1、12013 年高考理科数学试题解析（课标）第卷一、 选择题共 12 小题。每小题 5 分，共 60 分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。1.已知集合 ，则 ( )2|0,|5AxBxA.AB= B.AB=R C.BA D.AB2.若复数 满足 ，则 的虚部为 ( )z(34)|3|izizA. B. C.4 D.553.为了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学.初中.高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是 ( )A.简单随机抽样 B.按性别分层抽样
2、 C.按学段分层抽样 D.系统抽样4.已知双曲线 C：21xyab（ 0,ab）的离心率为 52，则 C的渐近线方程为A.14y B. 3 C. D. yx12yx5.运行如下程序框图，如果输入的 ,t，则输出 s 属于A. B. C. D.3,45,24,32,56.如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高 8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为 6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为 ( )A. B. C. D. 350cm386c3172cm32048cm7.设等差数列 的前 项和为 ，则 ( )na11,0,nmSSA.3 B.4 C.5
3、 D.68.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为2A B C D1688168169.设 为正整数， 2()mxy展开式的二项式系数的最大值为 a， 21()mxy展开式的二项式系数的最大值m为 b，若 ，则 ( )37abA.5 B.6 C.7 D.810.已知椭圆 的右焦点为 ，过点 的直线交椭圆于 两点。若 的2:1(0)xyE(3,0)F,AB中点坐标为 ，则 的方程为 ( )(,)A. B. C. D.214536xy21367xy2178xy219xy11.已知函数2,0ln()x，若| ()f| a，则 的取值范围是()fA ,0 B ,1 C D2,1,012.设 的三
4、边长分别为 ， 的面积为 ， ，若 ，nCnabcnABnS1,23 11,2bca，则( )111,22ncabA.Sn为递减数列 B.Sn为递增数列C.S2n1 为递增数列， S2n为递减数列 D.S2n1 为递减数列，S 2n为递增数列二填空题：本大题共四小题，每小题5分。13.已知两个单位向量a，b的夹角为 60，c t a(1t)b ，若 bc=0，则t=_.14.若数列 n的前 n 项和为 Sn 13，则数列 n的通项公式是 na=_.15.设当 时，函数 取得最大值，则 _x()si2cosfxxcos16.若函数 ()f= 21ab的图像关于直线 对称，则 ()fx的最大值是_
5、.2三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.（本小题满分12 分）如图，在ABC中，ABC90 ，AB= ，BC=1，P为ABC内一点，BPC 9033(1)若 PB= ，求 PA；(2) 若APB150 ，求 tanPBA1218.（本小题满分 12 分）如图，三棱柱 ABC-A1B1C1 中，CA=CB ，AB=A A1，BA A1=60.（）证明 ABA 1C;（）若平面 ABC平面 AA1B1B，AB=CB=2，求直线 A1C 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值。19.（本小题满分 12 分）一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取 4 件作检验，这
6、 4 件产品中优质品的件数记为 n。如果 n=3，再从这批产品中任取 4 件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果 n=4，再从这批产品中任取 1 件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验。假设这批产品的优质品率为 50%，即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立（1 ）求这批产品通过检验的概率；（2 ）已知每件产品检验费用为 100 元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为 X（单位：元） ，求 X 的分布列及数学期望。20.(本小题满分 12 分)已知圆 M: 2(1)xy,圆 N: 2(1)9xy
