1、1分层限时跟踪练(五十四)(限时 40 分钟)基 础 练 扣 教 材 练 双 基一、选择题1(2014江西高考)掷两颗均匀的骰子，则点数之和为 5 的概率等于( )A. B. C. D.118 19 16 112【解析】 掷两颗骰子，点数有以下情况：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(
2、5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共 36 种，其中点数和为 5 的有(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，共 4 种，故所求概率为 .436 19【答案】 B2.(2015广东高考)已知 5 件产品中有 2 件次品，其余为合格品，现从这 5 件产品中任取 2 件，恰有一件次品的概率为( )A0.4 B0.6 C0.8 D1【解析】 记 3 件合格品为 a1， a2， a3,2 件次品为 b1， b2，则任取 2 件构成的基本事件空间为 ( a1， a2)，( a1， a3)，( a1， b1)，( a1， b2)，( a2， a3)，
3、( a2， b1)，( a2， b2)，(a3， b1)，( a3， b2)，( b1， b2)，共 10 个元素记“恰有 1 件次品”为事件 A，则 A( a1， b1)，( a1， b2)，( a2， b1)，( a2， b2)，(a3， b1)，( a3， b2)，共 6 个元素故其概率为 P(A) 0.6.610【答案】 B3.(2015全国卷)如果 3 个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这 3个数为一组勾股数，从 1,2,3,4,5 中任取 3 个不同的数，则这 3 个数构成一组勾股数的概率为( )A. B. C. D.310 15 110 1202【解析】 从 1,2,
4、3,4,5 中任取 3 个不同的数共有如下 10 个不同的结果：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，其中勾股数只有(3,4,5)，所以概率为 .故选 C.110【答案】 C4(2014陕西高考)从正方形四个顶点及其中心这 5 个点中，任取 2 个点，则这 2 个点的距离小于该正方形边长的概率为( )A. B. C. D.15 25 35 45【解析】 取两个点的所有情况有 10 种，两个点距离小于正方形边长的情况有 4 种，所以所求概率为 .故选 B.410 25【答案】
5、 B5(2015威海一模)从集合2,3,4,5中随机抽取一个数 a，从集合1,3,5中随机抽取一个数 b，则向量 m( a， b)与向量 n(1，1)垂直的概率为( )A. B. C. D.16 13 14 12【解析】 由题意可知 m( a， b)有：(2,1)，(2,3)，(2,5)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(4,1)，(4,3)，(4,5)，(5,1)，(5,3)，(5,5)，共 12 种情况因为 mn ，即 mn0，所以 a1 b(1)0，即 a b，满足条件的有(3,3)，(5,5)共 2 个，故所求的概率为 .16【答案】 A二、填空题6从长度分别为 2、3、4、5 的
6、四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是_【解析】 从四条线段中任取三条有 4 种取法：(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，其中能构成三角形的取法有 3 种：(2,3,4)，(2,4,5)，(3,4,5)，故所求的概率为 .34【答案】 347(2015唐山模拟)一枚质地均匀的正方体玩具，四个面标有数字 1，其余两个面标有数字 2，抛掷两次，所得向上数字相同的概率是_【解析】 由题意知抛掷两次向上的数字情况为 16 个(1,1)，8 个(1,2)，8 个(2,1)，34 个(2,2)，故所求概率 P .16 416 8 8 4 59【答案】
7、598满足 a， b1,0,1,2，且关于 x 的方程 ax22 x b0 有实数解的有序数对(a， b)的个数为_【解析】 若 a0，则 b1,0,1,2，此时( a， b)的取值有 4 个；若 a0，则方程 ax22 x b0 有实根，需 44 ab0， ab1，此时( a， b)的取值为(1,0)，(1,1)，(1，1)，(1,2)，(1,1)，(1,0)，(1，1)，(2，1)，(2,0)，共 9 个( a， b)的个数为 4913.【答案】 13三、解答题9(2015衡水模拟)随机抽取某中学高三年级甲乙两班各 10 名同学，测量出他们的身高(单位：cm)，获得身高数据的茎叶图如图 1
