x所以当 x1 时，32x 3，解得 x0；当 1x2 时，f( x)3 无解；当 x2 时，2x33，解得 x3.所以不等式 f(x)3 的解集为(，0) (3，).(2)因为 f(x) 所以 f(x)min1.2,-1,因为 f(x)a 恒成立，所以 a1，即实数 a 的取值范围是(，1).【变式训练 1】设函数
2、 f(x) .|x 1| |x 2| a(1)当 a5 时，求函数 f(x)的定义域；(2)若函数 f(x)的定义域为 R，试求 a 的取值范围.【解析】(1)由题设知| x1| |x2| 50，如图，在同一坐标系中 作出函数 y| x 1|x 2|和 y 5 的图象，知定义域为(，23 ，).(2)由题设知，当 xR 时，恒有|x1| x2|a0，即| x1|x2|a，又由(1)知|x 1| |x2| 3，所以a3，即 a3.题型二 解绝对值三角不等式【例 2】已知函数 f(x)|x 1|x2| ，若不等式|ab| ab|a| f(x)对 a0，a、bR 恒成立，求实数x 的范围.【解析】由
3、|a b|ab| a|f(x)且 a0 得 f(x).|a b| |a b|a|第 2 页 共 10 页又因为 2，则有 2f(x).|a b| |a b|a| |a b a b|a|解不等式|x1| x2|2 得 x .12 52【变式训练 2】(2010 深圳)若不等式| x1|x 3|a 对任意的实数 x 恒成立，则实数 a 的取值范围4a是 .【解析】( ， 0)2.题型三 利用绝对值不等式求参数范围【例 3】(2009 辽宁)设函数 f(x)|x 1|x a|.(1)若 a1，解不等式 f(x)3；(2)如果xR，f(x)2，求 a 的取值范围.【解析】(1)当 a1 时，f (x)
4、|x1| |x1|.由 f(x)3 得|x1| x1| 3 ，当 x1 时，不等式化为 1x1x 3，即2x3，不等式组 的解集为(， ；), f32当1x1 时，不等式化为 1xx 13，不可能成立，不等式组 的解集为；3)(1,xf当 x1 时，不等式化为 x1x 13，即 2x3，不等式组 的解集为 ，).3)(,f32综上得 f(x)3 的解集为(， ，).32 32(2)若 a1，f(x)2|x 1| 不满足题设条件 .若 a1，f(x) 1,)(-2,xaf(x)的最小值为 1a.由题意有 1a2，即 a1.若 a1，f(x) ,)(-2,xf(x)的最小值为 a1，由题意有 a1
5、2，故 a3.综上可知 a 的取值范围为( ，1 3，).【变式训练 3】关于实数 x 的不等式| x (a1) 2| (a1) 2 与 x23(a1) x2(3a1)0 (aR) 的解集12 12分别为 A，B .求使 AB 的 a 的取值范围.【解析】由不等式|x (a1) 2| (a1) 2 (a1) 2x (a1) 2 (a1) 2，12 12 12 12 12解得 2axa 21，于是 Ax|2ax a 21.由不等式 x23(a1)x 2(3 a1)0(x2)x(3 a1)0，当 3a12，即 a 时，Bx|2x3a1，13第 3 页 共 10 页因为 AB ，所以必有 解得 1a
6、3；,31,2a当 3a12，即 a 时，Bx|3a1x2，13因为 AB ，所以 解得 a1.2,综上使 AB 的 a 的取值范围是 a1 或 1a3.总结提高1.“绝对值三角不等式”的理解及记忆要结合三角形的形状，运用时注意等号成立的条件.2.绝对值不等式的解法中， a 的解集是(a，a) ； a 的解集是(，a)(a，)，它可以推|x| |x|广到复合型绝对值不等式 c， c 的解法，还可以推广到右边含未知数 x 的不等式，如|ax b| |ax b| x1 1x 3x1x1.|3x 1|3.含有两个绝对值符号的不等式，如 c 和 c 型不等式的解法有三种，几何|x a| |x b| |
