1、2016-2017 学年广西玉林市陆川中学高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知 P=1，0， ，Q= y|y=sin，R，则 PQ=（ ）A B0 C1，0 D 1，0， 2已知两条直线 y=ax2 和 y=（a+2）x +1 互相垂直，则 a 等于（ ）A2 B1 C0 D 13已知向量 与 的夹角为 60，则 =（ ）A B C5 D4中心在原点、焦点在 x 轴上，若长轴长为 18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是（ ）A + =1 B + =1C + =1 D +
2、 =15“函数 f（x）=ax+3 在（1，2）上存在零点”是“3 a4”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件6在各项均为正数的等比数列a n中，a 2， a3，a 1 成等差数列，则公比 q 的值为（ ）A B C D 或7如图给出的是计算和式 + + + 的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是（ ）Ai11 Bi10 Ci10 Di118一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于（ ）A12 B4 C D9某同学为了解秋冬季节用电量（y 度）与气温（x）的关系，由下表数据计算出回归直线方程为 y=2x+60，则表中 a 的值为（ ）
3、气温 18 13 10 1用电量（度） 24 34 a 64A40 B39 C38 D3710若实数 x，y 满足|x1| ln =0，则 y 关于 x 的函数图象的大致形状是（ ）A B C D11从抛物线 y2=4x 的准线 l 上一点 P 引抛物线的两条切线 PA，PB ，A，B 为切点，若直线 AB 的倾斜角为 ，则 P 点的纵坐标为（ ）A B C D212已知函数 f（x ）满足： f（x）+2f （x）0，那么下列不等式成立的是（ ）A B C Df （0）e 2f（4）二、填空题13二项式（ ） 6 展开式中常数项为 14函数 在区间 的最小值为 15已知 A（ 2，2）、B
4、（5，1）、C（3， 5），则ABC 的外心的坐标为 16已知函数 f（x ）=x 22tx4t4，g （x ）= （t+2） 2，两个函数图象的公切线恰为 3 条，则实数 t 的取值范围为 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17（10 分）已知数列a n满足 是等差数列，且b1=a1，b 4=a3（1）求数列a n和b n的通项公式；（2）若 ，求数列c n的前 n 项和 Tn18（12 分）已知向量 =（ 2sin（x），cosx）， =（ cosx，2sin （ x），函数 f（x ）=1 （1）求函数 f（x）的解析式；（2）当
5、x0，时，求 f（x）的单调递增区间19（12 分）已知函数 的最大值为 2（1）求函数 f（x）在0， 上的单调递减区间；（2）ABC 中， ，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，且 C=60，c=3 ，求ABC 的面积20（12 分）已知函数 f（x ）=lnx x2+ax，（1）当 x（1，+）时，函数 f（x）为递减函数，求 a 的取值范围；（2）设 f（x ）是函数 f（x）的导函数，x 1，x 2 是函数 f（x ）的两个零点，且x1 x2，求证（3）证明当 n2 时， 21（12 分）已知椭圆 C： + =1（ab0 ）的右焦点 F2 和上顶点 B 在直线 3x+ y3=
6、0 上，M、N 为椭圆 C 上不同两点，且满足 kBMkBN= （1）求椭圆 C 的标准方程；（2）证明：直线 MN 恒过定点；（3）求BMN 的面积的最大值，并求此时 MN 直线的方程22（12 分）已知函数 f（x ）=x 2（a+2）x+alnx，其中常数 a0（）当 a2 时，求函数 f（x ）的单调递增区间；（）设定义在 D 上的函数 y=h（x）在点 P（x 0， h（x 0）处的切线方程为l：y=g （x），若 0 在 D 内恒成立，则称 P 为函数 y=h（x ）的“类对称点”当 a=4 时，试问 y=f（x）是否存在“类对称点”，若存在，请至少求出一个“类对称点 ”的横坐标；
