1、1不等式常见考试题型总结一、高考与不等式高考试题，有关不等式的试题约占总分的 12% 左右，主要考查不等式的基本知识，基本技能，以及学生的运算能力，逻辑思维能力，分析问题和解决问题的能力选择题和填空题主要考查不等式的性质、比较大小和解简单不等式，还可能与函数、方程等内容相结合的小综合解答题主要是解不等式或证明不等式或以其他知识为载体的综合题。不等式常与下列知识相结合考查：不等式的性质的考查常与指数函数、对数函数、三角函数的性质的考查相结合，一般多以选择题的形式出现，有时也与充要条件、函数单调性等知识结合，且试题难度不大；解不等式的试题主要在解答中出现，常常是解含参不等式较多，且多与二次函数、指
2、数、对数、可能还会出现导数相结合命题；证明不等式是理科考查的重点，经常同一次函数、二次函数、数列、解析几何，甚至还可能与平面向量等结合起来考查二、常见考试题型（1）求解不等式解集的题型（分式不等式的解法，根式不等式的解法，绝对值不等式的解法，含参不等式的解法，简单的一元高次不等式的解法）（2）不等式的恒成立问题（不等式恒成立问题的常规处理方式常应用函数方程思想，分离变量法，数形结合法）（3）不等式大小比较常用方法：1作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；2作商（常用于分数指数幂的代数式） ；3分析法；4平方法；5分子（或分母）有理化；6利用函数的单调性；7寻找中间量或放缩法
3、 ；8图象法。（4）不等式求函数最值技巧一：凑项例：已知 ，求函数 的最大值。5x1425yx技巧二：凑系数例. 当 时，求 的最大值。(8)技巧三： 分离例. 求 的值域。2710xyx2技巧四：换元例. 求 的值域。2710()xyx技巧五：函数的单调性（注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数 的单调性。 ）()afx例：求函数 的值域。254xy技巧六：整体代换（多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。 ）例：（1）已知 ，且 ，求 的最小值。0,xy19xyxy（2）若 且 ，求 的最小值R,21(3)已知 且 ，求 的最小值yxba
4、ybxayx技巧七、利用 转换式子1cossin22技巧八、已知 x，y 为正实数，且 x 2 1，求 x 的最大值.y 22 1 y 2分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式 ab 。a 2 b 22同时还应化简 中 y2 前面的系数为 ， x x x1 y 212 1 y 2 2下面将 x， 分别看成两个因式：x 即 x x 34 1 y 2 2 342技巧九：已知 a，b 为正实数，2baba30，求函数 y 的最小值.1ab这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解二是直接用基本不等式。例：1.已知 a0，b0 ，a
5、b(ab)1，求 ab 的最小值。2.若直角三角形周长为 1，求它的面积最大值。技巧十：取平方例、已知 x，y 为正实数，3x2y10，求函数 W 的最值.3x 2y（5）证明不等式常用方法：比较法、分析法、综合法和放缩法。基本不等式最值求法的题型3基础题型一：指数类最值的求法1. 已知 ，求 的最小值。3abab变式 1.已知 ，求 的最小值。29变式 2.已知 ，求 的最小值。xy13xy变式 3.已知 ，求 的最小值。24变式 4.已知点 在直线 上，求 的最小值。(,)xy1x139xy基础题型二：对数类最值的求法2. 已知 ，且 ，求 的最大值。0,xy24xy22loglxy变式
6、1.已知 ，且 ，求 的最小值。113变式 2.已知点 是圆 在第一象限内的任一点，求 的最大值。(,)xy26y 33loglxy能力题型一：常数变形（加或减去某个常数使两个因式的积为常数）1. 已知 ,求 的最小值。2x1()2fx变式 1.已知 ,求 的最小值。343x变式 2.已知 ,求 的最大值。1x()1f能力题型二：代换变形（把整式乘到分式中去以便于用基本不等式）1. 已知 ,且 ，求 的最小值。0xy2xyxy2. 变式 1.已知 ,且 ，求 的最小值。032变式 2.已知 ,且 ，求 的最大值。xyxy1xy能力题型三：指数与系数的变形（调整字母的系数和指数）1. 已知 ,且