7、x a| |x b|解法和代数解法以及构造函数的解法，其中代数解法主要是分类讨论的思想方法，这也是函数解法的基础，这两种解法都适宜于 x 前面系数不为 1 类型的上述不等式，使用范围更广.2 不等式的证明(一)典例精析题型一 用综合法证明不等式【例 1】 若 a，b，c 为不全相等的正数，求证：lg lg lg lg alg blg c.a b2 b c2 a c2【证明】 由 a，b，c 为正数，得lg lg ；lg lg ；lg lg .a b2 ab b c2 bc a c2 ac而 a，b，c 不全相等，所以 lg lg lg lg lg lg lg lg(abc )lg alg bl
8、g c.a b2 b c2 a c2 ab bc ac a2b2c2即 lg lg lg lg alg blg c.a b2 b c2 a c2【点拨】 本题采用了综合法证明，其中基本不等式是证明不等式的一个重要依据(是一个定理) ，在证明不等式时要注意结合运用.而在不等式的证明过程中，还要特别注意等号成立的条件是否满足.【变式训练 1】已知 a，b，c，d 都是实数，且 a2b 21，c 2d 21.求证：|acbd|1.【证明】因为 a，b，c，d 都是实数，所以|acbd| | ac| bd| .a2 c22 b2 d22 a2 b2 c2 d22又因为 a2b 21，c 2d 21，所
9、以| acbd|1.题型二 用作差法证明不等式 【例 2】 设 a，b，c 为ABC 的三边，求证：a 2b 2c 22(abbcca ).【证明】a 2b 2c 22( abbcca)(ab) 2(bc) 2( ca) 2a 2b 2c 2(ab) 2c 2(bc )2a 2( ca) 2b 2.而在ABC 中， c ，所以( ab) 2c 2，即(ab) 2c 20.|b a|同理(ac) 2b 20，(bc )2a 20，所以 a2b 2c 22(abbcca)0.第 4 页 共 10 页故 a2b 2c 22( abbcca).【点拨】 不等式的证明中，比较法特别是作差比较法是最基本的
10、证明方法，而在牵涉到三角形的三边时，要注意运用三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.【变式训练 2】设 a，b 为实数，0n1,0m 1，m n1，求证： (ab) 2.a2m b2n【证明】因为 (ab )2 a2m b2n na2 mb2mn nm(a2 2ab b2)mnna2(1 m) mb2(1 n) 2mnabmn 0，n2a2 m2b2 2mnabmn (na mb)2mn所以不等式 (ab) 2 成立.a2m b2n题型三 用分析法证明不等式 【例 3】已知 a、b、cR ，且 abc1.求证：(1a)(1 b)(1c )8(1a)(1 b)(1c)
11、.【证明】因为 a、b、cR ，且 abc1，所以要证原不等式成立，即证(abc)a(abc)b(abc)c8(abc)a(abc)b(abc)c，也就是证(ab)(ca)(ab) (bc)( ca)( bc) 8(bc)(ca)( ab).因为(ab) (bc)2 0，(a b)(b c)(bc)(ca)2 0，(b c)(c a)(ca)(ab)2 0，(c a)(a b)三式相乘得式成立，故原不等式得证.【点拨】 本题采用的是分析法.从待证不等式出发，分析并寻求使这个不等式成立的充分条件的方法叫分析法，概括为“执果索因”.分析法也可以作为寻找证题思路的方法，分析后再用综合法书写证题过程.
12、【变式训练 3】设函数 f(x)xa(x1)ln(x 1)( x1，a0).(1)求 f(x)的单调区间；(2)求证：当 mn0 时，(1m) n(1n) m.【解析】(1)f(x)1aln(x 1)a，a0 时，f(x )0，所以 f(x)在(1，) 上是增函数；当 a0 时，f(x )在(1， 1 上单调递增，在 1，)单调递减.-ea-e(2)证明：要证(1m) n(1n) m，只需证 nln(1m) m ln(1n)，只需证 .ln(1 m)m ln(1 n)n设 g(x) (x0) ，则 g(x) .ln(1 x)x x1 x ln(1 x)x2 x (1 x)ln(1 x)x2(1