7、若不存在，请说明理由2016-2017 学年广西玉林市陆川中学高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知 P=1，0， ，Q= y|y=sin，R，则 PQ=（ ）A B0 C1，0 D 1，0， 【考点】交集及其运算；正弦函数的定义域和值域【分析】由题意 P=1，0， ，Q= y|y=sin，R，利用三角函数的值域解出集合 Q，然后根据交集的定义和运算法则进行计算【解答】解：Q=y|y=sin ，R ，Q= y|1y1，P= 1，0， ，PQ=1，0故选 C【点评】本
8、题考查两个集合的交集的定义和求法，以及函数的定义域、值域的求法，关键是明确集合中元素代表的意义2已知两条直线 y=ax2 和 y=（a+2）x +1 互相垂直，则 a 等于（ ）A2 B1 C0 D 1【考点】两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系【分析】两直线 ax+by+c=0 与 mx+ny+d=0 垂直am+bn=0 解之即可【解答】解：由 y=ax2，y=（a+2）x +1 得 axy2=0，（a+2）x y+1=0因为直线 y=ax2 和 y=（a+2）x +1 互相垂直，所以 a（a +2）+1=0，解得 a=1故选 D【点评】本题考查两直线垂直的条件3已知向量 与 的夹角为 60，则
9、 =（ ）A B C5 D【考点】平面向量数量积的运算【分析】由条件可求出 ，进而根据即可求出 的值【解答】解：根据条件：= 故选 A【点评】考查数量积的运算及计算公式，根据 求 的方法4中心在原点、焦点在 x 轴上，若长轴长为 18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是（ ）A + =1 B + =1C + =1 D + =1【考点】椭圆的简单性质；椭圆的标准方程【分析】先根据长轴长为 18，且两个焦点恰好将长轴三等分，即可确定椭圆的几何量，从而可求椭圆的方程【解答】解：长轴长为 182a=18，a=9，由题意，两个焦点恰好将长轴三等分2c= 2a= 18=6，c=3，a 2=81，
10、b 2=a2c2=819=72，故椭圆方程为故选 A【点评】本题重点考查椭圆的标准方程，解题的关键是利用条件，确定椭圆的几何量，属于基础题5“函数 f（x）=ax+3 在（1，2）上存在零点”是“3 a4”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】函数零点的判定方法得出 f（1）f（2）0 ，即（3a ）（2a+3）0，运用充分必要条件的定义判断即可【解答】解：函数 f（x ）=ax +3 在（1，2）上存在零点，f（ 1）f（2）0，即（3a ）（2a+3）0a 3 或 a ，根据充分必要条件的定义可判断：“
11、函数 f（x ） =ax+3 在（1，2）上存在零点”是“3a4”的”的必要不充分条件故选：B【点评】本题考查了函数零点的判定方法，充分必要条件的定义，属于容易题，运算量小6在各项均为正数的等比数列a n中，a 2， a3，a 1 成等差数列，则公比 q 的值为（ ）A B C D 或【考点】等比数列的通项公式【分析】根据等差中项的定义建立方程关系，结合等比数列的通项公式求出公比即可【解答】解：a 2， a3，a 1 成等差数列，a 2+a1=2 a3=a3，即 a1q2a1a1q=0，即 q2q1=0，解得 q= 或 ，各项均为正数，q0，则 q= 不成立，则 q= ，故选：B【点评】本题主
12、要考查等比数列公比的求解，根据等差数列和等比数列的性质和通项公式是解决本题的关键7如图给出的是计算和式 + + + 的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是（ ）Ai11 Bi10 Ci10 Di11【考点】循环结构【分析】由题意可知，首先是判断框中的条件满足，所以框图依次执行循环，满足 S= + + + ，框图应执行 10 次循环，此时 i 的值为 11，判断框中的条件应该不满足，算法结束，由此得到判断框中的条件【解答】解：框图首先给累加变量 S 赋值为 0，n 赋值 2，给循环变量 i 赋值1此时判断框中的条件满足，执行 S=0+ ，n=2+2=4，i=1+1=2；此时判断框中的条件
13、满足，执行 S=0+ ，n=4 +2=6，i=2+1=3；此时判断框中的条件满足，执行 S=0+ + + ，n=6+2=8 ，i=3 +1=4；此时判断框中的条件满足，执行 S= + + + ，n=20+2=22，i=10 +1=11；此时判断框中的条件不满足，故判断框内应填入的一个条件为 i10故选：B【点评】本题考查了循环结构，是当型循环，区别当型和直到型的关键在于是满足条件执行循环还是不满足条件执行循环，满足条件执行循环的是当型结构，不满足条件执行循环的是直到型结构，是基础题8一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于（ ）A12 B4 C D【考点】由三视图求面积、体积【分析】