8、023，其中甲班有一个数据被污损图 1023(1)若已知甲班同学身高平均数为 170 cm，求污损处的数据；(2)现从乙班这 10 名同学中随机抽取两名身高不低于 173 cm 的同学，求身高为 176 cm 的同学被抽中的概率【解】 (1)设甲班的未知数据为 a，由 x170，158 162 163 168 170 171 179 a 18210解得 a179，所以污损处的数据是 9.(2)设“身高为 176 cm 的同学被抽中”为事件 A，从乙班 10 名同学中随机抽取两名身高不低于 173 cm 的同学有：181,173，181,176，181,178，181,179，179,173，1
9、79,176，179,178，178,173，178,176，176,173，共 10 个基本事件，而事件 A 有181,176，179,176，178,176，176,173，共 4 个基本事件，所以 P(A) .410 254即身高为 176 cm 的同学被抽中的概率为 .2510(2015山东高考)某中学调查了某班全部 45 名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：(单位：人)参加书法社团 未参加书法社团参加演讲社团 8 5未参加演讲社团 2 30(1)从该班随机选 1 名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率；(2)在既参加书法社团又参加演讲社团的 8 名同学中，有 5 名男
10、同学A1， A2， A3， A4， A5,3 名女同学 B1， B2， B3.现从这 5 名男同学和 3 名女同学中各随机选 1 人，求 A1被选中且 B1未被选中的概率【解】 (1)由调查数据可知，既未参加书法社团又未参加演讲社团的有 30 人，故至少参加上述一个社团的共有 453015(人)所以从该班随机选 1 名同学，该同学至少参加上述一个社团的概率为 P .1545 13(2)从这 5 名男同学和 3 名女同学中各随机选 1 人，其一切可能的结果组成的基本事件有：A1， B1， A1， B2， A1， B3， A2， B1， A2， B2， A2， B3， A3， B1， A3， B2
11、，A3， B3， A4， B1， A4， B2， A4， B3， A5， B1， A5， B2， A5， B3共 15 个根据题意，这些基本事件的出现是等可能的事件“ A1被选中且 B1未被选中” ，所包含的基本事件有： A1， B2， A1， B3，共 2个因此 A1被选中且 B1未被选中的概率为 P .215能 力 练 扫 盲 区 提 素 能1(2015商丘二模)已知函数 f(x) x3 ax2 b2x1，若 a 是从 1,2,3 三个数中任13取的一个数， b 是从 0,1,2 三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为( )A. B. C. D.79 13 59 23【解析】
12、f( x) x22 ax b2，要使函数 f(x)有两个极值点，则有 (2 a)24 b20，即 a2 b2.由题意知所有的基本事件有 9 个，即(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，其中第一个数表示 a 的取值，第二个数表示 b 的取值满足 a2 b2的有 6 个基本事件，即(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，所5以所求事件的概率为 .69 23【答案】 D2(2015石家庄一模)某单位计划在 3 月 1 日至 7 日举办人才交流会，某人随机选择其中的连续两天参加交流会，那么他在 1 日
13、至 3 日期间连续两天参加交流会的概率为( )A. B. C. D.12 13 14 16【解析】 在 1 日至 7 日选连续两天，有基本事件：(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)，(5,6)，(6,7)，共 6 个，符合条件的基本事件：(1,2)，(2,3)，共 2 个，所求概率 P ，故选 B.26 13【答案】 B3袋中有形状和大小都相同的小球 5 个，球的编号依次为 1,2,3,4,5，从袋中依次取三次球，每次取 1 个球，取后放回，若每个球被取出的可能性均等，则取出的球的最大号码为 3 的概率为_【解析】 根据题意，从袋中依次有放回地取三次球，有 555125 (种)情况；