7、 ，求 的最大值。0xy21xy2xy变式 1.已知 ,且 ，求 的最大值。231变式 2.已知 ,且 ，求 的最小值。abab2ab能力题型四：对勾函数及其应用4【对勾函数】 ，由 得顶点的横坐标为 。1yxx1x,由 得顶点的横坐标为 。byax ba,由 得顶点的横坐标为 。(1)bxa(1)x1bxa例 1.求 的值域。2,4y 变式 1.求 的值域。(1)x变式 2.求 的值域。32,y 例 2.求 的值域。4()1x变式 1.求 的值域。2(3)yx 变式 2.求 的值域。(2)1x 例 3.求 的值域。4sin(0)yx 变式 1.求 的值域。i()s1x 变式 2.求 的值域。
8、2co(0)yx 基本不等式例题例 1. 已知 , 且 ，求 的最小值及相应的 值.例 2. 的最小值为_。例 3已知 ， ， 成等差数列， 成等比数列，则 的最小值是（ ）例 4函数 的图象恒过定点 ，若点 在直线 上，则5的最小值为_例 5. 若 ，则 的最小值是（ ）例 6下列各函数中，最小值为 2 的是( )A B. C. D.例 7（1）已知 ，求函数 的最大值.54x1425yx（2）求函数 的最小值求 的最大值.12y24yx练习. 设 ，则 的最大值为例 8.已知 , ，且 . 求 的最大值及相应的 的值例 9 若 x，y 是正数，则 的最小值是22)1()(xyx练习：已知实
9、数 x，y 满足 x+y1=0 ，则 x2+y2 的最小值例 10.若实数 a、b 满足 a+b=2，是 3a+3b 的最小值是基本不等式证明例 已知 a，b 为正数，求证： ab 例实际应用：某单位用木材制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为 x y(单位：m)的矩形，上部是等腰直角三角形，要使框架围成的总面积为 8 ，问 x y 分别为多少时用料最省？2m6基 本 不 等 式 应 用一基本不等式1.（1）若 ，则 (2)若 ，则 （当且仅当 时取Rba, ab22Rba,2baba“=”）2. (1)若 ，则 (2)若 ，则 （当且仅当 时取“=” ）*, *,(3)若 ，则 (当且仅
10、当 时取“=” ）*,Rba2baba3.若 ，则 (当且仅当 时取“=” ）;若 ，则 (当且仅当 时取0x1x1x0x12x1x“=”）若 ，则 (当且仅当 时取“=” ）2-2即 或 ba3.若 ，则 (当且仅当 时取“=” ）0ababba若 ，则 (当且仅当 时取“=” ）2-2即 或 ba4.若 ，则 （当且仅当 时取 “=”）Rba,)(bba注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大” （2）求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等
11、式、解决实际问题方面有广泛的应用应用一：求最值例 1：求下列函数的值域（1）y3x 2 （2）y x12x 2 1x解：（1）y3x 2 2 值域为 ，+）12x 2 6 6（2）当 x0 时，y x 2 2；1x当 x0 时， yx = （ x ）2 =21x 1x值域为（，22，+）解题技巧：技巧一：凑项例 1：已知 ，求函数 的最大值。54x1425yx解：因 ，所以首先要“调整”符号，又 不是常数，所以对 要进行拆、凑0 1(42)5xA42x项，5,4xx14235yx217当且仅当 ，即 时，上式等号成立，故当 时， 。154xx1xmaxy评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的
12、系数，使其积为定值。技巧二：凑系数例 1. 当 时，求 的最大值。(82)y解析：由 知， ，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到 为定值，故只需将 凑上一个系数即()8x(82)yx可。当 ，即 x2 时取等号 当 x2 时， 的最大值为 8。(2)yx评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值。变式：设 ，求函数 的最大值。30)3(4y解： 2x0x 2932)3(2xxx当且仅当 即 时等号成立。,323,4技巧三： 分离例 3. 求 的值域。2710()xyx解析一：本题看似无法