14、该几何体是四棱锥，底面是直角梯形，一条侧棱垂直底面，根据公式可求体积【解答】解：由三视图复原几何体，如图，它的底面是直角梯形，一条侧棱垂直底面高为 2，这个几何体的体积： ，故选 B【点评】本题考查三视图、棱锥的体积；考查简单几何体的三视图的运用；培养同学们的空间想象能力和基本的运算能力；是中档题9某同学为了解秋冬季节用电量（y 度）与气温（x）的关系，由下表数据计算出回归直线方程为 y=2x+60，则表中 a 的值为（ ） 气温 18 13 10 1用电量（度） 24 34 a 64A40 B39 C38 D37【考点】线性回归方程【分析】先求出横标和纵标的平均数，写出样本中心点，结合已知的
15、线性回归方程，把样本中心点代入求出 a 的值【解答】解： =10， = ，这组数据的样本中心点是（10， ），回归直线方程为 y=2x+60，把样本中心点代入得 a=38，故选：C【点评】本题考查数据的回归直线方程，利用回归直线方程恒过样本中心点是关键10若实数 x，y 满足|x1| ln =0，则 y 关于 x 的函数图象的大致形状是（ ）A B C D【考点】函数的图象【分析】先化简函数的解析式，函数中含有绝对值，故可先去绝对值讨论，结合指数函数的单调性及定义域、对称性，即可选出答案【解答】解：|x1|ln =0，f（ x）= （ ） |x1|其定义域为 R，当 x1 时，f（x）= （
16、） x1，因为 0 1，故为减函数，又因为 f（x ）的图象关于 x=1 轴对称，对照选项，只有 B 正确故选：B【点评】本题考查指数函数的图象问题、考查识图能力，属于基础题11从抛物线 y2=4x 的准线 l 上一点 P 引抛物线的两条切线 PA，PB ，A，B 为切点，若直线 AB 的倾斜角为 ，则 P 点的纵坐标为（ ）A B C D2【考点】抛物线的简单性质【分析】利用直线 AB 的倾斜角为 ，可得 y1+y2= 求出即切线 PA 的方程为 y= x+ y1，切线 PB 的方程为 y= x+ y2，y 1、y 2 是方程 t22yt+4x=0 两个根，利用韦达定理，可得结论【解答】解：
17、设 A（x 1，y 1），B（x 2，y 2），P（1 ，y ），则 kAB= =，直线 AB 的倾斜角为 ， = ，y 1+y2= 切线 PA 的方程为 yy1= （xx 1），切线 PB 的方程为 yy2= （xx 2），即切线 PA 的方程为 y= x+ y1，切线 PB 的方程为 y= x+ y2y 1、y 2 是方程 t22yt+4x=0 两个根，y 1+y2=2y= y= 故选：B【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题12已知函数 f（x ）满足： f（x）+2f （x）0，那么下列不等式成立的是（ ）A B C Df （
18、0）e 2f（4）【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】根据题意可设 f（x ）= ，然后代入计算判断即可【解答】解：f（x）+2f（x）0，可设 f（ x）= ，f（ 1）= ，f（0）=e 0=1，f（ 1） ，故选：A【点评】本题主要考查了初等函数的导数运算公式，关键是构造函数，属于基础题二、填空题13二项式（ ） 6 展开式中常数项为 60 【考点】二项式定理的应用【分析】先求得二项式展开式的通项公式，再令 x 的幂指数等于 0，求得 r 的值，即可求得常数项的值【解答】解：二项式（ ） 6 的展开式的通项公式为 Tr+1= （ 2）r ，令 =0，求得 r=2，故展开式中常数项为
19、22=60，故答案为：60【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题14函数 在区间 的最小值为 1 【考点】两角和与差的正弦函数【分析】遇到三角函数性质问题，首先要把所给的函数式变换为y=Asin（x+）的形式，本题变化时用到两角和的正弦公式，当自变量取值为【0， 】时，做出括号内的变量的取值，得出结果【解答】解：y=sinx+ cosx=2（ sinx+ cosx）=2sin（x+ ）， ， ， ，最小值为 1，故答案为：1【点评】给定自变量的取值，要我们计算三角函数值，这是对性质的考查，解题时注意把所给的函数式同三角函数对应起来15已知
20、 A（ 2，2）、B （5，1）、C（3， 5），则ABC 的外心的坐标为 （1 ，2 ） 【考点】圆的一般方程【分析】设外心坐标为（x，y ），则（x2） 2+（y 2） 2=（x +5） 2+（y 1）2=（x3） 2+（ y+5） 2，求出 x，y，可得结论【解答】解：设外心坐标为（x，y ），则（x2） 2+（y2） 2=（x +5） 2+（y 1）2=（x3） 2+（ y+5） 2，解得 x=1，y=2，外心坐标为（1，2），故答案为（1，2）【点评】本题考查圆的方程，考查方程思想，比较基础16已知函数 f（x ）=x 22tx4t4，g （x ）= （t+2） 2，两个函数图象的公