7、,动圆 P与 M外切并且与圆 N内切，圆心 P的轨迹为曲线 C.（）求 C 的方程；（） l是与圆 ,圆 都相切的一条直线， l与曲线 C 交于 A，B 两点，当圆 P 的半径最长时，求|AB|. 21.（本小题满分共 12 分）已知函数 ()fx 2ab， ()gx )ecd，若曲线 ()yfx和曲线()ygx都过点 P(0，2)，且在点 P 处有相同的切线 42y（）求 a， b， c， d的值；（）若 x2 时， ()fx k，求 的取值范围。422 （本小题满分 10 分）选修 41：几何证明选讲 如图，直线 AB 为圆的切线，切点为 B，点 C 在圆上，ABC 的角平分线 BE 交圆
8、于点 E，DB 垂直 BE 交圆于 D。 （）证明：DB=DC；（）设圆的半径为 1， BC= ，延长 CE 交 AB 于点 F，求BCF 外接圆的半径。23.（本小题 10 分）选修 44：坐标系与参数方程 已知曲线 C1 的参数方程为 45cosinxty( 为参数） ，以坐标原点为极点， x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 2。（）把 C1 的参数方程化为极坐标方程；（）求 C1 与 C2 交点的极坐标（0,02 ） 。24.（本小题满分 10 分）选修 45：不等式选讲已知函数 ()fx=|xa, ()g= 3x.（）当 a=2 时，求不等式 f 的解集；（）设
9、 -1,且当 x 2， 1)时， ()fxg,求 a的取值范围.参考答案一、选择题1 【解析】A=(- ,0)(2,+ ), AB=R,故选 B.2 【解析】由题知 z=|43|i=2(34)ii= 5i，故 z 的虚部为 45，故选 D.3 【解析】因该地区小学.初中.高中三个学段学生的视力情况有较大差异，故最合理的抽样方法是按学段分层抽样，故选 C.4 【解析】由题知， 52ca，即 4=2ca=2b，2a= 1， b= 2， C的渐近线方程为12yx，故选 C.55 【解析】有题意知，当 1,)t时， 3st,)，当 1,3t时， 24st3,，输出 s 属于-3,4，故选 A.6 【解
10、析】设球的半径为 R，则由题知球被正方体上面截得圆的半径为 4，球心到截面圆的距离为 R-2，则22()4R，解得 R=5，球的体积为345，故选 A.30cm7 【解析】有题意知 mS= 1()2ma=0， 1a= m=（ S- 1）=2，1ma= - =3，公差 d= 1- =1，3= 1= ， =5，故选 C.8 【解析】由三视图知，该几何体为放到的半个圆柱底面半径为 2 高为 4，上边放一个长为 4 宽为 2 高为 2 长方体，故其体积为 24 = 68，故选 A.9 【解析】由题知 a= 2mC， b= 12，13 2mC=7 1，即 3(2)!m= 7(1)!，解得 =6，故选 B
11、.10 【解析】设 12(,)(,)AxyB，则 12x=2， 12y=2，21xyab 2yab 得 12121212()()0x， ABk= 12yx= 12()bxay= ，又 ABk= 3= ，2ba= 1，又 9= 2c= 2ab，解得2b=9， =18， 椭圆方程为2189，故选 D.11 【解析】| ()fx|=2,0ln()x，由| ()fx| a得， 20xa且0ln(1)xa，由 20xa可得 ，则 a-2，排除，当 =1 时，易证 ln(1)x对 0x恒成立，故 =1 不适合，排除 C，故选 D.12B13 【解析】 Abc= ()ttab= 2(1)tab= 1t= 2
12、t=0，解得 t=2.614 【解析】当 n=1 时， 1a=S= 123，解得 1a=1，当 2 时， n= 1n= ( 13n)= 12na，即 n= 12a， na是首项为 1，公比为2 的等比数列， na=().15 【解析】 ()fx=sincosx= 52(sicosxx令 cos= 5， 25i，则 ()f= ini)= 5sin()x，当 x=2,kz，即 x= ,2kz时， ()fx取最大值，此时 =2,kz，cos= ()=sin= 5.16 【解析】由 fx图像关于直线 x=2 对称，则0= (1)3f= 2()3ab，0= 5= 5，解得 =8， b=15， ()fx=
13、 2)(81)x， = 2(8)x= 324(67)x= 4(2)5)x当 ( , )( 2, 25)时， ()fx0 ，当 x( ,2)( ,+)时， 0， ()f在（ ， ）单调递增，在（ ，2）单调递减，在（2， 25）单调递增，在（ 25，+）单调递减，故当 x= 5和 x= 5时取极大值， ()f= ()f=16.17 【解析】 （）由已知得，PBC= o60，PBA=30 o，在PBA 中，由余弦定理得 2PA=o132cs34= 74，PA= 2；7（）设PBA= ，由已知得， PB=sin，在PBA 中，由正弦定理得， oo3sinsin150()，化简得，3cos4in， t