13、运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（x1）的项，再将其分离。当 ,即 时, （当且仅当 x1 时取“”号）。421)59yx（技巧四：换元解析二：本题看似无法运用基本不等式，可先换元，令 t=x1，化简原式在分离求最值。22(1)7(+05=ttty t）当 ,即 t= 时, （当 t=2 即 x1 时取“”号）。49yt评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值。即化为 ，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求()(0,AymgxB最值。技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数 的单调性。()af
14、x例：求函数 的值域。254xy解：令 ，则2()t254xy221(2)4tx8因 ，但 解得 不在区间 ，故等号不成立，考虑单调性。10,ttt1t2,因为 在区间 单调递增，所以在其子区间 为单调递增函数，故 。y, 52y所以，所求函数的值域为 。5,2练习求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值.（1） （2） (3)231,(0)xy1,3yx12sin,(0,)iyx2已知 ，求函数 的最大值.；3 ，求函数 的最大值.0(1)0x(3条件求最值1.若实数满足 ，则 的最小值是 .2baba分析：“和”到“积”是一个缩小的过程，而且 定值，因此考虑利用均值定理求最小值，ba
15、3解： 都是正数， ba3和 ba362ba当 时等号成立，由 及 得 即当 时， 的最小值是11baba36变式：若 ，求 的最小值.并求 x,y 的值44logl2xy1xy技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。 。2：已知 ，且 ，求 的最小值。0,xy91xy错解： ，且 ， 故 , 199212xyxyxy min12xy。错因：解法中两次连用基本不等式，在 等号成立条件是 ，在 等号成立29xy条件是 即 ,取等号的条件的不一致，产生错误。因此，在利用基本不等式处理问题时，列出19xyx等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否
16、有误的一种方法。正解： ，0,1xy19106yxxyx当且仅当 时，上式等号成立，又 ，可得 时， 。9y 4,2min16xy9变式： （1）若 且 ，求 的最小值Ryx, 12yxyx(2)已知 且 ，求 的最小值baba技巧七、已知 x，y 为正实数，且 x 2 1，求 x 的最大值.y 22 1 y 2分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式 ab 。a 2 b 22同时还应化简 中 y2 前面的系数为 ， x x x1 y 212 1 y 2 2下面将 x， 分别看成两个因式：x 即 x x 34 1 y 2 2 342技巧八：已知 a，b 为正实数，2baba30，求函数
17、y 的最小值.1ab分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行。法一：a ， ab b30 2bb 1 30 2bb 1 2 b 2 30bb 1由 a0 得，0b15令 tb+1，1 t16，ab 2（t ）34t 2 8 2t 2 34t 31t 16t 16t ab18 y 当且仅当 t4，即 b3，a6 时，等号成立。118法二：由已知得：30a
18、ba2b a2b2 30ab22 ab 2 ab令 u 则 u22 u300， 5 u3ab 2 2 2 3 ，ab18，y ab 2118点评：本题考查不等式 的应用、不等式的解法及运算能力；如何由已知不ab）（ R,等式 出发求得 的范围，关键是寻找到 之间的关系，由此想到0）（ R, ab与不等式 ，这样将已知条件转换为含 的不等式，进而解得 的范围.ab2）（ ab变式：1.已知 a0，b0 ，ab( ab)1，求 ab 的最小值。2.若直角三角形周长为 1，求它的面积最大值。技巧九、取平方5、已知 x，y 为正实数，3x 2y10，求函数 W 的最值.3x 2y解法一：若利用算术平均