13、 x)由(1)知 x(1x)ln(1x )在(0，) 单调递减，所以 x(1 x)ln(1 x )0，即 g(x)是减函数，而 mn，所以 g(m)g( n)，故原不等式成立 .总结提高1.一般在证明不等式的题目中，首先考虑用比较法，它是最基本的不等式的证明方法.比较法一般有“作差比较法”和“作商比较法” ，用得较多的是“作差比较法” ，其中在变形过程中往往要用到配方、因式分解、通分等计算方法.2.用综合法证明不等式的过程中，所用到的依据一般是定义、公理、定理、性质等，如基本不等式、绝第 5 页 共 10 页对值三角不等式等.3.用分析法证明不等式的关键是对原不等式的等价转换，它是从要证明的结
14、论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等) ，从而得出要证的命题成立.4.所谓“综合法” 、 “分析法”其实是证明题的两种书写格式，而不是真正意义上的证明方法，并不像前面所用的比较法及后面要复习到的三角代换法、放缩法、判别式法、反证法等是一种具体的证明方法(或者手段) ，而只是两种互逆的证明题的书写格式.3 不等式的证明(二)典例精析题型一 用放缩法、反证法证明不等式 【例 1】已知 a，bR，且 ab1，求证：( a2) 2( b2) 2 .252【证明】 方法一：(放缩法)因为 ab1，所以左边(a2) 2( b2)
15、22 2 (ab)4 2 右边.(a 2) (b 2)2 12 252方法二：(反证法)假设(a2) 2(b2) 2 ，则 a2b 24(ab)8 .252 252由 ab1，得 b1a，于是有 a2(1a) 212 .252所以(a )20，这与( a )20 矛盾.12 12故假设不成立，所以(a2) 2(b2) 2 .252【点拨】 根据不等式左边是平方和及 ab1 这个特点，选用重要不等式 a2 b22( )2 来证明比较好，它可以将具备 a2b 2 形式的式子缩小 .a b2而反证法的思路关键是先假设命题不成立，结合条件 ab1，得到关于 a 的不等式，最后与数的平方非负的性质矛盾，
16、从而证明了原不等式.当然本题也可以用分析法和作差比较法来证明.【变式训练 1】设 a0，a 1，a 2，a n1 ，a n满足 a0a n0，且有a02a 1a 20，a12a 2a 30，an2 2a n1 a n0，求证：a 1，a 2，a n1 0.【证明】由题设 a02a 1a 20 得 a2a 1a 1a 0.同理，a na n1 a n1 a n2 a 2a 1a 1a 0.假设 a1，a 2，a n1 中存在大于 0 的数，假设 ar是 a1，a 2，a n1 中第一个出现的正数. 即a10，a 20，a r1 0，a r0，则有 ara r1 0，于是有 ana n1 a n1
17、 a n2 a ra r1 0.并由此得 ana n1 a n2 a r0.这与题设 an0 矛盾.由此证得 a1，a 2，a n1 0 成立.题型二 用数学归纳法证明不等式第 6 页 共 10 页【例 2】用放缩法、数学归纳法证明：设 an ，nN *，求证： a n .12 23 n(n 1)n(n 1)2 (n 1)22【证明】 方法一：(放缩法) ，即 n .n2 n(n 1)n (n 1)2 n(n 1) 2n 12所以 12na n 1 3(2 n1).12所以 a n ，n(n 1)2 12 (n 1)(1 2n 1)2即 a n .n(n 1)2 (n 1)22方法二：(数学归
18、纳法)当 n1 时，a 1 ，而 1 2，所以原不等式成立.2 2假设 nk (k1)时，不等式成立，即 a k .k(k 1)2 (k 1)22则当 nk1 时，a k1 ，12 23 k(k 1) (k 1)(k 2)所以 ak1 .k(k 1)2 (k 1)(k 2) (k 1)22 (k 1)(k 2)而 ( k1) ，k(k 1)2 (k 1)(k 2) k(k 1)2 (k 1)(k 1) k(k 1)2 (k 1)(k 2)2 .(k 1)22 (k 1)(k 2) (k 1)22 (k 1) (k 2)2 k2 4k 42 (k 2)22所以 a k1 .(k 1)(k 2)2