21、切线恰为 3 条，则实数 t 的取值范围为 （ ，+） 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】设切点为（x 1，f（x 1），（x 2，g（x 2），分别求出 f（x），g（ x）导数，可得切线的方程，由同一直线可得即可化为 + =0，即8x234tx22+1=0 有 3 个非零实根，令 h（x）=8x 34tx2+1，有 3 个非零零点，h（0 ）=1，求出 h（x）导数，对 t 讨论，分 t=0， t0，t0，求出单调区间和极值，即可得到所求范围【解答】解：设切点为（x 1，f（x 1），（x 2，g（ x2），则 f（x 1）=2x 12t，g （x 2）= ，切线方程为 yf（
22、x 1）=f（x 1）（x x1），即 y=（2x 12t）xx 124t4；yg（x 2）=g（x 2）（xx 2），即 y= x+ t24t4即 2x12t= ，且x 124t4= t24t4即有 x1=t ，x 12=t2 ，即可化为 + =0，即 8x234tx22+1=0 有 3 个非零实根，令 h（x）=8x 34tx2+1，有 3 个非零零点，h（0）=1，h（x）=24x 28tx=24x（x ），当 t=0 时，h（x）=24x 20，h（x）递增，不符合条件；当 t0，当 x0 或 x 时，h（x）0，h（x）递增，0x 时，h（x）0，h （x）递减，h（x）极大值为为
23、h（0）=1 0，h （x ）极小值为 h（ ）=1 t3，由 1 t30，解得 t ，若 t0，则当 x0 或 x 时，h（x）0，h（x）递增，x0 时，h（x）0，h （x）递减，h（x）极大值为为 h（0）=1 0，h （x ）极小值为 h（ ）=1 t30，不符要求故 t ，故答案为：（ ，+）【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、极值，考查分类讨论、转化思想和运算求解能力，属于难题三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17（10 分）（2016 秋香坊区校级期末）已知数列a n满足是等差数列，且 b1=a1，b 4=
24、a3（1）求数列a n和b n的通项公式；（2）若 ，求数列c n的前 n 项和 Tn【考点】数列的求和；数列递推式【分析】（1）利用递推关系、等差数列与等比数列的通项公式即可得出（2）利用“裂项求和” 方法、等比数列的求和公式即可得出【解答】解：（1）S n=2an1，n 2 时，S n1=2an11，a n=SnSn1=2an2an1，即an=2an1当 n=1 时，S 1=a1=2a11，a 1=1，a n 是以 1 为首项， 2 为公比的等比数列， ，b1=a1=1，b 4=a3=4，公差 = =1bn=1+（n 1）=n（2） ，【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的通
25、项公式与求和公式、“裂项求和 ”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题18（12 分）（2016 秋陆川县校级期末）已知向量 =（2sin （ x），cosx），=（ cosx，2sin（ x），函数 f（x）=1 （1）求函数 f（x）的解析式；（2）当 x0，时，求 f（x）的单调递增区间【考点】平面向量数量积的运算【分析】（1）利用向量的数量积和两角和的正弦公式即可得出；（2）利用正弦函数的单调性即可得出【解答】解：（1） （ ）=2 sinxcosx+2cos2x= ，f（ x）=1 （2）由 （k Z）解得 ，取 k=0 和 1 且 x0，得 0 和 ，f（ x）的单调递增区间为
26、 0， 和 【点评】本题考查了向量的数量积和两角和的正弦公式、正弦函数的单调性，属于中档题19（12 分）（2015湖南二模）已知函数 的最大值为 2（1）求函数 f（x）在0， 上的单调递减区间；（2）ABC 中， ，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，且 C=60，c=3 ，求ABC 的面积【考点】两角和与差的正弦函数；正弦定理；余弦定理【分析】（1）将 f（x）解析式利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由正弦函数的值域表示出 f（x ）的最大值，由已知最大值为 2 列出关于 m 的方程，求出方程的解得到 m 的值，进而确定出 f（x）的解析式，由正弦函数的递减区间为