19、与平方平均之间的不等关系， ，本题很简单a b2 a 2 b 22 23x 2y 2 23x 2y 5解法二：条件与结论均为和的形式，设法直接用基本不等式，应通过平方化函数式为积的形式，再向“和为定值”条件靠拢。W0，W 23x2y 2 102 10( )2( )2 10(3x 2y)203x 2y 3x 2y 3x 2y10 W 220 5变式: 求函数 的最大值。152()yxx解析：注意到 与 的和为定值。12()4(2)4(1)(52)8y xx又 ，所以0y当且仅当 = ，即 时取等号。 故 。x52x3maxy评注：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用基本不等式创造了条件
20、。总之，我们利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用基本不等式。应用二：利用基本不等式证明不等式1已知 为两两不相等的实数，求证：cba, cabcba221）正数 a，b，c 满足 abc1，求证：(1a)(1b)(1c) 8abc例 6：已知 a、b、c ，且 。求证：R118c分析：不等式右边数字 8，使我们联想到左边因式分别使用基本不等式可得三个“2”连乘，又，可由此变形入手。1aa解： a、b、c ， 。 。同理 ，R1bc2abc12acb。上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得12。当且仅当 时取等号。128bcababA1
21、3abc应用三：基本不等式与恒成立问题例：已知 且 ，求使不等式 恒成立的实数 的取值范围。0,xy91xyxym解：令 ，,0,k91.k091yxk。 ，103216,16应用四：均值定理在比较大小中的应用：例：若 ，则 的大小关系是 .)2lg(),l(g2,lg, baRbaQbaPba RQP,分析： 10（2Qpl)l11RQ P。abbaRlg21l)2lg(不等式求解集积题型【知识要点】1绝对值符号里含有未知数的不等式叫做绝对值不等式。（1） 的解集是xaxa（2） 的解集是 或2含字母系数的一元一次不等式的解法与普通不等式的解法是一致的，所不同的是：前者在最后一步要根据题中附
22、加条件或隐含条件，去判断未知数系数的符号，从而决定不等号是否反向。或对其系数进行分类讨论，写出各种情况下不等式的解集。一般的讨论方法：对于 ；axb当 时，0abxa当 时，若 解集为任意实数；,若 ，无解当 时，0abxa【典型例题】题型一：与整数解个数有关的不等式例 1如果不等式 的正整数解是 1，2，3，那么 的取值范围是多少？03ax a例 2已知关于 的不等式组 的整数解共有 5 个，求 的取值范围。x1230xaa（其中 ）0a12题型二: 已知不等式解集求未知数例 3 （1）已知不等式 的解集为 ，求 的解集。4213xax2ax231（2）方程组 的解 x，y 都是正数，则整数
23、 k 应等于。0527yk题型三：系数含有字母的不等式例 4解关于 的不等式：x623xa例 5k 为何值时，不等式 永远成立？xk3821若不等式 的解集为 ，求不等式 的解集。0)()(bax10)2()3(abxa题型四：绝对值不等式例 6解下列不等式（1） （2）23x 45x题型五：比较大小例 7比较下列各式的大小13xy3530 1l2l（1） 和 （2）123x232x ba2与例 8如果 成立，则实数 的取值范围是（ ）4235aaaA、 B、 C、 D、101011a【巩固练习】1如果关于 x 的方程 的解是一个负数，那么 m 的取值范围是 。xm212关于 x 的方程 的解
24、若为正数，那么 k 的取值范围为（ ） 。kk42A B C D k2k23如果 的解集是 ，那么 满足（ ）()1-A B C Dm14已知关于 的一次方程 无解，则 是（ ）x0783baabA、正数 B、非正数 C、负数 D、非负数5解下列不等式（1） （2）求不等式 的非负整数解。24x 31x6若不等式 只有两个正整数解，则 的取值范围是多少？03aa7解关于 的不等式x（1） （2）1k16kx8若满足不等式 的 必满足 ，求 的取值范围51323ax53a9一次函数 的图像是射线 ， 的图像是射线 ，如图所示，1y1l2y2l若 ，则 的值为_；21x若 ，则 的取值范围是_；若