19、 (k 2)22故当 nk1 时，不等式也成立.综合知当 nN *，都有 a n .n(n 1)2 (n 1)22【点拨】 在用放缩法时，常利用基本不等式 将某个相乘的的式子进行放缩，而在n(n 1)n (n 1)2上面的方法二的数学归纳法的关键步骤也要用到这个公式.在用数学归纳法时要注意根据目标来寻找思路.【变式训练 2】已知数列 ， ， ，S n为其前 n 项和，计算得811232 823252 8n(2n 1)2(2n 1)2S1 ，S 2 ，S 3 ，S 4 ，观察上述结果推测出计算 Sn的公式且用数学归纳法加以证明.89 2425 4849 8081【解析】猜想 Sn (nN ).(
20、2n 1)2 1(2n 1)2证明：当 n1 时，S 1 ，等式成立.32 132 89假设当 nk( k1)时等式成立，即 Sk .(2k 1)2 1(2k 1)2则 Sk1 Sk 8(k 1)(2k 1)2(2k 3)2 (2k 1)2 1(2k 1)2 8(k 1)(2k 1)2(2k 3)2 .(2k 1)2(2k 3)2 (2k 1)2(2k 1)2(2k 3)2 2(k 1) 12 12(k 1) 12即当 nk1 时，等式也成立.综合得，对任何 nN ，等式都成立.题型三 用不等式证明方法解决应用问题第 7 页 共 10 页【例 3】某地区原有森林木材存量为 a，且每年增长率为
21、25%，因生产建设的需要每年年底要砍伐的木材量为 b，设 an为 n 年后该地区森林木材存量.(1)求 an的表达式；(2)为保护生态环境，防止水土流失，该地区每年森林木材量应不少于 a，如果 b a，那么该地区今79 1972后会发生水土流失吗？若会，需要经过几年？(取 lg 20.30)【解析】(1)依题意得 a1a(1 )b ab，14 54a2 a1b ( ab)b( )2a( 1)b，54 5454 54 54a3 a2b( )3a( )2( 1)b，54 54 54 54由此猜测 an( )na( )n1 ( )n2 1 b( )na4( )n1 b(nN ).54 54 54 5
22、4 54 54下面用数学归纳法证明：当 n1 时，a 1 ab，猜测成立.54假设 nk(k2)时猜测成立，即 ak( )ka4( )k1b 成立.54 54那么当 nk1 时，a k1 akb b( )k1 a4( )k1 1 b，54 54(f(5,4)ka 4(f(5,4)k 1b 54 54即当 nk1 时，猜测仍成立.由知，对任意 nN ，猜测成立 .(2)当 b a 时，若该地区今后发生水土流失，则森林木材存量必须少于 a，1972 79所以( )na4( )n1 a a，整理得( )n5，54 54 1972 79 54两边取对数得 nlg lg 5，54所以 n 7.lg 5l
23、g 5 2lg 2 1 lg 21 3lg 2 1 0.301 30.30故经过 8 年该地区就开始水土流失.【变式训练 3】经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量 y(千辆/时)与汽车的平均速度 v(千米 /时)之间的函数关系为 y (v0).920vv2 3v 1 600(1)在该时段内，当汽车的平均速度 v 为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？( 精确到 0.1 千辆/时)(2)若要求在该时段内车流量超过 10 千辆/时，则汽车的平均速度应在什么范围内？【解析】(1)依题意，y ，当且仅当 v ，即 v40 时，上式9203 (v f(1 600,v) 9203
24、21 600 92083 1 600v等号成立，所以 ymax 11.1(千辆/时).92083(2)由条件得 10，整理得 v289v1 6000，920vv2 3v 1 600即(v25)(v64)0，解得 25v 64.答：当 v40 千米/时时，车流量最大，最大车流量约为 11.1 千辆/时.如果要求在该时段内车流量超过10 千辆/时，则汽车的平均速度应大于 25 千米/ 时且小于 64 千米/时.总结提高第 8 页 共 10 页1.有些不等式，从正面证如果不易说清，可以考虑反证法，凡是含有“至少” 、 “唯一”或者其他否定词的命题适用反证法.在一些客观题如填空、选择题之中，也可以用反