27、2k+ ，2k+ （kZ），列出关于 x 的不等式，求出不等式的解集即可得到 f（x ）在0， 上的单调递减区间；（2）由（1）确定的 f（x）解析式化简 f（A ）+f（B ）=4 sinAsinB，再利用正弦定理化简，得出 a+b= ab，利用余弦定理得到（a+b）23ab9=0，将 代入 求出 ab 的值，再由 sinC 的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形 ABC 的面积【解答】解：（1）f（x） =msinx+ cosx= sin（x +）（其中sin= ，cos= ），f（ x）的最大值为 ， =2，又 m0，m= ，f（ x）=2sin（x+ ），令 2k+ x+ 2k+ （
28、k Z），解得：2k+ x 2k + （k Z），则 f（x）在0， 上的单调递减区间为 ， ；（2）设ABC 的外接圆半径为 R，由题意 C=60， c=3，得 = = =2 ，化简 f（ A ）+f （B ）=4 sinAsinB，得 sinA+sinB=2 sinAsinB，由正弦定理得： + =2 ，即 a+b= ab，由余弦定理得：a 2+b2ab=9，即（a+b ） 23ab9=0，将式代入，得 2（ab） 23ab9=0，解得：ab=3 或 ab= （舍去），则 SABC = absinC= 【点评】此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，两角和与差的正弦函数公式，以及正弦函
29、数的单调性，熟练掌握定理及公式是解本题的关键20（12 分）（2016 秋陆川县校级期末）已知函数 f（x）=lnxx 2+ax，（1）当 x（1，+）时，函数 f（x）为递减函数，求 a 的取值范围；（2）设 f（x ）是函数 f（x）的导函数，x 1，x 2 是函数 f（x ）的两个零点，且x1 x2，求证（3）证明当 n2 时， 【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值【分析】（1）求出函数的导数，问题转化为即 a 2x 恒成立，求出 a 的范围即可；（2）求出 a，得到 f（ ）= ，问题转化为证明ln ，令 t= ，0x 1x 2，0t1，即证明 u（t ）=+
30、lnt0 在 0t1 上恒成立，根据函数的单调性证明即可；（3）令 a=1，得到 lnx x2x，得到 x1 时， ，分别令x=2，3，4 ，5，n ，累加即可【解答】（1）解：x（1，+）时，函数 f（x）为递减函数，f（x）= 2x+a0 在（ 1，+）恒成立，即 a2x 恒成立，而 y=2x 在（1，+）递增，故 2x 1，故 a1；（2）证明：f（x）的图象与 x 轴交于两个不同的点 A（x 1，0），B （x 2，0），方程 lnxx2+ax=0 的两个根为 x1，x 2，则 lnx1 +ax1=0，lnx 2 +ax2=0，两式相减得 a=（x 1+x2） ，又 f（x）=lnx
31、x2+ax，f（x）= 2x+a，则 f（ ）= （x 1+x2）+a= ，要证 0，即证明 ln ，令 t= ，0x 1x 2，0t 1，即证明 u（t）= +lnt0 在 0t1 上恒成立，u（t）= ，又 0t1 ，u（t）0，u（t）在（0，1）上是增函数，则 u（t ）u （ 1）=0 ，从而知 0，故 f（ ）0 成立；（3）证明：令 a=1，由（1 ）得：f（x）在（1，+）递减，f（ x）=lnx x2+xf （1）=0 ，故 lnxx 2x，x1 时， ，分别令 x=2，3，4，5，n，故 + + + + =1 ， + + 1 ，即左边1 1，得证【点评】本题考查了利用导数研
32、究函数的单调性极值与最值、考查通过研究函数的单调性解决问题的方法，考查了转化能力、推理能力与计算能力，属于难题21（12 分）（2016 秋陆川县校级期末）已知椭圆 C： + =1（ab0）的右焦点 F2 和上顶点 B 在直线 3x+ y3=0 上，M、N 为椭圆 C 上不同两点，且满足 kBMkBN= （1）求椭圆 C 的标准方程；（2）证明：直线 MN 恒过定点；（3）求BMN 的面积的最大值，并求此时 MN 直线的方程【考点】椭圆的简单性质【分析】（1）椭圆 C： + =1（ab0）的右焦点 F2 和上顶点 B 在直线3x+ y3=0 上，可得椭圆的右焦点为 F2（1，0），上顶点为 B