14、a= ， taPBA= 34.18 【解析】 （）取AB中点E，连结CE， 1， AE，AB= 1A， 1B= 06， 1BA是正三角形， EAB ， CA=CB， CEAB， 1CEA=E，AB面 1CEA， AB 1C； 6分（）由（）知 ECAB， 1EAAB，又面 ABC面 1B，面 ABC面1A=AB，EC面 1，EC 1，EA，EC， 1E两两相互垂直，以 E 为坐标原点， A的方向为 x轴正方向，| EA|为单位长度，建立如图所示空间直角坐标系 Oxyz，有题设知 A(1,0,0), 1A(0, 3,0),C(0,0, 3),B(1,0,0),则 BC=（1,0， 3）, 1B=
15、 =(1,0, 3),1AC=(0, , ), 9 分设 n=(,)xyz是平面 1BC的法向量，则 10，即 30xzy，可取 n=（ 3，1，-1）， cos,ACn= 1|5，直线 A1C 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值为 105. 12 分819 【解析】设第一次取出的 4 件产品中恰有 3 件优质品为事件 A，第一次取出的 4 件产品中全为优质品为事件B,第二次取出的 4 件产品都是优质品为事件 C，第二次取出的 1 件产品是优质品为事件 D，这批产品通过检验为事件 E，根据题意有 E=(AB)(CD),且 AB 与 CD 互斥，P(E)=P(AB)+P(CD)=P(A)P(B
16、|A)+P(C)P(D|C)= 3244()()+ 2= 364.6 分（）X 的可能取值为 400,500,800，并且P(X=400)=1- 3441()()2C=16，P(X=500)= 16，P(X=800)= 341()C= ，X 的分布列为X 400 500 800P 161410 分EX=40016+500 +800 =506.25 12 分20 【解析】由已知得圆 M的圆心为 （-1，0）,半径 1r=1，圆 N的圆心为 (1,0),半径 2r=3.设动圆 P的圆心为 （ x， y），半径为R.（）圆 与圆 外切且与圆 N内切，|PM|+|PN|= 12()()Rr= 12r=
17、4，由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左右焦点，场半轴长为2，短半轴长为 3的椭圆(左顶点除外)，其方程为 1(2)43xyx.（）对于曲线C上任意一点 P（ x， y），由于|PM|-|PN|= 2R2，R2,当且仅当圆P的圆心为（2，0）时，R=2.当圆P的半径最长时，其方程为 2()4，当 l的倾斜角为 09时，则 l与 y轴重合，可得|AB|= 3.当 l的倾斜角不为 时，由 1rR知 l不平行 x轴，设 l与 x轴的交点为Q，则 |PM= 1Rr，可求得Q（-4，0），设 l： (4)ykx，由 l于圆M相切得 2|31k，解得 24k.当 = 2时，将 2代入 ()43xyx并整
18、理得 2780x，解得1,2x= 467，|AB|= 212|k= 7.9当 k= 24时，由图形的对称性可知|AB|= 187，综上，|AB|= 187或|AB|= 3.21 【解析】 （）由已知得 (0)2,(),(0)4,()fgfg，而 ()fx=2b， gx=ecd， a=4， b=2， c=2， d=2；4 分（）由（）知， 2()4f， ()2(1)xe，设函数 ()Fx=kx= (14xke（ ） ，=2e=2)x，有题设可得 (0)0，即 k，令 Fx=0 得， 1= ln， 2x=2，（1）若 2ke，则2 10，当 1(2,)x时， ()Fx0，当 1(,)x时， ()F
19、x0，即()x在 1,)单调递减，在 (,)单调递增，故 在 = 1取最小值 ，而 1=214x= 120，当 2 时， ()F0，即 ()fx kg恒成立，(2)若 ke，则 x= 22ee，当 x 2 时， ()0， ()x在(2,+)单调递增，而 (2)F=0，当 2 时， Fx0，即 f kg恒成立，(3)若 ke，则 ()= 2e= 2()e0，当 x 2 时， fx k不可能恒成立，综上所述， k的取值范围为 1, 2e.22 【解析】 （）连结DE，交BC与点G.10由弦切角定理得，ABF=BCE，ABE=CBE，CBE=BCE，BE=CE，又DBBE，DE是直径，DCE= 09
20、，由勾股定理可得DB=DC.（）由（）知，CDE=BDE，BD=DC，故DG是BC的中垂线，BG= 32.设DE中点为O，连结BO，则BOG= o60，ABE=BCE=CBE= o0，CFBF， RtBCF的外接圆半径等于 32.23. 【解析】将45cosinxty消去参数 t，化为普通方程 22(4)(5)xy，即 1C： 28106，将cosinxy代入 28106得，2cosin， 1的极坐标方程为 28cos10i60；（） 2C的普通方程为 xy，由 2106xy解得 1x或 2y， 1C与 2的交点的极坐标分别为（ 2,4） ，(,).24 【解析】当 a=-2时，不等式 ()fx g化为 |21|2|30xx，设函数 y=|21|2|3xx， y=5, 2, 16xx，其图像如图所示从图像可知，当且仅当 (0,2)x时， y0，原不 等式解集是 |02x.11（）当 x 2a， 1)时， ()fx=1a，不等式 ()fx g化为 13ax， 对 ， )都成立，故 2，即 43， a的取值范围为（-1， 43.