25、证法的方法进行命题正确与否的判断.2.放缩法是证明不等式特有的方法，在证明不等式过程中常常要用到它，放缩要有目标，目标在结论和中间结果中寻找.常用的放缩方法有：(1)添加或舍去一些项，如 ， n；a2 1 |a| n(n 1)(2)将分子或分母放大(或缩小 )；(3)利用基本不等式，如 ；n(n 1)n (n 1)2(4)利用常用结论，如 ，k 1 k1k 1 k 12k ；1k2 1k(k 1) 1k 1 1k (程度大) ；1k2 1k(k 1) 1k 1k 1 ( ) (程度小).1k2 1k2 1 1(k 1)(k 1) 12 1k 1 1k 13.用数学归纳法证明与自然数有关的不等式
26、的证明过程与用数学归纳法证明其他命题一样，先要奠基，后进行假设与推理，二者缺一不可.4 柯西不等式和排序不等式典例精析题型一 用柯西不等式、排序不等式证明不等式【例 1】设 a1，a 2，a n都为正实数，证明： a 1a 2a n.a21a2 a2a3 a 2n 1an a2na1【证明】方法一：由柯西不等式，有( )(a2a 3a na 1)a21a2 a2a3 a 2n 1an a2na1( )2(a 1a 2a n)2.a1a2 a2 a2a3 a3 ana1 a1不等式两边约去正数因式 a1a 2a n即得所证不等式.方法二：不妨设 a1a 2a n，则 a a a ， .21 2
27、2n1a1 1a2 1an由排序不等式有a a a a a a a a 1a 2a n，211a2 2 1a3 2n 1 1an 2n 1a1 21 1a1 2 1a2 2n 1an故不等式成立.方法三：由均值不等式有a 22a 1， a 32a 2， a 12a n，将这 n 个不等式相加得a21a2 a2a3 a2na1 a 2a 3a na 12(a 1a 2a n)，整理即得所证不等式.a21a2 a2a3 a 2n 1an a2na1【点拨】 根据所证不等式的结构形式观察是否符合柯西不等式、排序不等式的结构形式或有相似之处.将其配成相关结构形式是解决问题的突破口，有时往往要进行添项、
28、拆项、重组、配方等方法的处理.第 9 页 共 10 页【变式训练 1】已知 abc1，且 a、b、c 是正数，求证： 9.2a b 2b c 2c a【证明】左边2(abc)( )1a b 1b c 1c a(ab)( bc) (c a)( )(11 1)29，1a b 1b c 1c a(或左边(a b)(bc)(ca)( )1a b 1b c 1c a3 a bb c a bc a b ca b b cc a c aa b c ab c32 2 2 9)所以 9.2a b 2b c 2c a题型二 用柯西不等式求最值【例 2】 若实数 x，y ，z 满足 x2y3z2，求 x2y 2 z2
29、 的最小值.【解析】 由柯西不等式得，(1 22 23 2)(x2y 2z 2)(x2y3z) 24(当且仅当 1kx,2ky,3kz 时等号成立，结合 x2y3z2，解得 x ，y ，z )，17 27 37所以 14(x2y 2z 2)4.所以 x2y 2z 2 .27故 x2y 2z 2 的最小值为 .27【点拨】 根据柯西不等式，要求 x2y 2z 2 的最小值，就要给 x2y 2z 2 再配一个平方和形式的因式，再考虑需要出现定值，就要让柯西不等式的右边出现 x2y3z 的形式，从而得到解题思路.由此可见，柯西不等式可以应用在求代数式的最值中.【变式训练 2】已知 x22y 23z