25、 ，则 的取值范围是_21y10己知不等式 ， （1）若它的解是 ，求 的范围；（2）若它的解集是32mx-+3mx14，求 的值。43xm11如果不等式组 的整数解仅为 1，2，3，那么，适合这个不等式组的整数 、 的有序对908xab ab（ ， ）共有（ ）abA、17 个 B、64 个 C、72 个 D、81 个12已知方程组 的解 的乘积小于零，求 的值。12myxyx, 212m高中数学不等式知识点经典习题典型例题一例 1 解不等式 231x分析：解含有绝对值的不等式，通常是利用绝对值概念 ，将不等式中的绝对符号去)0(a掉，转化成与之同解的不含绝对值的不等式（组） ，再去求解去绝
26、对值符号的关键是找零点（使绝对值等于零的那个数所对应的点） ，将数轴分成若干段，然后从左向右逐段讨论解：令 ， ，令 ， ，如图所示来源:Z。xx。k.Com01x1x032x23x（1）当 时原不等式化为 与条件矛盾，无解)()(（2）当 时 ，原不等式化为 ，故 23x 31x0x23x（3）当 时，原不等式化为 ，故 综上，原不等式的解2x662为 60x说明：要注意找零点去绝对值符 号最好画数轴，零点分段，然后从左向右逐段讨论，这样做条理分明、不重不漏典型例题二例 2 求使不等式 有解的 的取值范围ax34分析：此题若用讨论法，可以求解，但过程较繁；用绝对值的几何意义去求解十分简便解法
27、一：将数轴分为 三个区间),4(,15当 时，原不等式变为 有解的条件为 ，即 ；3x 27,)3(4( axx 327a1当 时，得 ，即 ；4a)1当 时，得 ，即 ，有解的条件为 xx(x4a以上三种情况中任一个均可满足题目要 求，故求它们的并集，即仍为 1解法二：设数 ，3，4 在数轴上对应的点分别为 P，A，B，如图，由绝对值的几何定义，原不等式x的意义是 P 到 A、B 的距离之和小于 aPBA a因为 ，故数轴上任一点到 A、B 距离之和大于（等于 1） ，即 ，故当 时，1 134xa有解x34典型例题三例 3 已知 ，求证 ),0(,20,2MyabyMax abxy分析：根
28、据条件凑 ,证明： byxaby aMax 2)()(说明：这是为学习极限证明作的准备，要习惯用凑的方法典型例题四例 4 求证 ba2分析：使用分析法证明 ，只需证明 ，两边同除 ，即只需证明来源:Zxxk.Cm0ba22 2b，即 当 时， ；当baba22 22)(1)( 1baa222)(1)()(时， ，原不等式显然成立原不等式成立10说明：在绝对值不等式的证明，常用分析法本例也可以一开始就用定理：16baba22（1）如果 ，则 ，原不等式显然成立10（2）如果 ，则 ，利用不等式的传递性知 ， ，原不等式也成abbabb立典型例题五例 5 求证 bab11分析：本题的证法很多，下面
29、给出一种证法：比较要证明的不等式左右两边的形式完全相同，使我们联想利用构造函数的方法，再用单调性去证明证明：设 xxxf 11)(定义域为 ，且 ， 分别在区间 ，区间 上是增函数来源:Z123a,1a所以 的取值范围是 aRa或说明：在求满足条件 的 时，要注意关于 的不等式组中有没有等号，否则会导致误解BAa典型例题七例 6 已知数列通项公式 对于正整数 、 ，当 时，求nn aaa2si3sin2is mn证： nma21分析：已知数列的通项公式是数列的前 项和，它的任意两项差还是某个数列的和，再利用不等式，问题便可解决nna 2121证明： mnnnm aaa2sin2)si()si(
30、1 mnn aaa2sin2)si()1i( 21)(221 nnmn )10()( nmnm说明： 是以 为首项，以 为公比，共有 项的等比数列的和，误认 为mn212 1n共有 项是常见错误m正余弦函数的值域，即 ， ，是解本题的关键本题把不等式、三角函数、数列、 个sicos n变量的绝对值不等式问题连在一起，是一个较为典型的综合题目如果将本题中的正弦改为余弦，不等式同样成立典型例题八18例 8 已知 ， ，求证：13)(2xf 1a)1(2)(afx分析：本题中给定函数 和条件 ，注意到要证的式子右边不含 ，因此对条件)(fx x的使用可有几种选择：(1)直接用；(2) 打开绝对值用
31、，替出 ；(3) 用绝 对值的性1ax 1ax质 进行替换1ax证明： ， ， ， 3)(2f 13)(2af 1ax1ax ，1axxafx )()( )(，即 1211aa 12afx说明：这是绝对值和函数的综合题，这类题通常要涉及绝对值及绝对值不等式的性质等综合知识的运用分析中对条件 使用时出现的三种可能是经常碰到的，要结合求证，灵活选用ax典型例题九例 9 不等式组 的解集是（ ） x230A B C D0x5.060x30x分析：本题是考查含有绝对值不等式的解法，由 ，知 ， ，又233， ，解原不等式组实为解不等式 （ ） 0x3x x0解法一：不等式两边平方得： 22)(3)(3