14、为求出取出的球的最大号码为 3 的情况数目，用间接法：先算只有 1,2,3 三个球的情况，再排除其中只有 1,2 的情况，则取出的球的最大号码为 3 的情况有 332 319(种)，则其概率为 .19125【答案】 191254若将( x a)(x b)逐项展开得 x2 ax bx ab，则 x2出现的概率为 ， x 出现的概14率为 ，如果将( x a)(x b)(x c)(x d)(x e)逐项展开，那么 x3出现的概率为12_【解析】 ( x a)(x b)(x c)(x d)(x e)的展开式共有 2532 项(未合并同类项之前)，其中要出现 x3项的话，就要在 5 个括号中选择 3
15、个 x 相乘，其余的 2 个括号都不选 x，因此共有 10 种不同的情况，即在( x a)(x b)(x c)(x d)(x e)的展开式中含有10 个 x3项，故所求概率为 .1032 516【答案】 5165(2015四川高考)一辆小客车上有 5 个座位，其座位号为 1,2,3,4,5.乘客P1， P2， P3， P4， P5的座位号分别为 1,2,3,4,5，他们按照座位号从小到大的顺序先后上6车乘客 P1因身体原因没有坐自己的 1 号座位，这时司机要求余下的乘客按以下规则就座：如果自己的座位空着，就只能坐自己的座位；如果自己的座位已有乘客就座，就在这 5 个座位的剩余空位中任意选择座位
16、(1)若乘客 P1坐到了 3 号座位，其他乘客按规则就座，则此时共有 4 种坐法下表给出了其中两种坐法，请填入余下两种坐法(将乘客就座的座位号填入表中空格处)；乘客 P1 P2 P3 P4 P53 2 1 4 53 2 4 5 1座位号(2)若乘客 P1坐到了 2 号座位，其他乘客按规则就座，求乘客 P5坐到 5 号座位的概率【解】 (1)余下两种坐法如下表所示：乘客 P1 P2 P3 P4 P53 2 4 1 5座位号3 2 5 4 1(2)若乘客 P1坐到了 2 号座位，其他乘客按规则就坐，则所有可能的坐法可用下表表示：乘客 P1 P2 P3 P4 P52 1 3 4 52 3 1 4 5
17、2 3 4 1 52 3 4 5 12 3 5 4 12 4 3 1 52 4 3 5 1座位号2 5 3 4 1于是，所有可能的坐法共 8 种设“乘客 P5坐到 5 号座位”为事件 A，则事件 A 中的基本事件的个数为 4，所以 P(A) .48 12即乘客 P5坐到 5 号座位的概率是 .126(2016宁德二模)某中学刚搬迁到新校区，学校考虑，若非住校生上学路上单程所7需时间人均超过 20 分钟，则学校推迟 5 分钟上课为此，校方随机抽取 100 个非住校生，调查其上学路上单程所需时间(单位：分钟)，根据所得数据绘制成如下频率分布直方图，其中时间分组为0,10)，10,20)，20,30
18、)，30,40)，40,50(1)求频率分布直方图中 a 的值；(2)从统计学的角度说明学校是否需要推迟 5 分钟上课；(3)若从样本单程时间不小于 30 分钟的学生中，随机抽取 2 人，求恰有一个学生的单程时间落在40,50上的概率图 1024【解】 (1)时间分组为0,10)的频率为 110(0.060.020.0030.002)0.15， a 0.015，所以所求的频率直方图中 a 的值为 0.015.0.1510(2)100 个非住校生上学路上单程所需时间的平均数：x0.1550.6150.2250.03350.024516.7，因为 16.720，所以该校不需要推迟 5 分钟上课(3
19、)依题意满足条件的单程所需时间在30,40)中的有 3 人，不妨设为 a， b， c，单程所需时间在40,50)中的有 2 人，不妨设为 A， B，从单程所需时间不小于 30 分钟的 5 名学生中，随机抽取 2 人共有以下 10 种情况：(a， b)，( a， c)，( a， A)，( a， B)，( b， c)，( b， A)，( b， B)，( c， A)，( c， B)，(A， B)，其中恰有一个学生的单程所需时间落在40,50中的有以下 6 种：( a， A)，( a， B)，(b， A)，( b， B)，( c， A)，( c， B)，故恰有一个学生的单程所需时间落在40,50中的概率 P .610 35