30、2 ，求 3x2yz 的最小值.1817【解析】因为(x 22y 23z 2)32( )2( )2213(3x y z )2(3x2yz) 2，2 2 313所以(3x 2yz) 212，即2 3x2y z 2 ，3 3当且仅当 x ，y ，z 时，9317 3317 3173x2yz 取最小值，最小值为2 .3题型三 不等式综合证明与运用【例 3】 设 x0，求证：1xx 2x 2n(2n1) xn.【证明】(1)当 x1 时，1xx 2x n，由排序原理：顺序和反序和得11x xx 2x2x nxn1 xnx xn1 x n1 xx n1，即 1x 2x 4x 2n( n 1)xn.又因为
31、 x，x 2，x n，1 为序列 1，x，x 2，x n的一个排列，于是再次由排序原理： 乱 序 和 反 序和 得 1x xx2 xn 1xn xn1 1xn xxn 1 xn 1x xn1，即 xx 3x 2n1 x n(n1) xn，将和相加得 1xx 2x 2n(2 n1)x n.第 10 页 共 10 页(2)当 0x1 时，1xx 2 x n.由仍然成立，于是也成立.综合(1)(2)，原不等式成立.【点拨】 分类讨论的目的在于明确两个序列的大小顺序.【变式训练 3】把长为 9 cm 的细铁线截成三段，各自围成一个正三角形，求这三个正三角形面积和的最小值.【解析】设这三个正三角形的边长
32、分别为 a、b、c，则 abc3，且这三个正三角形面积和 S 满足：3S (a2b 2c 2)(121 21 2) (abc) 2 S .34 34 934 334当且仅当 abc1 时，等号成立.总结提高1.柯西不等式是基本而重要的不等式，是推证其他许多不等式的基础，有着广泛的应用.教科书首先介绍二维形式的柯西不等式，再从向量的角度来认识柯西不等式，引入向量形式的柯西不等式，再介绍一般形式的柯西不等式，以及柯西不等式在证明不等式和求某些特殊类型的函数极值中的应用.2.排序不等式也是基本而重要的不等式.一些重要不等式可以看成是排序不等式的特殊情形，例如不等式 a2b 22ab.有些重要不等式则
33、可以借助排序不等式得到简捷的证明.证明排序不等式时，教科书展示了一个“探究猜想证明应用”的研究过程，目的是引导学生通过自己的数学活动，初步认识排序不等式的数学意义、证明方法和简单应用.3.利用柯西不等式或排序不等式常常根据所求解(证) 的式子结构入手，构造适当的两组数，有难度的逐步调整去构造.对于具体明确的大小顺序、数目相同的两列数考虑它们对应乘积之和的大小关系时，通常考虑排序不等式.嗄嗄锕茇礤駴笪笪疸扼鄂锷萼珐旮虐暱咯臘國藍罵異燒嗄嗄锕茇礤駴笪笪疸扼鄂锷萼珐旮虐暱咯臘國藍罵異燒嗄嗄锕茇礤駴笪笪疸扼鄂锷萼珐旮虐暱咯臘國藍罵異燒嗄嗄锕茇礤駴笪笪疸扼鄂锷萼珐旮虐暱咯臘國藍罵異燒嗄嗄锕茇礤駴笪笪疸扼
34、鄂锷萼珐旮虐暱咯臘國藍罵異燒嗄嗄锕茇礤駴笪笪疸扼鄂锷萼珐旮虐暱咯臘國藍罵異燒嗄嗄锕茇礤駴笪笪疸扼鄂锷萼珐旮虐暱咯臘國藍罵異燒嗄嗄锕茇礤駴笪笪疸扼鄂锷萼珐旮虐暱咯臘國藍罵異燒嗄嗄锕茇礤駴笪笪疸扼鄂锷萼珐旮虐暱咯臘國藍罵異燒嗄嗄锕茇礤駴笪笪疸扼鄂锷萼珐旮虐暱咯臘國藍罵異燒嗄嗄锕茇礤駴笪笪疸扼鄂锷萼珐旮虐暱咯臘國藍罵異燒嗄嗄锕茇礤駴笪笪疸扼鄂锷萼珐旮虐暱咯臘國藍罵異燒嗄嗄锕茇礤駴笪笪疸扼鄂锷萼珐旮虐暱咯臘國藍罵異燒嗄嗄锕茇礤駴笪笪疸扼鄂锷萼珐旮虐暱咯臘國藍罵異燒嗄嗄锕茇礤駴笪笪疸扼鄂锷萼珐旮虐暱咯臘國藍罵異燒嗄嗄锕茇礤駴笪笪疸扼鄂锷萼珐旮虐暱咯臘國藍罵異燒嗄嗄锕茇礤駴笪笪疸扼鄂锷萼珐旮虐暱咯臘國藍罵
35、異燒嗄嗄锕茇礤駴笪笪疸扼鄂锷萼珐旮虐暱咯臘國藍罵異燒嗄嗄锕茇礤駴笪笪疸扼鄂锷萼珐旮虐暱咯臘國藍罵異燒嗄嗄锕茇礤駴笪笪疸扼鄂锷萼珐旮虐暱咯臘國藍罵異燒嗄嗄锕茇礤駴笪笪疸扼鄂锷萼珐旮虐暱咯臘國藍罵異燒嗄嗄锕茇礤駴笪笪疸扼鄂锷萼珐旮虐暱咯臘國藍罵異燒嗄嗄锕茇礤駴笪笪疸扼鄂锷萼珐旮虐暱咯臘國藍罵異燒嗄嗄锕茇礤駴笪笪疸扼鄂锷萼珐旮虐暱咯臘國藍罵異燒嗄嗄锕茇礤駴笪笪疸扼鄂锷萼珐旮虐暱礤駴笪笪燒嗄嗄锕茇礤駴笪笪疸扼鄂锷萼珐旮虐暱咯臘國藍罵異燒嗄嗄锕茇礤駴笪笪疸扼鄂锷萼珐旮虐暱咯臘國藍罵異燒嗄嗄锕茇礤駴笪笪疸扼鄂锷萼珐旮虐暱咯臘國藍罵異燒嗄嗄锕茇礤駴笪笪疸扼鄂锷萼珐旮虐暱咯臘國藍罵異燒嗄嗄锕茇礤駴笪笪疸扼鄂锷萼珐旮虐暱咯臘國藍罵異燒嗄嗄锕茇礤駴笪笪疸扼鄂锷萼珐旮虐暱咯臘國藍罵異燒嗄嗄锕茇礤駴笪笪疸扼鄂锷萼珐旮虐暱咯臘國藍罵異燒嗄嗄锕茇礤茇礤駴笪