32、x ，即 ，222)6()6(xx 0)662xx ，又 选 C0233062x0解法二： ，可分成两种情况讨论：x(1)当 时，不等式组化为 （ ） 解得 2x2220x(2)当 时，不等式组可化为 （ ） ，解得 x36综合(1)、(2)得，原不等式组的解为 ，选 C60x说明：本题是在 的条件下，解一个含绝对值的分式不等式，如何去绝对值是本题的关键所在，0x必须注意，只有在保证两 边均为非负数时，才能将不等式两边同时平方另一种方法则是分区间讨论，19从而去掉绝对值符号当然本题还可用特殊值排除法求解典型例题十例 10 设二次函数 ( ，且 )，已知 ， ， ，cbxaf2)(0bab1)0
33、(f)(f，当 时，证明 1)(fx45x分析：从 知，二次函数的图像是开口向上的抛物线；从 且 ， 知，要求0a 1x)(f1)(f证的是 ，所以抛物线的顶点一定在 轴下方，取绝对值后，图像翻到 轴上方 因此抛物线的45)(xf xx顶点的取值非常重要，也是解这道题的关键所在证明： ， 又)()(2cbacb cba 1)()1f21b ， 又 ， ，a112)0(f acabf 44)2( 而 的图像为开口向上的抛物线，abcbf 4)2(2 451b)(xf且 ， ， 的最大值应在 ， 或 处取1xx)(xfxab2得 ， ， ，)(f1f 45)2abf 45)(xf说明：本题考查了绝
34、对值不等式的性质、二次函数的最值及分类讨论的思想和逻辑思维的能力，关键是通过对参数 ， ， 的分析，确定抛物线顶点的取值范围，然后通过比较求出函数在 范围内abc 1x的最大值不等式题型总结1、 高考与不等式纵观近年来的高考试题，有关不等式的试题占的分值相当大，约占总分的 12%，已经成为高考必考的热点内容，不仅考查不等式的基本知识，基本技能，而且注重考查学生的运算能力，逻辑思维能力，以及分析问题和解决问题的能力选择题和填空题主要考查不等式的性质、比较大小和解简单不等式，有时还可能与函数、方程等内容相结合的小综合解答题主要是解不等式或证明不等式或以其他知识为20载体的综合题。单独考不等式的考题
35、占分不多，但涉及不等式的知识、方法、技巧的问题往往占有较大的比例，其中不等式常常与下列知识相结合考查：不等式的性质的考查常与指数函数、对数函数、三角函数的性质的考查相结合，一般多以选择题的形式出现，有时也与充要条件、函数单调性等知识结合，且试题难度不大；解不等式的试题主要在解答中出现，常常是解含参不等式较多，且多与二次函数、指数、对数、可能还会出现导数相结合命题；证明不等式是理科考查的重点，经常同一次函数、二次函数、数列、解析几何，甚至还可能与平面向量等结合起来考查2、 命题趋势及典型例题解释（1）不等式的性质考查会与函数性质相结合起来，一般多以选择题出现，填空题出现，也有可能与充要条件、逻辑
36、知识结合起来例 1：设命题甲：x 和 y 满足 ，命题乙：x 和 y 满足 ，那么 甲是乙的2403y0123x（）A 充分但不必要条件 B 必要但不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件思路根据同向不等式的可加性，从乙 甲和甲 乙两个方面进行推导，再结合充要条件相关概念进行分析。破解易知 即乙 甲；但当 时，显然满足0123xy2403xy2301xy不满足 故甲 乙 不成立。从而甲是乙的必要但不充分条件 。故选 B40xy收获本题将不等式的可加性与充要条件的相关概念进行了有机结合。做题时不要将充分不必要条件与必要不充分条件混淆起来。例 2：已知 .设0c函数 在 R 上单调递减.
37、:Pxy不等式 的解集为 R.Q1|2|如果 和 有且仅有一个正确，求 的取值范围.c思路此题虽是一道在老教材之下的高考试题，但揭示了“解不等式”一类高考试题的命题方向.在新教材中，绝对值不等式的解法和二次不等式的解法与集合运算、命题判断都有一定联系，属于对于学生提出的基本要求内容的范畴，本题将这几部分知识内容有机地结合在一起，在考查学生基础知识、基本方法掌握的同时，考查了学生命题转换，分类讨论等能力，在不同的方法下有不同的运算量，较好地体现出了“多考一点想，少考一点算”的命题原则.破解:函数 在 R 上单调递减 ，不等式 的解集为 R 函数xcy10c1|2|cx21在 R 上恒大于 1，