33、 ，可得c=1，b= ，a 2=b2+c2，即可得出（2）由（1）知 B ，设 M（x 1，y 1），N（x 2，y 2）， 当直线 MN 斜率不存在，则 x1=x2，y 1=y2，又 =1，与 kBMkBN= ，不符合当斜率存在时，设直线 MN 方程为 y=kx+m，与椭圆方程联立：（4k 2+3）x 2+8kmx+4（m 23）=0，又 kBMkBN= ，代入化简即可得出（3）由0，m=2 ，可得 4k290，设点 B 到直线 MN 的距离为 d，则 SBMN= |MN|d，又|MN |= ，d= ，代入 SBMN 化简即可得出【解答】解：（1）椭圆 C： + =1（ab0）的右焦点 F2
34、 和上顶点 B在直线 3x+ y3=0 上，椭圆的右焦点为 F2（1，0），上顶点为 B ，故 c=1，b= ，a 2=b2+c2=4，所求椭圆标准方程为 =1（2）由（1）知 B ，设 M（x 1，y 1），N（x 2，y 2），当直线 MN 斜率不存在，则 x1=x2，y 1=y2，又 =1，k BMkBN= = ，不符合当斜率存在时，设直线 MN 方程为 y=kx+m，联立 ，消去 y 得：（4k 2+3）x 2+8kmx+4（m 23）=0 ，x 1+x2= ，x 1x2= ，又 kBMkBN= ， = ，即 4y1y24 （y 1+y2）+12x 1x2=0，又 y1=kx1+m，y
35、 2=kx2+m，y1+y2=k（x 1+x2）+2m= y1y2=（kx 1+m）（kx 2+m）=k 2x1x2+km（x 1+x2）+m 2= 代入（*）化简得 m+6=0，解得 m= ，m=2 ，又 x1x20 ，m=2 ，即 y=kx+2 ，直线恒过定点 （3）由0，m=2 ，可得 4k290，设点 B 到直线 MN 的距离为 d，则 SBMN = |MN|d，又|MN|= ，d= ，S BMN = = =，当且仅当 4k29=12，即 k= 时，BMN 面积有最大值为 ，此时直线的方程为 +2y4 =0 或 x2y+4 =0【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦
36、长问题、一元二次方程的根与系数的关系、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题22（12 分）（2016广东模拟）已知函数 f（x）=x 2（a +2）x+alnx，其中常数a 0（）当 a2 时，求函数 f（x ）的单调递增区间；（）设定义在 D 上的函数 y=h（x）在点 P（x 0， h（x 0）处的切线方程为l：y=g （x），若 0 在 D 内恒成立，则称 P 为函数 y=h（x ）的“类对称点”当 a=4 时，试问 y=f（x）是否存在“类对称点”，若存在，请至少求出一个“类对称点 ”的横坐标；若不存在，请说明理由【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函
37、数的最值【分析】（）求出函数的导数，结合 a 的范围求出函数的单调区间即可；（）法一：a=4 时，求出 f（x）的导数，得到切线方程根据新定义问题等价于当 0xx 0 时，f（x）g（x），结合函数的单调性求出即可；法二：猜想 y=f（x）存在“类对称点” ，其中一个“类对称点 ”的横坐标为 ，然后加以证明即可【解答】解：（）函数 f（x ）的定义域为（0， +）， ， （1 分）a 2 ， ，令 f（x）0，即 ，x0，0x1 或 ， （2 分）所以函数 f（x）的单调递增区间是（ 0，1）， （3 分）（）解法一：当 a=4 时，所以在点 P 处的切线方程为 （4分）若函数 存在“类对称点
38、”P（x 0，f （x 0），则等价于当 0xx 0 时，f （x）g（x），当 xx 0 时， f（x）g（x）恒成立当 0xx 0 时，f（x）g（x）恒成立，等价于 恒成立，即当 0xx 0 时， 恒成立，令 ，则 （x 0）=0，（7 分）要使 （x 0）0 在 0xx 0 恒成立，只要 （x）在（0，x 0）单调递增即可又 ，（8 分） ，即 （9 分）当 xx 0 时， f（x）g（x）恒成立时， （10 分） （11 分）所以 y=f（x）存在“ 类对称点” ，其中一个“类对称点 ”的横坐标为 （12 分）（）解法二：猜想 y=f（x）存在“ 类对称点” ，其中一个“类对称点 ”的横坐标为 （4分）下面加以证明：当 时， 当 时，f（x）g（x）恒成立，等价于 恒成立，令 （7 分） ，函数 （x）在 上单调递增，从而当 时， 恒成立，即当 时，f（x）g（x）恒成立（9 分）同理当 时，f（x）g（x）恒成立（10 分）综上知 y=f（x）存在“ 类对称点” ，其中一个“类对称点 ”的横坐标为 （12 分）【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查新定义的理解，是一道综合题