38、函数 在 R 上的最|2|cxy ， ， cxcx2|2| |2|cxy小值为 ，不等式 的解集为 R ，即 ，若 正确，且 不正确，则|2|cx1PQ；若 正确，且 不正确，则 ；210cQP所以 的取值范围为 .)120(， 收获“解不等式”一类的命题可以有形式上的更新和内容上的变化.结合简易逻辑的概念和集合的语言来命题，借助集合的运算性质和四个命题的关系来作答，是这个命题的基本特征，在求解时则主要以化归思想为破解切入点.复习中对于此类问题要引起足够的重视.（2）解不等式的题常以填空题和解答题的形式出现，此类题主要以一元二次不等式，分式不等式，含绝对值不等式为主，在解答题中含字母参数的不等
39、式较多，需要对字母进行分类讨论例 3：解关于 的不等式 。x2680kx分析 本例涉及了两个讨论点：二次项系数和判别式的符号解 64(8)(9)1(1)当 时：若 ，则 ，不等式解集为 ；若 ，则 ，解集为0kk 0 09k0.3(9)13()kxx (2)当 时：不等式为 ，解集为 0k68043x(3)当 时：若 ，则 ，解集为1k.3(9)3(9)1kxx 或若 ，不等式为 ，解集为 且 .1k260xR3若 ，则 ，解集为 0R点拨 由于分类的原因有两个，为了避免逻辑混乱，本例采取了“二级分类”方法：第一级以二次项系数的符号作为划分的依据；第二级依判别式的符号进行划分例 4：若不等式|
40、 4|+|3 |0 时，先求不等式| 4|+|3 |147272a 当 31xx 当 3 时，原不等式化为 4 +3 13372a综合可知，当 1 时，原不等式有解，从而当 01 时，| 4|+|3 | 4|+|3 | 4+3 |=1当 1 时，| 4|+|3 | 有解从而当x x1 时，原不等式解集为空集。收获1）一题有多法，破解时需学会寻找最优解法。2） 有解 ； 解集为空集 ；这两者互补。fxaminfxfaminafx恒成立 。 有解 ； 解集为空集aifa；这两者互补。 恒成立 。 有解 ；minfxfxmaxfmaxf解集为空集 ；这两者互补。 恒成立 。amaf infx有解 ；
41、 解集为空集 ；这两者互补。 恒fxxff maxff成立 。minf（3）证明不等式一般同函数知识相结合，综合性较强，灵活性较大，具有较好的区分度例 5：若二次函数 的图象经过原点，且 ， ，求 的范围yfx12f314f2f思路要求 的取值范围，只需找到含 的不等式(组)由于 是二次函数，所以2f2f yx应先将 的表达形式写出来即可求得 的表达式，然后依题设条件列出含有 的不yx f等式(组)，即可求解破解因为 的图象经过原点，所以可设 于是f 2yfxab12123434fab解法一(利用基本不等式的性质)不等式组(1)变形得其中等号分别在 与621062102ababf 21ab23
42、时成立，且 与 也满足（1）所以 的取值范围是 31ab2ab32f6,10解法二(数形结合)建立直角坐标系 ，作出不等式组(1)所表示的区域，如图中的阴影部分因为aob，所以 表示斜率为 2 的直线系如图 6，当直线24f420f过点 ， 时，分别取得 的最小值 6，最大值 10即 的0abf,1A3,Bf2f取值范围是： 6,1解法三(利用方程的思想)因为 所以 又1fab112f，而243fabff， ， 114所以 6f+得 即 。30f6210f收获1)在解不等式时，要求作同解变形要避免出现以下一种错解：将不等式组（1）变形得，而 ， 所以246133aabb24fab8412,31
43、,ab521f2)对这类问题的求解关键一步是，找到 的数学结构，然后依其数学结构特征，揭示其代数的、f几何的本质，利用不等式的基本性质、数形结合、方程等数学思想方法，从不同角度去解决同一问题若长期这样思考问题，数学的素养一定会迅速提高3）本题灵活地考查了同向不等式的可加性，但要注意 的数学结构。2f3、 我们的收获通过这次的研究性学习，我们懂得了很多有关不等式的知识，并得出以下心得。(1)重视数学思想方法的复习从命题趋向来看，我们应该加强对数学思想方法的复习在复习不等式的解法时，加强等价转化思想的训练力度，由于解不等式的过程实质就是一个等价转化的过程，通过等价转化可以简化不等式（组） ，以快速、准确求解加强分类讨论思想的复习在解不等式或证不等式的过程中，如含有参数等问题，这时可能要对参数进行分类讨论其中在讨论的过程中，要明白引起讨论的原因，同时要合理分类，要做到不重不漏加强函数与方程思想在不等式中的应用训练，不等式、函数、方程三者密不可分，相互联系，互相转化，如求参数的取值范围问题，函数与方程思想是解决这类问题的重要方法24在不等式的证明中，要加强化归思想的复习，证明不等式的过程是一个把已知条件
